四道函数的导数计算方法步骤举例(1)

内容目录：

1.y=(4x+cosx²)³的导数计算

2.3y=ln(x²-y²)导数计算

3.函数y=4√[xsin(54x+30)]的一阶导数计算

4.函数y=(2x+19)(5x+20)(30x+20)(31x+24)(28x-8)的导数计算

具体内容：

1.y=(4x+cosx²)³的导数计算

主要内容：

本文通过函数的链式求导和取对数求导方法，介绍多种函数构成复合函数y=(4x+cosx²)³的导数计算主要步骤。

链式求导法则

y=(4x+cosx²)³,则有：

dy/dx=3(4x+cosx²)²*(4x+cosx²)',即：

dy/dx=3(4x+cosx²)²*(4-sinx²*2*x).

则：dy/dx=3(4x+cosx²)²*(4-2x*sinx²)。

取对数求导方法：

因为y=(4x+cosx²)³,两边取自然对数有：

lny=3ln(4x+cosx²),再对方程两边同时对x求导，有：

y''/y=3(4x+cosx²)'/(4x+cosx²),

y'/y=3(4-2x*sinx²)/(4x+cosx²),

y'=3(4x+cosx²)³*(4-2x*sinx²)/(4x+cosx²),

所以：y'=3(4x+cosx²)²*(4-2x*sinx²)。

本题函数的复合

本题由函数y₁=4x(一次函数，也为正比例函数)，y₂=x²（幂函数）,y₃=cosy₂（三角函数，也为正弦函数）,y₄=y₁+y₃（两个函数的和函数）,y=y₄³（幂函数）复合而成。

知识拓展：

导数,也称之为导函数，是函数的局部性质，其几何意义就是曲线上该点切线的斜率。

函数求导，实质上就是一个求极限的过程，导数的四则法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数，也可以反过来求原来的函数，此时即为求不定积分计算。

2.3y=ln(x²-y²)导数计算

主要内容：

本文通过隐函数的求导法则及对数函数的求导公式，以及构造函数导数法，介绍计算隐函数3y=ln(x²-y²)导数的计算主要步骤。

导数公式法：

3y=ln(x²-y²),两边同时对x求导有：

3dy=(2xdx-2y*dy)/(x²-y²),

3(x²-y²)dy=2xdx-2y*dy

[3(x²-y²)+2y]dy=2xdx

dy/dx=2x/[3(x²+y²)+2y].

构造函数导数法

设F(x,y)=3y-ln(x²-y²),

则F(x,y)对x求导有：

F'x=-2x/(x²-y²),

进一步F(x,y)对y求导有：

F'y=3+2y/(x²-y²)，所以有：

dy/dx=-F'x/F'y

=[2x/(x²-y²)]/[3+2y/(x²-y²)]

=2x/[3(x²+y²)+2y]。

3.函数y=4√[xsin(54x+30)]的一阶导数计算

主要内容：

本文通过链式求导、取对数求导等方法，以及幂函数、正弦函数导数公式和函数乘积求导法则，介绍计算函数y=4√[xsin(54x+30)]一阶导数的主要步骤。

主要步骤：

※.链式求导法

因为y=4√[xsin(54x+30)]=[xsin(54x+30)]^(1/4)，对x求导，有：

dy/dx=(1/4)*[xsin(54x+30)]^(1/4-1)*[sin(54x+30)+54xcos(54x+30)].

=(1/4)*[xsin(54x+30)]^(-3/4)*[sin(54x+30)+54xcos(54x+30)].

=(1/4)*[sin(54x+30)+54xcos(54x+30)]/4√[xsin(54x+30)]^3。

※.取对数求导

y=4√[xsin(54x+30)]，两边同时取对数，有

lny=ln4√[xsin(54x+30)]=(1/4)[lnx+lnsin(54x+30)],

对方程两边同时求导，则：

y'/y=(1/4)[1/x+54cos(54x+30)/sin(54x+30)],

即：y'=(1/4)*y*[1/x+54cos(54x+30)/sin(54x+30)],

y'=(1/4)*y*[sin(54x+30)+54xcos(54x+30)]/[xsin(54x+30)],所以：

y'=(1/4)*4√[xsin(54x+30)]*

[sin(54x+30)+54xcos(54x+30)]/[xsin(54x+30)],

进一步化简可有：

y'=(1/4)*[sin(54x+30)+54xcos(54x+30)]/4√[xsin(54x+30)]^3。

4.函数y=(2x+19)(5x+20)(30x+20)(31x+24)(28x-8)的导数计算

主要内容：

本文通过取对数求函数导数法，介绍五个多项式乘积类型函数y=(2x+19)(5x+20)(30x+20)(31x+24)(28x-8)导数计算的主要步骤。

主要步骤：

解：对已知方程取对数，默认符合对数定义要求，此时有：

lny=ln(2x+19)(5x+20)(30x+20)(31x+24)(28x-8),

即：lny=ln(2x+19)+ln(5x+20)+ln(30x+20)+ln(31x+24)+ln(28x-8),

再对上述方程两边同时对x求导，有：

y'/y=[ln(2x+19)]'+[ln(5x+20)]'+[ln(30x+20)]'+[ln(31x+24)]'+[ln(28x-8)]',

进一步求导有：

y '/y=2/(2x+19)+5/(5x+20)+30/(30x+20)+31/(31x+24)+28/(28x-8),

所以：

y'=dy/dx=y*[2/(2x+19)+5/(5x+20)+30/(30x+20)+31/(31x+24)+28/(28x-8)],综合可知：

y'=dy/dx=(2x+19)(5x+20)(30x+20)(31x+24)(28x-8)*[2/(2x+19)+5/(5x+20)+30/(30x+20)+31/(31x+24)+28/(28x-8)]。

=(5x+20)(30x+20)(31x+24)(28x-8)+(2x+19)(30x+20)(31x+24)(28x-8)+(2x+19)(5x+20)(31x+24)(28x-8)+(2x+19)(5x+20)(30x+20)(31x+24)。