在你看不见的角落，数学家们驯服了126维的“怪兽”

2024年，数学家证明126维空间存在Kervaire不变量为1的流形，从而完全解决了有着60余年历史的Kervaire不变量问题。值得一提的是，完成这项突破性成果的三人均是北大校友。

撰文 | Marianne Freiberger

翻译 | 楠客

审校 | 7号机

能否通过一种叫“手术”的拓扑变换，将形态各异的几何空间重塑为球体？这个拓扑学中著名的Kervaire不变量问题困扰了科学家们很久，直到最近才被彻底解决。

2024年5月30日，普林斯顿大学研讨会的参会者见证了一个激动人心的时刻。加州大学洛杉矶分校的数学家徐宙利宣布，他与同事们一起解决了一个自20世纪60年代以来一直困扰着数学家的问题——第126维的Kervaire不变量问题。这个问题涉及奇异形体，被称为Kervaire不变量问题，以数学家米歇尔·科维尔（Michel Kervaire）的名字命名。

去年，徐教授访问了位于剑桥的艾萨克·牛顿数学科学研究所，参与了名为“等变同伦论”（带有对称性（群作用）的空间连续形变）的研究项目。他在这里与明尼苏达大学的迈克尔·希尔（Michael Hill）教授合作，后者在2009年帮助他取得了突破性的进展。

让我们跟着希尔和徐宙利的视角领略各个维度，重走漫长而艰辛的 Kervaire 不变量问题证明之旅。

何为最完美的形状？

讲述这个引人入胜的问题的一种方法是，从“哪种几何形状最令人愉悦？”这个问题入手。虽然这取决于个人品味和喜好，不过球体无疑是强有力的竞争者。它圆润完美，永无止境，而且自成一体。

球体是一种非常理想的形状，很容易描述——球体由所有到给定中心点距离为固定值r的点组成。一旦你知道了中心点和半径r，你就掌握了关于球体的一切信息。它完美地平衡了简洁与完美。“球体是一个非常美丽的物体，”徐宙利曾说，“如果你在寻找一个[范围有限的物体]，球体就是大部分人首先想到的例子。”

球体是由到给定中心点距离相等、距离固定的所有点组成的。

来源：freepik

拓扑学：探究“孔洞”的重要性

鉴于球体的特殊地位，一个自然而然的问题是：任何其他形状与球体究竟有多大区别？高尔夫球和橙子并非完美的球体，它们表面有凹陷和凸起。然而，如果就此断言它们的形状本质上并非球形，那就太片面了。

橙子和高尔夫球虽然不是完美的球形，但它们仍然具有球形的一些特征。

拓扑学这一数学领域，可以帮助我们理解这一点。在拓扑学中，无需切割或粘合即可相互变形转化的两种形状被认为是等价的。在这种较为宽松的视角下，高尔夫球和橙子等价于球体。

球体本质上是一个曲面。虽然它在我们学校里学到的三维欧几里得空间里很常见，但其自身却仅具有二维属性（仅需要两个维度：经度和纬度，即可描述球面上任意一点的位置）。当然，曲面的形态远不止这一种，事实上，曲面的形态是无穷无尽的。你的手机或笔记本电脑屏幕各自构成了一个曲面，你正准备享用的咖啡和甜甜圈也是如此，而且盛放咖啡的杯子本身也是一个曲面。

事实上，曲面种类繁多，无穷无尽。当数学家们面对如此无穷无尽的对象时，他们便会想要对它们进行分类。“分类定理的强大之处在于它能给你一个完整的列表，”徐宙利说，“这就像有很多篮子。给定一个特定的物体，你就有办法决定它应该放在哪个篮子里。”

在拓扑学中，分类的依据是孔洞。拓扑等价于球面的曲面不能有任何孔洞：如果它们有孔洞，那么为了得到一个球面，你就必须把这些孔洞粘起来，而这是不允许的。这就是为什么甜甜圈（“环”面）不等价于球面。然而，它却等价于咖啡杯，因为咖啡杯也有一个孔。

把甜甜圈变成咖啡杯。

这种方法也普遍适用于其他曲面。假设你正在观察一个曲面，它的性质与球面和环面类似，都是封闭的。首先，这意味着它没有边缘，你不会在上面行走时摔倒。球面和环面都符合这个条件，但圆盘则不然，因为圆盘有清晰的边界。其次，封闭性还意味着你的曲面是有限的，也就是说，你可以用有限数量的面片来构建它（这种性质也称为“紧致性”）。同样，球面和环面也符合这个条件，但平面则不然，因为平面向各个方向无限延伸，所以你需要无限多个面片才能构建它。

最后，假设你所观察的曲面是“可定向的”——这意味着它有明确的内外之分。球体和环面都符合这个条件，但只有一面的莫比乌斯带则不符合。

莫比乌斯带和球体一样都是曲面。但与球体不同的是，它没有两个不同的面。它是不可定向的。图片：David Benbennik，CC BY-SA 2.0

事实证明，任何封闭且可定向的曲面，其拓扑性质完全由其所拥有的“孔洞”的数量决定：如果没有孔洞，则其拓扑等价于球面；如果有一个孔洞，则其拓扑等价于环面；如果有两个孔洞，则其拓扑等价于一个有两个孔洞的环面，以此类推。一旦确定了曲面的孔洞数量（也称为曲面的“亏格”），就知道它属于哪个拓扑类——这是一种简洁的孔洞层级结构。

一个球体、一个环面、一个有两个孔的曲面和一个有三个孔的曲面。但与球体不同的是，它没有两个不同的面。

数学家将曲面上的孔洞数量称“不变量”。在拓扑学允许的变换范围内（不进行切割或粘贴），曲面上的孔洞数量不会改变。通常，在数学中，不变量是分类对象的有效工具。所有不变量值相同的对象都被归入同一个类别。例如，我们可以将没有孔洞的曲面归为一类，将有一个孔洞的曲面归为一类，将有两个孔洞的曲面归为一类，以此类推。

回到我们最初的问题，即哪些表面可以被视为是“接近”或“近似”球体呢？现在我们有了一个可能的答案。它们就是“第一个篮子”里的那些：闭合的、可定向的、没有孔洞的曲面。

更高维度呢？

正如本文开头所述，真正有趣的事情发生在维度提升之时。我们无法在高维空间中直观地看到形状，因为我们的大脑天生就不具备这种能力。然而，我们完全可以用数学方法来定义高维空间以及存在于其中的形状。只要掌握了数学工具，即使看不到物体，也能对其进行运算。

我们熟知的普通球体被称为二维球面，因为它是一个二维物体。对于每个维度n（n可以是3及以上的任意整数），都存在一个与二维球面类似的物体，称为n维球面。正如二维球面存在于一个三维空间中一样，你也可以将n维球面想象成存在于一个n+1维空间中。

对于每个维度n，都存在被称为n维流形的形状（抽象的，可以变形的几何空间结构）。就我们目前的讨论而言，它们是可以被看作是“曲面”在高维空间中的对应物。这些n维流形的形状附带一些映射，可以帮助我们剖析和理解它们。

庞加莱猜想

现在你可以提出与前文相同的问题：哪些n维流形在拓扑上等价于n维球面？对于三维流形来说，这个问题引发了一场持续百年的数学远征。受普通二维球面研究结论的启发，法国数学家亨利·庞加莱于1904年提出猜想：所有闭合且“无孔洞”的3维流形，在拓扑上都等价于3维球面。

因为这与我们可以直接想象的低维情形完全可以直接类比，你可能会认为这个结果应该很容易证明。但是事实并非如此，20世纪代数拓扑学的大部分研究都集中在证明庞加莱猜想上。直到21世纪初，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼（Grigory Perelman）发表了三篇论文，证明了庞加莱猜想（实际上，他证明了一个更广的结果，称为“瑟斯顿几何化猜想”，以数学家比尔·瑟斯顿（Bill Thurston)的名字命名）。佩雷尔曼因其工作于2006年被授予菲尔兹奖，这是数学界最重要的奖项之一，但他拒绝接受，这也是菲尔兹奖首次被拒绝。

1992 年的格里戈里·佩雷尔曼（Grigory Perelman）照片：George Bergmann，CC BY-SA 4.0。

由于庞加莱猜想在三维球面上都难以证明，人们可能就会认为更高维度的证明会更加困难。但奇怪的是，事实并非如此。在佩雷尔曼证明三维球面上的庞加莱猜想之前很久，四维及更高维度球面上的庞加莱猜想的推广版本就已经被证明了——五维球面上的证明在20世纪60年代被证明，四维球面上的证明在20世纪80年代被证明。约翰·米尔诺（John Milnor）、史蒂夫·斯梅尔（Steve Smale）和迈克尔·弗里德曼（Michael Freedman）也因此分别获得了菲尔兹奖章。

在前面我们梳理了任意维度中与球面拓扑结构最接近的类比对象。现在，我们准备寻找稍微远一些的类比对象——而这正是Kervaire不变量问题的核心所在。

如果我们不再局限于那些只能挤压或拉伸，而不允许切割或粘合的流形，而是允许更剧烈的改变，会怎么样呢？如果我们允许从流形中切割出部分形状，并将新的形状沿着切割后的原始形状的边界粘合进去，又会怎么样呢？如下图所示，这样一来，就可以将环面变成球面。

沿着蓝线（顶部）切割圆环，并将其弯开，得到一个两端开口的管子（左下）。然后在开口处粘上盖子（右上），并将形状“充气”成球体（右下）。

实际上，这种切割和拼接的操作在数学上有着明确的定义，称为“手术(surgery)”。你可以将那些能通过“手术”变成球面的曲面想象成球体的“远房表亲“”。它们在拓扑学上并不等价于球面，但经过一些“手术”处理后就能变成球面。

Kervaire不变量问题旨在寻找与球面密切相关的、具有手术性质的“表亲”。它仅限于在带有框架的流形中寻找，也就是说，这些流形带有其在周围高维空间中位置的额外信息。问题是：给定一个带有框架的n维流形，它能否通过手术转化为n维球面？

顽固的维度

1969 年，美国数学家威廉·布劳德（William Browder）证明，在“大多数”维度中，任何框架流形都可以通过手术转化为拓扑球面，这一发现使该问题取得了重大进展。

由此产生的拓扑球面被称为奇异球面，这意味着它拥有更深层的数学结构（微分结构），与真正的n维球面有着本质区别。将奇异球面转化为真正的n维球面的过程，包含着剧烈的波动和变化，而这种更深层的结构无法承受这些波动。米尔诺在20世纪50年代发现了奇异球面，并发明了处理它们的“手术”方法。尽管奇异球面确实很奇特，但它们仍然是拓扑球面。

以此类推。这意味着对于框架化的二维流形、六维流形、十四维流形、三十维流形等等，它们有可能非常棘手，即使通过切割和粘贴的方式也无法将它们变成拓扑球面。

屡败屡战

正是这个不变量再次帮助我们找到了这些棘手的流形。1960年，在土耳其数学家卡希特·阿尔夫（Cahit Arf）工作的基础上，科维尔（Kervaire）定义了一个数，可以针对任何给定的框架流形计算该数。它的值始终为0或1。如果该数的值为0，则该流形可以被精确地转换为球面；如果值为1，则该流形无法被精确地转换为球面。这个数后来被称为Kervaire不变量。它定义了两个类别：一个类别包含可以精确地转换为球面的流形，另一个类别包含不能精确转换为球面的流形。

根据布劳德的结论，Kervaire不变量只有在维数为2k-2的流形上才能等于1。因此，数学家们开始寻找这类特殊的流形，并取得了一些初步的成功。到了20世纪80年代，他们已经证明，在2、6、14、30和62维的流形中，存在Kervaire不变量为1的框架流形。

迈克尔·希尔（Michael Hill）

在这些案例中，阻碍“手术”构建的是它们的框架结构，也就是它们在周围空间中的位置。“对于给定的流形，可能存在不同的框架结构，”徐宙利说道。“在一种框架结构下，你或许可以通过手术将流形转化为球体，但在另一种框架结构下则可能不行。”即使是简单的环面也存在阻碍手术的框架结构。通俗点来说，就是一旦框架结构源于对环面的扭曲，使其穿过自身。这种扭曲无法通过手术逆转。

四维空间中，进阶版「莫比乌斯带」—— Klein瓶的演化。

数学的本质往往是仁慈的，它总能证实数学家门所语感的规律。因此人们曾普遍假设2k-2列表中的所有其他维度都会遵循同样的规律：所有这些维度都包含Kervaire不变量1的框架流形。

希尔说：“当时的主流观点认为这些流形都存在，而且该领域的大多数研究人员都曾试图证明这一点。”英国数学家维克托·斯奈斯（Victor Snaith）甚至在2009年出版了一本关于Kervaire不变量流形1的书，并在序言中写道：“这本书最终可能会证明它们并不存在。”这种它们可能不存在的情况被称为“末日假说”，因为它似乎会让很多研究成果付诸东流。

“但是，人们试图证明[存在的框架流形Kervaire不变量1的证明]的努力总是付诸东流，”希尔说，“人们就像海浪一样不断撞击岩石海岸。”

希尔，迈克·霍普金斯（Mike Hopkins）和道格拉斯·雷文内尔（Douglas Ravenel）决定从侧面入手解决这个问题。“我们一直在研究霍普金斯和米勒开发的所谓高阶实K理论，”希尔说。这些工具用于同伦理论（空间连续变化），前景广阔，但人们尚未能将其应用于许多领域。“我们当时想，等等，我们能不能用这些工具来解释Kervaire不变量的问题呢？于是我们坐下来做了些初步计算，看看整个过程该如何进行。”

事实证明，这个想法令人大吃一惊。斯奈斯出版了他那本影响深远的著作后不久，希尔、霍普金斯和雷文内尔就证明，在254维及以上的空间中，不存在Kervaire不变量等于1的流形。“我们当时想，我的天哪，情况比我们想象的要复杂得多。这比我们预想的还要离奇。”

最后的疆界：维度126

这样就剩下一个维度尚未解决——126维。希尔及其同事取得突破后不久，徐宙利在彼得·梅（Peter May）的指导下于芝加哥大学攻读博士学位。“当时我正在彼得·梅的办公室里和其他新来的博士生聊天”彼得突然说：“最近希尔、霍普金斯和雷文内尔解决了Kervaire不变量问题，但有一个例外：126维。你为什么不试着去解决这个问题呢？这就是你的论文课题了。”我以为他在开玩笑。”

但彼得是认真的——徐宙利感到畏惧，也是情理之中的。彼得把徐宙利介绍给了马克·马霍瓦尔德（Mark Mahowald），当时他是西北大学（美国高校）该领域的权威专家，后来也成为了徐宙利的博士生导师。“Kervaire不变量问题属于一个更大的领域，即研究球面的稳定同伦群” 徐宙利说，“马霍瓦尔德对这个领域有着百科全书般的了解，不仅仅是文献方面的知识：他脑子里也装着很多东西。”马霍瓦尔德也向徐宙利证实了，126维问题是一个“毕生难解的难题”。

徐宙利

徐宙利于2011年开始研究这个领域时，那会人们对126维空间的发展方向还没有什么清晰的认识。而且用于126维以上空间的方法与用于低维空间的方法截然不同。徐宙利首先深入研究了62维空间——这是126维之前最后一个符合要求的维度。有趣的是，要证明62维空间的结果，并不需要了解之前所有维度的全部信息。“这里有个捷径，”徐宙利说，“你只需要掌握大约四分之三维度的完整信息——直到大约45或47维。”

为此，徐宙利需要深入理解球面上的稳定同伦群——这些对象涉及不同维度球面之间的关联方式。问题在于，这种理解过去是、现在仍然是代数拓扑学中最大的挑战之一。拉瓦内尔曾表示，他不认为在他孙辈中，有生之年能够实现这一目标。

徐宙利开始研究Kervaire不变量问题时，人们对球面稳定同伦群的严格理解仅限于40维左右。“彼得·梅建议说，‘你的问题是126维的。其中四分之三的维数在90多维左右。如果你能将知识范围扩大一倍，然后再寻找捷径，或许就能达到126维了。’”

在接下来的十年左右时间里，徐宙利决定采用这种方法，并得到了韦恩州立大学的丹·伊萨克森（Dan Isakson，徐宙利的第三位博士生导师）的关键指导。上海复旦大学的林伟南和王国祯两位合作者在研究的不同阶段都有参与其中，提供了用于对球面稳定同伦群进行复杂计算的精密计算机程序。

遗憾的是，尽管付出了巨大的努力，捷径终究未能走通。然而徐宙利、林伟南和王国祯并没有止步，他们毅然决然地向高维空间发起了冲击，并在125维空间进行着最后的艰苦努力。最终，在2024年，他们证明了：126维空间确实存在Kervaire不变量为1的框架流形——这些流形无法通过手术转化为球面。

这最终解决了所有维度的Kervaire不变量问题：Kervaire不变量为1的框架流形仅存在于 2、6、14、30、62和126维空间中。因此，这类特殊的流形非常罕见。在所有其他维度中，所有框架流形的Kervaire不变量均为0。

陷入困境——但并非孤身一人

如果说Kervaire不变量问题证明了什么，那就是如今的数学是一个高度协作的学科。希尔和徐宙利都提到他们经常与合作者会面、互访和进行视频通话，也强调了会议的重要性，例如他们目前正在牛顿数学科学研究所参与研究项目。“我非常享受这个项目，”徐宙利说，“事实上，我曾在2018年或2019年参加过这里的一个研讨会。那次访问对我来说收获非常大，这次也有很多机会与很多人交流，交换想法，探讨未来的研究方向。”

希尔对此表示赞同。“我与一些人开始了新的合作，其中一些人在此项目之前我从未见过面，”他说。“大多数资深人士我都认识，但很多早期研究人员我之前都没有机会见面。能够有机会与他们交流，推进我正在思考的问题，并拓展到其他领域，真是太好了。”事实上，该领域另一个重大难题——望远镜猜想——的证明已于2023年在牛顿数学科学研究所组织的另一次会议上公布。

“Kervaire不变量问题还揭示了数学的另一面：它有时既深奥得令人望而生畏，而且还带有那么一点儿磨人的挫败感。在采访中，徐宙利生动地讲述了他数次陷入僵局的经历，有时一困就是好几年。但这些并不是让他放弃尝试的借口，而是提醒我们要慎重选择研究课题。‘你应该去做那些让你发自内心感兴趣的事。这样你才会知道，当你在未来的某一天终于解开难题时，那种兴奋感将是无与伦比的。’”

本文经授权转载自微信公众号“中科院物理所”。

原文链接：Hunting strange shapes in higher dimensions

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https://plus.maths.org/hunting-strange-shapes-higher-dimensions

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