下列二重极限求解过程是否都正确，关于二重极限存在性判定与计算的一些注意事项

打卡

｜思考与练习

问题: 试问下列求极限过程对吗? 如果不对, 错误的原因是什么? 请指出错误并给出正确解答过程.

判 断 极 限 的 存 在 性

【注1】打卡内容为基本概念、基本思想与基本方法的查漏补缺，练习和问题相对比较基础，更多提高、强化专项训练专题可以查阅。所有练习适用于非数学专业的高等数学、微积分、工科数学分析与数学专业的数学分析课程的学习、竞赛备赛与考研备考。

特别提醒：不管是基础综合练习，还是专项强化训练，或者是做其他练习，一定不要做完、核对完答案后就不管了！这些题目都具有代表性，一般代表了一类问题，或者某个知识点的应用、或某个题型的求解思路与方法，不仅对于解题思路要理解、掌握，同时对于涉及的知识点、解题思想与方法要总结，对于其中的一些结论、结果最好能够记住。同时，对于给出的参考解答过程，要仔细推敲一下，为什么这么做？问题解决的突破口在哪里？还有没其他更好的方法，自己的方法为什么不对，或者自己想不到求解思路的主要原因是什么？最后要注意及时查漏补缺，保证在再出现类似问题时，能够重现求解思路与过程，从而保证训练的有效性！

【注】数学内容推文整理分享、阅读都不容易，费时费力更费脑！参考解答仅供参考，解答过程与思路仅代表作者对问题的理解，解答过程不一定严谨或完全正确，或者是最优的，希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们在文后留言不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过管理员邮箱、微信或QQ以图片、或Word文档形式发送给管理员，对于分享的完整思路与解答过程，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！

练习参考简答

解答：(1) 不对。因为改写后的极限式与原极限式不等价。原极限式中仅仅是 ，而改写后的极限式中要求 且 ，即改写后的极限式比原来极限式少了一条逼近的路径，因而由右端的极限式的极限的存在性不能断定原极限存在，所以由右端极限等于 不能断定左端极限也等于 。

正确方法：[法1]对任意的 ，由 ，故有

所以由夹逼准则可知 。

[法2]因为是 ，故可考虑极坐标方法，令 ， ，则当 时，不管 如何变化，都有 ，故

于是由等价无穷小与有界量乘以无穷小, 得

(2) 正确。

(3)[法1]选取路径 ，则

选取路径 ，则

所以 时，二重极限不存在。

[法2]由极坐标方法，令 ， ，则

如果 与 无关，直接的结论应该是极限等于 ——这个与[法1]矛盾？ 也可以是 的函数，通过 的变化转换为趋于 的过程。如 （ ， ），即 按照这个正弦曲线路径趋于 ，则代入上面极限式，得

对于上式，如果取 ，则以上极限为

如果取 ，则以上极限

所以 时，二重极限不存在。

注：关于二重极限的注意事项：

• 二重极限存在，要求 按照任意路径趋于 的极限都存在且相等。如果有两条不同的路径极限都存在，但是极限值不等，则二重极限不存在；如果有一条路径极限不存在，同样二重极限也不存在。对于 ，常用的路径取为沿坐标轴，如 ， ， ， （ 为实常数），当然也可以取为其他路径，比如 等。

• 一般一元函数求极限的思想与方法也适用于二重极限，但要注意在改写函数表达式时要注意是恒等变换，如果不是恒等变换，要对可能出现的情况专门进行说明与讨论。

• 极坐标方法求极限一般适用于 ，同时要注意 不仅可以取任何值，而且可以取为 的函数变化，当然 本身的变化也可以取为趋于 某个定值的过程，而比如当 ，此时 可以取为 的变化过程，也可以取为 的变化过程。

其中(3)题来自于《高等数学、数学分析综合提高练习册》,点击推文:.

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