北大韦东奕等SCM论文解决了菲尔兹奖得主 Lions 提出的密度斑块问题

郝田田，邵锋，韦东奕，章志飞

摘要

我们在非常一般的假设下构造了二维非匀质Navier-Stokes方程的一类全局强解，其中初始密度仅假设有界，初始速度属于 。在对初始密度进行适当额外假设(包括密度斑块和真空气泡情形)后，我们证明了Lions弱解与具有相同初值的强解相同。特别地，这完全解决了菲尔兹奖得主Lions(1996)提出的密度斑块问题：对于密度斑块初值 (其中 为光滑有界区域)，Lions弱解在演化过程中保持 的正则性。

研究背景

故事要从1996年讲起。法国数学家、菲尔兹奖得主Pierre-Louis Lions在其经典著作[5]中，系统地研究了非匀质Navier-Stokes方程：

与经典的常密度Navier-Stokes方程不同，这个方程组描述了密度分布不均匀的不可压缩粘性流体，其演化同时受控于速度的输运—扩散与密度的纯对流，结构更为复杂。Lions证明了对于 ， ，该方程整体弱解的存在性。

自然地，他提出这样一个深刻的问题：

“假设初始密度 是一个光滑区域 的特征函数，即 ，这意味着流体是一块密度均匀的‘斑块’，周围是真空(或者内部有真空气泡)。书中定理2.1保证至少存在一个整体弱解。那么，一个很自然的问题是：区域 的正则性(例如边界的光滑性)是否会随时间演化而保持？”

这就是著名的“Lions密度斑块问题”。它类似于流体力学中另一个经典问题——二维Euler方程的“涡块”问题，后者由法国科学院院士Chemin在1993年解决[1]。

在Lions提出问题后的二十多年里，许多数学家都在尝试攻克它。解决这个问题的核心难点在于，初始密度是间断的，可以取 和 两个值(即允许真空出现)，这对解的正则性理论构成了巨大挑战。

在众多努力中，中国科学院数学与系统科学研究院的张平院士与其合作者廖娴的工作尤为关键。2019年，他们在Communications on Pure and Applied Mathematics上发表了关于二维密度斑块的重要成果[4]。他们证明了，对于正密度跳跃的情况(即 ，其中 )，强解的斑块边界正则性可以得到保持。尽管[4]没有触及Lions弱解，这一工作仍为最终解决Lions的原版问题奠定了坚实的基础，并首次揭示了这类问题与输运方程、流映射正则性之间的深刻联系。

然而，对于原版Lions问题中 的情况(即流体区域外是完全真空)，依然需要一些额外的技术假设，比如对初始速度施加一个很强的“相容性条件”[6]。Lions提出的原始问题——在没有任何额外假设下， 时弱解是否保持边界正则性——依然悬而未决。

主要结果

我们发表在 Science China Mathematics 的论文[2]主要证明了以下结果。

1. 构建了极其一般条件下的整体强解

首先，我们在没有任何相容性条件的假设下，证明了只要初始密度 且不恒为零，初始速度 ，那么二维非匀质Navier-Stokes方程就存在整体强解。

1. 证明了Lions弱解与强解的唯一性，彻底解决密度斑块问题

在此基础上，如果初始密度 满足以下两个非常宽松的条件之一：

(H1) 具有紧支集(例如，一个有限的密度斑块)；

(H2) 在任何固定的球内都有均匀的正质量(例如，允许有可数无穷多个大小相同的真空气泡)。

那么，我们证明了“弱强唯一性”：由Lions构造的整体弱解，与本文构造的整体强解是完全相同的。这个结论至关重要，因为强解具有更好的正则性，其密度由初始密度沿着速度场的流映射输运得到，即 。由此，我们得到了一系列漂亮的推论，彻底回答了Lions的提问：

推论. 对于初始密度为 或者 的密度斑块( 是一个具有 边界的有界区域，其中 )，Lions意义下的弱解是唯一的，并且满足 ，其中 。更重要的是， 的边界与初始区域 一样光滑(即保持 正则性)。

这意味着，即使流体内部存在真空，密度不连续的分界面也会像一个被拉拽的光滑曲面一样，始终保持其光滑性，而不会产生新的奇点。这正是对Lions问题的完美解答。

我们在论文[2]中发展的方法和思想具有高度普适性，引发了大量后续相关研究。在近期发表于International Mathematics Research Notices的论文[3]中，我们解决了Lions在他的专著[5]中提出的另一个公开问题：在临界框架下，二维非匀质Navier-Stokes方程的Lions弱解在初始密度远离真空情形下的唯一性。同时，我们在论文[3]中首次将Fujita-Kato小初值理论完整推广至三维非匀质Navier-Stokes方程。

【参考文献】

[1] Chemin J-Y. Persistance de structures geometriques dans les fluides incompressibles bidimensionnels. Ann Sci Ecole Norm Sup (4), 1993, 26: 517--542

[2] Hao T T, Shao F, Wei D Y, et al. On the density patch problem for the 2-D inhomogeneous Navier-Stokes equations. Sci. China Math., 2026, 69, https://doi.org/10.1007/s11425-025-2505-y

[3] Hao T T, Shao F, Wei D Y, et al. Global well-posedness of inhomogeneous Navier-Stokes equations with bounded density. Int. Math. Res. Not. IMRN 2025, Paper No. rnaf283, 26 pp

[4] Liao X, Zhang P. Global regularity of 2D density patches for viscous inhomogeneous incompressible flow with general density: low regularity case. Comm. Pure Appl. Math., 2019, 72: 835--884

[5] Lions P-L. Mathematical topics in fluid mechanics, volume 1, Incompressible models. Oxford Lecture Series in Mathematics and Its Applications, vol. 3. Oxford: Clarendon Press, 1996

[6] Prange C, Tan J. Free boundary regularity of vacuum states for incompressible viscous flows in unbounded domains. To appear in Amer. J. Math.; arXiv:2310.09288, 2023

作者简介

郝田田，山东大学数学学院助理研究员。主要研究兴趣为偏微分方程，尤其是流体力学方程的适定性理论。2025年加入山东大学数学学院。

邵锋，北京大学2021级基础数学专业直博生，研究方向为偏微分方程。

韦东奕，北京大学数学科学学院长聘副教授、研究员、博士生导师。韦东奕研究员的研究聚焦于偏微分方程的数学理论，在流体力学方程、非线性波动方程、奇点分析与稳定性问题等领域取得了具有国际影响力的研究成果。

章志飞，北京大学数学科学学院博雅特聘教授、博士生导师。章志飞教授的研究专注于偏微分方程的理论领域，尤其在流体动力学方程的适定性理论、液晶的数学理论以及流动稳定性与边界层的数学理论等方面取得了卓越成果。

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来源：中国科学数学

（本文编辑：刘四旦）

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