人工智能在开放量子多体系统中的应用

|作者：曹小东1 刘俊杰2 蒋建华1,3,†

(1 中国科学技术大学苏州高等研究院)

(2 上海大学物理系)

(3 中国科学技术大学物理学院)

本文选自《物理》2026年第5期

摘要真实的量子系统总是与环境耦合。这种耦合与量子多体效应相互交织，催生出极为丰富的非平衡物理现象。研究开放量子多体系统的核心困难在于：密度矩阵的维度随系统规模呈指数增长，且耗散、相互作用和外场驱动同时发挥作用，很难单独分离出来处理。文章从正向求解和目标调控两个方向出发，介绍人工智能方法在开放量子多体系统中的应用进展。

关键词开放量子多体系统，人工智能，量子调控

01

开放量子多体系统

真实的量子系统通常并非完全孤立，而是不可避免地与周围环境发生耦合，从而与外界交换能量、粒子和信息。在许多情况下，这种耦合会破坏系统中的量子相干性，使原本依赖相干演化才能维持的量子态逐渐退相干。在很长一段时间内，环境耦合被视为量子系统中需要抑制的不利因素。然而，近年来越来越多的研究表明，耗散并不总是起“破坏”作用。通过恰当的设计，特定形式的耗散可以成为一种调控量子态的有用手段：它既能帮助人们稳定和制备某些目标量子态，也可驱动系统进入一些在平衡态中难以实现、甚至根本不会出现的量子相[1—5]。特别是在量子多体体系中，粒子间相互作用、量子统计与耗散过程之间会发生复杂的竞争与协同，此时耗散不再只是简单地抹平量子效应，而是有可能深刻重塑关联建立和演化的方式，进而产生丰富的非平衡物理现象。

为了更具体地建立物理图像，我们考虑一个具有双占据损失耗散的费米—哈伯德链[3]。在该模型中，每个格点上有4种可能的状态：|0>表示没有电子占据，|↑>和|↓>分别对应一个自旋向上和自旋向下的单电子占据态，|↑↓>为双占据态。电子以跃迁振幅t在最近邻格点之间跳跃，当两个电子同时占据同一格点时则需要付出U的相互作用能。当系统处于半填充(每个格点平均占据一个电子)、总磁化为零且U≫|t|时，系统倾向于处在每个格点被单占据的低能子空间中。此时，相邻格点之间通过二阶虚跃迁过程形成反铁磁超交换作用，系统倾向于建立反铁磁关联，即
。若每个格点有一定几率向环境丢失双占据电子对，系统中的双占据态会被持续抑制。由于反铁磁关联的形成依赖于虚双占据过程，这种耗散会显著削弱原本由超交换机制建立起来的反铁磁关联；相比之下，铁磁构型中的相邻同自旋电子受到泡利不相容原理限制，不会通过同一虚双占据通道发生损耗，因此在动力学上表现得更为稳定。于是，随着系统不断演化，体系中原本占主导的反铁磁关联逐渐减弱，铁磁关联则相对增强。由此可见，耗散在这里并不是简单地抹除关联，而是通过选择性压制某类微观过程，使原本在封闭体系中对应高能特征的铁磁关联在动力学中相对增强。

上述例子只是环境耦合改变多体系统物理性质的一个具体体现。由于环境原则上包含无穷多的自由度，要系统研究这类问题，我们首先需要合适的近似理论框架。当系统与环境耦合较弱，且环境的关联时间远短于系统的弛豫时间时，可在Born—Markov近似下得到系统的有效动力学描述。此时，系统随时间的演化满足Lindblad方程[6, 7]：

其中ρ是密度矩阵，为Liouville超算符，Li 是第i 个耗散通道的跳跃算符，γi为相应的耗散强度。虽然这一方程是在若干近似下导出的，但对多体系统而言，对它进行精确求解仍然极其困难。

除了在给定参数下进行正向求解，我们往往还希望进一步通过调控参数，使系统演化到某个目标量子态。此时，问题的核心就不再仅仅是如何求解演化方程，还在于如何利用耗散、相互作用与外部控制来实现目标态制备[2]。这一任务同样非常困难：可调控参数的维度通常很高，且不同参数常常受到实验条件或物理机制的限制；同时，在实际过程中通常无法直接获取系统状态的全部信息。因此，这是一个在高维参数空间中、受多种物理约束且信息不完备的优化问题。

下面我们将分别介绍人工智能在高效、精确地正向求解开放量子多体系统演化，以及对量子系统进行有效调控方面所取得的进展。

02

神经网络密度矩阵

对于一个包含N个格点、局域希尔伯特空间维数为d的系统而言，要完整描述其密度矩阵ρ，原则上需要dN×dN个复数，参数量随系统规模指数增长，这就是所谓的“指数墙”问题。由于神经网络具有强大的表达能力，往往能用相对较少的参数去拟合高维空间中的复杂函数，因此被用于表示量子多体系统的波函数[8]。受此启发，一种自然的想法是用神经网络来表示ρ。不过，与波函数不同，密度矩阵的表示并非任意的，它还必须满足半正定和厄米性等物理约束[9—11]。

图1 神经网络密度矩阵方法示意。密度矩阵需要满足的物理约束、纯化表示(a)与变分稳态求解(b)和瞬态时间演化(c)

为满足这些约束，一种常见做法是采用纯化表示。其核心思想是：系统密度矩阵所描述的混态，可以看作在更大的希尔伯特空间中对环境自由度求迹之后得到的约化态。为此，我们可以引入辅助自由度a(即图1(a)中的红色节点)，将“系 统自由度+辅助自由度”整体视为一个纯态，并用神经网络对其进行参数化。然后，对辅助自由度求迹，即得系统的约化密度矩阵

，这里σ为物理自由度，θ为神经网络参数。按这种方式构建的ρθ天然满足半正定和厄米性。同时，借助神经网络的表达能力，网络参数数量dim(θ)通常可以远小于密度矩阵的维数d2N。

在此表示基础上，稳态求解和瞬态时间演化都可以转化为对θ的优化问题[12—15]。对于稳态求解，系统满足稳态条件
，这里代表稳态ρss在Liouville空间的向量化表示。因此可通过变分优化θ来最小化损失函数。对于瞬态时间演化，则在每个时刻t 都需要通过变分优化θ来最小化Lindblad演化方程的损失函数。由于位于变分参数流形在ρθ处的切空间内，而一般并不落在该切空间内。因此，如图1(c)所示，这类方法的核心思想就是通过优化，使在切空间上的最佳投影误差最小[12]。

近年来，神经网络密度矩阵方法不断发展，已被用于研究一维系统和较小的二维团簇。然而，在目前可求解的系统大小上，它尚未明显超越张量网络等方法[13，14]。该方法在更大规模体系上的运用主要有两个瓶颈。其一，虽然通过纯化构建的神经网络密度矩阵天然满足物理约束，但这同时对网络架构形成了较强的限制，现有实现大多集中在受限玻尔兹曼机(restricted Boltzmann machine, RBM)这类相对简单的架构上，如何在保留物理约束的同时引入表达能力更强的网络，仍有待进一步探索。有意思的是，如果不明确要求神经网络表示一定要满足半正定性，而是直接用卷积神经网络(convolutional neural network，CNN)参数化密度矩阵，已有工作发现在若干测试模型中可以得到优于RBM密度矩阵的结果[15]。其二，在瞬态演化中，需要处理矩阵Sij=
的求逆。由于S的维度与网络参数量相当，大参数量网络的优化会变得相当困难；同时，这一矩阵通常需要借助随机采样得到，采样噪声也会引入额外的数值不稳定性。值得注意的是，基于正算子值测度(positive operator valued measure, POVM)的概率表示，可以将Lindblad方程重写为概率分布的演化方程，并用支持精确采样的自回归神经网络(Transformer)参数化，在纯化方法之外提供了另一条路径[16]。

03

神经网络规范相空间表示

上一节介绍的是直接利用神经网络表示密度矩阵的方法。这里我们讨论另一种思路：不直接表示密度矩阵，而是利用神经网络提高相空间表示方法的采样效率。以玻色子系统为例，我们可以构建Bargmann相干态
，其中b†为玻色产生算符，为复数。相干态是湮灭算符的本征态b|α>=α|α>，也是最接近经典描述的量子态。利用相干态的超完备性，任意的密度矩阵都可以展开为

这种用相干态展开密度矩阵的方法称为positive-P表示[17]。其中α和β为两个独立的复变量，量子系统的全部信息被编码在一个定义在扩展相空间上的经典概率分布P(α, β)中。当系统按照Lindblad方程演化时，通过将算符作用映射为相空间中的微分操作，可以导出P(α, β)满足Fokker—Planck方程，这将开放量子多体系统的时间演化转化为了经典概率密度的漂移和扩散过程。该Fokker—Planck方程等价于一组Itô随机微分方程(SDE)。因此，我们只需模拟大量按该SDE演化的随机轨迹，并通过系综平均计算物理观测量。由于单条随机轨迹所需的变量数随体系自由度线性增长，这为大体系模拟提供了可能[18]。

然而，在实际应用中，SDE中由相互作用带来的非线性项往往会导致轨迹发散，这通常对应于分布P(α, β)出现了长尾。少数发散轨迹会支配系综平均，使统计结果完全失效。为解决该困难，gauge-P表示进一步引入一个额外的随机权重变量Ω，将密度矩阵展开为[19，20]

其中
为算符展开基。这里的P(α, β, Ω)同样是扩展相空间上的一个经典概率密度。当Ω≡1时，这个广义表示退化为通常的positive-P表示，因此它可以视作positive-P的自然推广。引入Ω后，同一个密度矩阵可以对应多种等价的相空间随机过程，而物理观测量由带权重的相空间平均给出。因此，我们可以引入漂移规范函数Gα, Gβ和扩散规范函数λ，它们会改变SDE的漂移项和扩散项，但不改变任何物理观测量的值[19，20]，这就是gauge-P表示中的规范自由度。换句话说，SDE的随机实现方式拥有很大的选择自由，而物理结果对这一选择是不变的。

这种规范自由度给出了一条规避发散轨迹的可能途径：如果能在函数空间中找到合适的规范函数，使得随机轨迹的分布保持紧致、不产生长尾，就可以在不影响物理结果的前提下，改善数值采样的稳定性和精度。过去，人们已经尝试通过解析推导给出某些特定形式的规范函数来消去有害的边界项[20]，这些解析规范能够在特定模型中缓解轨迹发散。但是，解析规范通常依赖于对具体模型的深入分析和针对性设计，普适性较差，对于一般开放量子多体系统解析找到理想的规范函数往往非常困难。

图2 神经网络随机规范相空间表示方法。Lindblad方程先被改写为相空间中的Fokker—Planck方程，再由随机微分方程采样实现。神经网络根据当前轨迹变量和时间输出随机规范，改变轨迹的随机实现方式，把容易发散的采样轨迹约束回有效区域，同时保持物理观测量不变

神经网络为该问题提供了有力的工具。我们可以用神经网络来参数化规范函数，网络的输入是当前的轨迹变量(α, β, Ω)和时间t，输出是漂移规范Gα, Gβ和扩散规范λ。如图2所示，训练时，我们要求相空间概率密度P(α, β, Ω)的尾部得到有效抑制，使采样轨迹始终保持在物理合理的区域内，以此作为损失函数来优化网络参数。需要指出的是，这里神经网络并不直接表示量子态本身，而是围绕一个原理上严格成立的理论框架，去学习一个能够使随机采样保持稳定和高效的规范函数。因为规范变换不改变物理量的值，这一学习过程改变的仅仅是数值实现的效率和精度。而且，由于学习到的是随机过程的调控策略，而非某个具体系统的量子态，这种策略有可能在小体系上训练后直接迁移到更大的体系中使用。

图3 单格点Bose—Hubbard模型中的一阶关联函数和分布函数。(a)和(b)比较了采用不同随机规范下一阶关联函数实部、虚部随时间的演化，神经网络随机规范(neural gauge)在较长时间内都与精确结果吻合得很好；(c)相空间变量的分布函数随时间的变化，可以看到该方法能有效压制长尾分布的出现[21]

图3(a)和(b)对比了单格点Bose—Hubbard模型的一阶时间关联函数中该方法的表现。可以看到，相较于没有随机规范的positive-P方法以及采用解析随机规范(analytical gauge)消除轨迹奇点的方法，神经网络随机规范在精度和可模拟时间上均有明显提升。图3(c)进一步显示，前两种方法中的分布函数随演化时间增长会迅速变成长尾分布，而神经网络随机规范则能有效压制长尾分布的产生[21]。

图4 神经网络随机规范在二维驱动—耗散的Bose—Hubbard模型中的迁移表现。比较在不同小体系上训练得到的规范函数用于16×16体系计算得到的二阶密度关联函数随时间的演化。在较小训练体系上得到的规范容易在中后期出现不稳定，而3×3训练得到的规范能够稳定演化到更长时间，并逐渐靠近黑色虚线标出的稳态参考值[21]

迁移性方面的结果展示在图4中。针对16×16二维驱动—耗散的Bose—Hubbard模型，仅使用在3×3小体系上训练得到的规范网络，就能够稳定地对大体系进行长时间演化计算，得到的二阶密度关联函数随时间的演化与角空间重整化方法(corner-space renormalization method,CSR)给出的稳态值[22]符合得很好。

04

量子调控

前面我们讨论了合理的外场驱动和耗散如何帮助稳定和制备某些量子态，以及人工智能技术如何帮助我们正向求解给定系统的时间演化。那么，一个自然的问题便是：假如我们能够正向计算开放量子多体系统的时间演化，为了得到想要的目标态或目标物理性质，应该如何逆向设计外场驱动和耗散通道？

我们先介绍一类模型依赖的方法。如图5上半部分所示，可以将时间变量作为神经网络的输入，并输出该时刻系统的状态ρ(t)和施加在系统上的驱动ξ(t)。在训练过程中，一方面要求网络预测的状态满足Lindblad方程，从而让网络学习系统的动力学控制规律；另一方面，在演化结束时要求网络预测的状态尽可能接近目标态，以此训练网络给出能将系统引导至目标态的驱动强度ξ(t)。这里，强制网络满足Lindblad方程非常关键，这相当于向网络显式注入了系统演化的动力学先验信息，能够有效提升生成的ξ(t)的精度和可靠性[23]。这种思路可以理解为：如果已经掌握了基本原理(Lindblad方程)，那么在完成具体任务(通过ξ(t)将系统调控到目标态)时通常也会更加高效。图5中所示的例子表明，对于一个两能级系统，训练后网络生成的外场驱动ξ(t)能够成功将系统调控到想要的吉布斯(Gibbs)态。

上述方法在原理上自然且直接，但它隐含了一个较强的前提：我们能够比较准确地写出系统动力学方程，并在优化过程中获取完整的状态信息。真实实验往往并不满足这一点。人们通常无法直接获得系统的完整状态ρ(t)，而只能得到有限的测量结果o(t)；这些测量结果带有统计噪声，测量本身还会改变后续状态。因此，实际控制问题并不只是“求一个最优外场函数”，而更像是一个闭环决策问题：控制器一边通过测量获得有限信息，一边根据这些信息选择下一步操作。

强化学习为这种闭环问题提供了合适的工具。它把量子系统看作一个可以交互的环境，把测量记录看作观测，把外场控制幅度、相位等看作动作，把最终任务完成得好不好写成奖励。神经网络参数化的策略πθ(at|o≤t)的作用，就是根据到当前时刻为止的观测历史o≤t选择下一步动作at。这里的关键不在于显式重建密度矩阵，也不在于事先精确知道Lindblad方程中的每个参数，而在于通过许多次尝试逐渐学会：什么样的观测历史下， 采取什么动作更可能把系统推向目标。如图5所示，在对一个与两能级体系耦合的谐振子模型进行Fock态制备的任务中，智能体正是利用有限测量反馈和奖励信号，逐渐找到高质量制备目标Fock态的方法[24]。

图5 量子调控中的两类优化问题。上半部分表示模型依赖的调控：网络同时学习系统状态和外场驱动，并通过动力学方程与目标态误差共同训练；下半部分表示无模型调控：智能体只能看到测量得到的不完整信息，通过反复试探、反馈和奖励逐步学会控制策略[23，24]

在基于强化学习的量子调控中，对历史观测记录的建模十分重要。一方面，强化学习中的奖励往往是延迟出现的：某一步动作是否有用，可能要经过后续演化和最终测量后才显现出来，因此策略必须从整段轨迹中判断哪些早期操作真正贡献了最终成功。另一方面，弱测量本身带有噪声，例如连续扩散型测量可写成：

其中，rt表示连续弱测量过程中到时刻t为止的测量记录，drt表示在时间区间[t, t+dt]内获得的测量记录增量；L表示被测通道，η是测量效率，dWt是Wiener增量。这说明单次读数并不是系统状态的直接标签，而是系统信息与随机噪声的混合。只有把一段历史记录合起来，才更容易从噪声中恢复对状态和控制方向有用的信息。因此，对πθ(at|o≤t)来说，有效信息往往分布在整个o≤t中，而不只在当前的o(t)里。由于Transformer的注意力机制天然适合捕捉长时间窗口内的相关性，文献[25]将其应用于连续弱测量下的量子反馈控制，结果表明它能够较好地利用长历史测量记录来稳定目标态。

05

结语与展望

近些年，开放量子多体系统研究取得了长足发展，使我们对耗散、测量与相互作用共同驱动的非平衡量子物理有了更深入的理解。然而，现有研究仍多集中在相对简单的模型和中小规模体系中；对于具有复杂相互作用、复杂几何结构或更大自由度的开放量子多体系统，可靠而高效的理论和数值方法仍有待发展。其核心困难在于，密度矩阵所需的参数量随系统规模快速增长，而环境耦合又会进一步丰富系统的动力学结构。

本文介绍的几类人工智能方法从不同角度尝试应对这一困难。神经网络密度矩阵试图直接压缩混态表示；神经网络随机规范则利用相空间表示中的规范自由度，改善随机采样的稳定性和有效时间尺度；在量子调控问题中，物理信息神经网络和强化学习方法也为目标态制备、反馈控制和复杂控制策略的搜索提供了新的思路。受篇幅所限，本文只是对这一方向做了初步介绍，还有许多重要课题没有展开，例如非马尔可夫系统中的记忆效应[26]、面向复杂量子态的层析方法[27]、从实验数据中学习开放系统动力学[28]，以及用神经网络传播子预测驱动—耗散量子动力学[29]等。

开放量子多体系统是当前量子物理中的重要研究方向，而利用人工智能方法研究这类问题也正在快速发展。与封闭量子体系相比，开放体系同时受到相互作用、耗散、测量噪声和环境反馈等多重因素的影响，其动力学行为更加丰富，也更难用传统解析或数值方法进行完整而高效的刻画。特别是在非厄米相、耗散诱导的相变等问题中，系统常常表现出长时间关联、临界慢化以及对Liouvillian谱结构的高度敏感性。以神经网络和强化学习为代表的人工智能方法，凭借其高维表达、数据驱动建模和策略优化能力，为复杂混态表示、开放系统动力学建模、近似传播子构造以及量子反馈控制策略优化等重要问题提供了新的思路。尤其是在物理约束、对称性结构和守恒律被显式嵌入模型之后，人工智能方法将不再只是黑箱拟合工具，而有望发展成为兼具表达能力、物理可解释性和数值效率的新型理论与计算工具。希望本文能够激发读者对这些问题的进一步兴趣。

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