久期漫谈（三）：两种久期匹配的等价性证明

一

规模调整后的久期缺口

在银保监会2019年正式实施的资产负债管理办法中引进了一个新的久期缺口的概念，就是把负债端的续期保费流入移到资产端，重新定义一个规模调整后的现金流流入的久期（注意计算久期时的分母为PVout），而调整后的负债久期只考虑负债流出的现金流。

参数说明：

GapAdjusted为规模调整后的久期缺口；

DurA为资产现金流修正久期；PVA为资产现金流的折现值；

DurIn为负债现金流流入修正久期；PVIn为负债现金流流入的折现值；

DurOut为负债现金流流出修正久期；PVOut为负债现金流流出的折现值。

二

规模调整后的久期缺口的等价公式

从推导出的公式中可以看出，ALM模型中的久期缺口和我们通常所说的资产负债久期缺口之间的关系（负债久期必须用金额久期）。

在“久期漫谈（一）资产和负债久期的基本概念”文章中，我们定义：

教课书上“金额久期”的定义是一个基点变化带来的PV值变化，这里的定义有所不同。首先它对应的的单位仍然是“时间”，可以视为“另外一种久期”，而不是“金额”，所以我认为教科书上的金额久期称之为“久期金额”更加合适，也就是久期漫谈（二）中所说的DV(10000BP)。其次我定义的这个概念仅用了研究资产负债匹配时对传统的“负债久期”的某种修正，而修正的参数正是所对应的资产端的PV值。

三

久期缺口和金额久期缺口

久期缺口的等价公式：如果我们用Ddur代表金额久期，那么我们可以将上述公式表述为：

从以上公式中很容易看出，如果资产的久期和负债的金额久期匹配，则公式左边的GapAdjusted=0，反之亦然。

上述两个金额久期所对应的金额是不一样的，Ddur(A+In)对应的是PVOut，而DdurL对应的是PVA。另外计算久期的折现率曲线必须完全一致。

等价公式成立的先决条件和应用:

目前监管部门所下发的各种文件中，计算资产久期和负债久期的折现率是不一样的，但之间的差别并不是很大。这里我们建议将所有的折现率统一，这样算出的资产和负债久期，与原来的久期相比，差异应该比较小。

当所有的折现率统一以后，这个公式才能成立，并且可以用来验证公司不同部门计算出来的各种久期和金额久期是否正确。

我于2018年首次证明了以上这个等价性公式，当时核心前提假设为资产端与负债端采用统一的贴现率利率曲线。从目前市场实际运行与保险公司资产负债结构来看，这一假设相当合理。

在负债端，行业负债贴现率以国债无风险曲线为基准，在此基础上叠加45BP的溢价。在资产端，国内保险公司固收类资产结构大体趋同：固收类资产中50%～90%为国债，剩余配置为金融债、企业债及不到10%的非标资产。将公司固收资产的溢价做加权平均后，固收类投资组合相对无风险国债曲线的加权平均溢价水平也应该在45BP左右。

因此，公式中要求资产端和负债端使用完全一致的贴现率曲线，并非严苛强约束，而是贴合行业资产负债结构、贴近市场溢价现实的弱约束条件。如果二者不完全一样，由此带来的误差也会比较小。

对行业中绝大多数公司来说，PVOut明显大于PVA。所以ALM模型中的久期缺口会小于通常意义下的久期缺口。当然这个结论也可以直接从GapAdjusted的定义中可以看出，因为规模调整后的资产久期和实际的资产久期差异较小（大部分公司会略有下降），而不含续期保费的负债现金流，其久期明显低于通常意义下完整的负债端久期。

PVA像是冰山水面上的冰，PVOut像是水面下的冰，往往大于水面上的冰。ALM中久期缺口是基于PVOut，PVOut比PVA更能反映久期不匹配的风险。

趸交或者已经过了交费期的期限较短的产品，

再举一个具体的例子：

以个险或者银保的长期期交产品为主的老公司，

这里资产久期为5年，负债久期为10年，而金额久期缺口为10年，但资产负债管理中的久期缺口只有3年。

四

精算久期下的等价公式证明

在上一篇久期漫谈（二）中我们阐述了，仅仅实现资产负债端的有效久期匹配，并不能使公司净资产以及实际资本形成对利率风险的免疫效果。我们在上一篇文章里定义了负债端精算久期的概念，所幸相关公式和推导过程只需稍加修改，便可以完全适用于精算久期框架下的资产负债匹配研究。

与此同时，我们只需要附加一个非常弱的前提条件，即负债端没有20年以后的保费现金流入。从行业实际情况来看，保险产品基本以趸缴、5年缴、10年缴、20年缴为主，缴费期超过20年的产品占比极少，仅有少数保障类产品支持缴费至60岁甚至70岁。整体来看，没有任何一家寿险公司，20年以后保费现金流的现值能占到未来全部保费流入现值的1%以上，多数公司甚至连千分之一都不到，因此这一假设所带来的测算误差非常微小，完全具备实务上的合理性与适用性。

我们在符号PV和Dur之前加上小写的字母a，用来表示精算久期下的概念，也就是说，贴现率曲线含有4.5%的终极利率。由此可见，DurIn=aDurIn，所以，

五

保险产品的精算久期和精算金额久期

在正常的折现率下（例如＜4.5%），目前在中国市场上所见到的保险产品的精算金额久期都为正数。当保险产品的精算久期为负时，能够做到久期匹配吗？

通常产品的精算久期为负的原因是产品在4.5%终极利率的假设下利润性太好了，造成计算久期时的分母为负。达到免疫效果的久期匹配是基于精算金额久期，只要精算金额久期为正数就有可能。

目前行业所销售的大多数重疾险或者非分红增额终身寿产品，在产品的前几个保单年度，通常精算久期为负。但这些产品所对应的精算金额久期是正数，因为我们通常使用法定准备金所对应的资产作为计算久期时的分母，而达到免疫效果的匹配是精算金额久期匹配。但这些产品开始几年的法定准备金金额也比较小，所以精算金额久期往往会大于50年，中国目前可投资资产中不存在久期这么长的资产，通常也不会用利率衍生品拉长资产久期。

当然我们可以将公司盈余中的一部分资产（例如相当于法定准备金3到5倍）拿来对应这些产品的负债，那么这些产品的精算金额久期可以降到20年以下，金额久期匹配是有可能做到的。

当然，以上仅为理论层面的探讨。实务中保险公司一般无需做到产品层面的久期匹配，最多只需要做账户层面的久期匹配。行业内通常将公司账户划分为传统险、万能险、分红险三类，少数大型险企还会单独设立资本账户。其中传统险账户的负债精算金额久期最长，但通常不会超过20年，是可以做到久期基本匹配的。

作者简介

王晴，北美精算师(FSA)，特许金融分析师(CFA)，本科毕业于中国科技大学，获美国威斯康星大学数学博士学位。

早年曾任职于美国林肯国民公司，美国CNA保险公司，韩国三星人寿，归国后在多家寿险公司任总精算师。