数论难题终告破！法尔廷斯解决莫德尔猜想，获阿贝尔奖！

格尔德·法尔廷斯（Gerd Faltings）于1954年出生于西德。中学时期，他曾获得一项全国性的数学奖项；在获得博士学位后，他又曾在哈佛大学担任一年研究员。

法尔廷斯在2024年说：“我最初的目标是拿到终身教职，这样我就能靠数学谋生了。”

格尔德·法尔廷斯是算术几何领域一位举足轻重的人物。他的思想与成果重塑了这一领域。他不仅解决了多项长期悬而未决的重要猜想，还建立了新的理论框架，引领了此后数十年的研究工作。他卓越的成就将几何视角与算术视角融为一体，充分体现了对深层结构性的洞察力所具有的力量。（图/Peter Badge/Typos1/The Abel Prize 2026）

数字——数学最基本的构件。它们可以相加、相乘，也可以与自身相乘（平方），还可以重复任意多次地相乘（如立方，或者更高次幂）。我们在学校里就学过做这些运算的所有基本规则。

数论是数学中最古老的分支之一。早在公元3世纪，一位名叫丢番图的数学家就提出了一些直到今日仍然让数学家们头疼不已的问题。这是因为，虽然数字在加、减、乘、除时所遵循的规则看起来简单，但一旦把乘法和加法混合起来，就会变得非常神秘。

丢番图方程含有一个以上的未知变量（通常用 a、b、x、y 等来表示），以及可以表示为整数的解。毕达哥拉斯定理（勾股定理）就是一个丢番图方程：a² + b² = c²。a、b 和 c 的整数解被称为毕达哥拉斯三元数组。这样的三元数组有无穷多个，其中最经典的一组是3、4、5。

但是，如果不是a、b、c的平方，而是立方呢？求解起来就没那么容易了。事实上，费马大定理说的就是：当n大于2时，方程 aⁿ + bⁿ = cⁿ不存在丢番图解。

果然，在数百年间，没人找到过任何当n大于等于3时（也就是方程次数为3或更高时）的整数解。包括欧拉、索菲·热尔曼、狄利克雷和勒让德在内的多位数学家，都曾分别在一些特定情形下证明费马是对的。但从1637年到1995年，整整跨越了数百年，安德鲁·怀尔斯才最终证明：对于任何大于2的n，这样的解都不存在。

一种被数学家用来理解数字的更深层规律的方式，是把它们表示成几何形状。这就是算术几何的领域。

方程可以表示为点的集合：方法是把方程写成函数，再把它的解画成坐标点。例如，方程 x² + y² - 1 = 0，可以写成 f(x,y) = x² + y² - 1，然后研究这个函数在什么地方等于零，也就是研究 f(x,y) = 0。

如果把它画在一张平面纸上，就会得到一个圆，它经过的点有：x = 1 或 -1 且 y = 0，以及 x = 0 且 y = 1 或 -1。

这个圆上的任意一点，都给出了满足该方程的一组 x、y 值；不过，这四组整数解是显而易见的，用数学家的话来说，就是“平凡解”。而且，它们也是唯一的整数解。

但是，满足这个方程的有理数解有无穷多组。例如，x = 3/5（0.6）、y = 4/5（0.8）就是一组。事实上，只要把分子和分母取得足够大，这条曲线上就有无穷多个有理数点。

它们之所以叫“有理数”，并不是因为它们表现得特别合理，而是因为它们能够表示成两个整数之比——也就是分数。

不过，这条曲线上更多的点其实是无理数；之所以这样命名，是因为它们不能表示成两个整数之比，尽管如果把分母取得足够大，就能用分数来近似。这就是丢番图逼近。

如果这听起来奇怪，不妨想想无理数 π：它的精确值不能被写成分数，但在实际应用中，可以用 22/7 或 3.142（即 3142/1000）来近似。而如果想要更接近它的真实数值，分子和分母就需要变得更大，比如 104,348/33,215。

因此，方程 x² + y² – 1 = 0 既有整数解，也有有理数解和无理数解。但如果把幂次改成3，变成 x³ + y³ – 1 = 0，那么它就不存在正的有理数解。

那些同时涉及乘法和加法的复杂方程，可以表示为数域中的曲线。所谓“域”，是指一个数字集合；在这个集合中，数字在相加、相乘，或者试图进行某种排序时，都遵循一套规则。例如，数域 Q 包含所有有理数——这里的 Q 代表 quotient（商）。复数——也就是包含 i（负1的平方根）的那些数——构成了数域 C。

一个多项式方程包含同一变量的不同次幂——比如 x³ + 3x² – x + 1 = 0。幂次越高，方程的次数就越高；而根据次数，我们可以确定它的“亏格”（genus）——这个量告诉我们曲线会有多少个“洞”。

椭圆曲线由三次方程表示，例如 y² = x³ + ax + b，因此它们的次数是3。这意味着它们属于亏格1；对于相应函数 f(x,y,z) = y²z – x³ – axz² – bz³，由 f(x,y,z) = 0 所定义的曲线，具有一个洞。怀尔斯在证明费马大定理时，就用到了椭圆曲线。

1922年，路易斯·莫德尔证明，椭圆曲线上的有理点可以由一个有限点群生成，而这些点按照可预测的方式运作。事实上，这些有理点构成一个阿贝尔群，这一性质由尼尔斯·亨利克·阿贝尔所发现；他的工作不断被证明是许多伟大数学思想的核心，而阿贝尔奖也正是以他的名字命名的。

那么，亏格为2或更高、由更高次方程描述的曲线又是什么情况呢？可惜的是，它们并不遵循如此直接明了的规律。

莫德尔曾猜想，这样的曲线只会有有限多个有理点，但他无法证明这一点。而莫德尔猜想，也让数学界着迷数十年。

法尔廷斯起初并不是冲着证明这一猜想去的，他只是希望自己的研究能产生一些有趣的结果。但到了1983年，他证明了沙法列维奇和泰特关于曲线有限性的相关猜想。这个结果正如帕尔申此前所预言的那样，同时也证明了莫德尔猜想，如今它被称为法尔廷斯定理。

法尔廷斯的方法让很多人感到意外，因为他并没有使用丢番图逼近，而是借鉴了泰特、帕尔申和斯皮罗的思想，通过代数曲线的分类来发展算术几何中的方法。

此外，他还不得不改进一个用来衡量有理数复杂程度的量，这个量被称为“高度”（Height）——粗略地说，它指的是能够精确定义这个数的分子或分母所需的最小长度。

严格来说，法尔廷斯定理表明：对于这些高阶曲线，在一个有界的法尔廷斯高度之下，其有理点只有有限多个。

1989年，保罗·沃伊塔确实使用了丢番图逼近，给出了一个新的证明，而这也为法尔廷斯带来了新的研究方向。他利用这些新工具建立了法尔廷斯乘积定理，随后又借此证明了关于有理点分布的莫德尔-朗猜想——这是另一个长期困扰数学界的难题。这也是他最重要的成就之一。

今天，法尔廷斯在算术几何中的工作，仍在不断解决长期悬而未决的问题，并为几何与数论的结合建立新的理论框架。