普林斯顿大学数学系是如何成为世界的中心的？

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保罗·哈尔莫斯，他是杰出的匈牙利裔美国数学家。作为冯·诺依曼的助手和鞅理论提出者约瑟夫·杜布的学生，他在逻辑、概率和统计、泛函分析等领域都做出了基础性的工作。

同时他还是优秀的数学教育家和作者，曾在美国芝加哥大学和普林斯顿大学等多所知名学府任教，更因为多部数学名著而享誉全球。他是美国数学会（AMS）的“斯蒂尔奖”（Leroy P. Steele Prize）得主。2012 年，美国数学协会（MAA）的一项重要写作荣誉更名为“保罗·哈尔莫斯 - 莱斯特·福特奖”。

他的著作《我想当数学家》的中文版于1999年首次在国内出版，时隔26年终于再版！

在这本被誉为20世纪“数学社会史”的传记中，哈尔莫斯讲述了自己与数学相伴的一生，以及同时代数学家们的种种趣闻。他亲自拍摄或收集了众多数学家的照片，让读者对这一群体产生全面而感性的认识。哈尔莫斯以数学家的角度深入讨论了该如何学习数学、如何做研究、如何营造良好的学习和学术环境，同时，他讲述了自己对数学的理解，并以亲身经历告诉读者：什么是真正的数学家，怎样才能成为一名数学家。

来源 | 《我想当数学家》

作者 | [美]保罗·哈尔莫斯（Paul Halmos）

译者 | 张十铭

01

世界的中心

对大小，比如房屋、人物、房间、书籍或人群的大小的记忆，通常比其他可感知的方面，比如颜色、形状、气味或声音的记忆，在可信度上低得多。

但是，不论真假，根据我的记忆，普林斯顿大学的数学系在 20 世纪 40 年代初期的规模很小。教员有十几位，研究生也不过几十名。至于研究院，我可以确定它的规模也很小，我存有当时油印的通信录：六位教授，一位“准教授”——沃尔特·迈耶（Walter Mayer），他的名字至今与同调论密不可分，被人们铭记。此外还有大约二十位访问学者（每学期略有不同），以及一位秘书布莱克（Blake）小姐。（我说的当然是那些搞数学的人，当中也有人文学者和经济学家，尽管我们大多数人都很在意，但他们可能根本就没被列在名单上。）

有五六位访问学者被称为助理，理论上每位教授配有一个助理，但是亚历山大太腼腆，太不愿意卷入其中，太注重隐私，所以他通常没有助理。他出身于一个古老的家族，亚历山大街（Alexander Street）就是以其一家族成员命名的，而且他很富有。据说，有一次他看到一座适合滑雪的小山，就买下了它。他爱好音乐，喜欢大声播放音乐。关于此还有另外一个故事：他设计了一个巨大的指数曲线形扬声器，喇叭口占据了起居室的大部分地板，其余部分一直延伸到地下室。他妻子对此相当反对。他和冯·诺伊曼是朋友，还经常去对方家中做客聚会，聚会并不忌酒。

有一年，亚历山大宣布了一系列关于同调的讲座，首场讲座就吸引了一大批听众。我也去了，既高兴又失望。引起这两种情绪的原因是相同的：这场讲座信守了最初的承诺，从头讲起，非常抽象，非常公理化，因此我可以听懂。

但是，出于同样的原因，他并没有讲得足够深入。在几天后的第二场讲座上，完美主义者亚历山大宣布，他对第一场讲座的公理基础并不满意，他现在要从头再来。在第三场讲座上发生了同样的事情。第四场讲座推迟了，跳过了一个星期。后来又有更多讲座延期或被跳过，实际上总共进行了六场讲座，但是全部都从第一页重新开始。第六场讲座之后，亚历山大放弃了这门课程，他就是无法把这门课提炼成他想要的完美形式。

研究院的教授们的行政职责并不繁重。他们需要开会，但次数很少，每年的主要问题是从申请者中遴选出下一年度的受资助者。亚历山大觉得，即使是这么一点行政工作也很繁重，于是他辞职了。虽然经历了一些犹豫和摇摆，但最终他的辞职申请“生效”，亚历山大成功地将自己从教授降级为“常任成员”。

爱因斯坦和冯·诺伊曼花在行政管理上的时间几乎和亚历山大一样少。就与有组织的大学数学界的联系而言，维布伦是执行官。然而，回到研究院在普林斯顿的老家，莫尔斯和外尔二人把工作演绎出了一种教育功能。每位初级访问学者均被邀请与他们中的至少一人单独会见，有时还会与两人一起见面。外尔面试了我，我觉得那段经历很可怕。他彬彬有礼，问我目前对什么数学领域感兴趣，询问我的长期研究计划，同时建议我准备在他的当前文献讨论班上做个报告。好的，先生！

虽然普林斯顿的整个数学群体只有五六十人，但从某种意义上说，它是无限大的。几乎每一位从国外来到美国的数学家，无论是来定居还是来访问（当时有很多人抵达），都理所当然地会在普林斯顿停留一天或一年。那些留在美国的数学家无论何时去的哈佛大学、耶鲁大学或其他地方，来时路上早已在普林斯顿落过脚。住在附近的数学家，在哥伦比亚大学、纽约大学或罗格斯大学的数学家，经常顺便来访，做报告或听报告，或者只是来喝杯茶、下一局围棋、聊一聊数学。研究生和刚毕业的博士们在学术研讨会和讨论班上发言，与世界上最著名的数学家竞争。普林斯顿是世界的中心，不仅仅是普林斯顿的数学家这么认为。

02

小人物

我们这些年轻人在研究院得到的最大激励，既不是来自那些教授，也不是来自那些已经出名的访问学者，而是来自我们彼此。富比尼（Fubini，一个身材矮小的人，操着一口断断续续的糟糕英语，这显然无法与他不朽的定理的荣耀相提并论）、克林（Kleene，一个身材魁梧的人，有一个双音节的名字，嗓音低沉而洪亮，使用一套超级仔细的符号记法，虽然还没有达到事业的巅峰，但已经颇具风范）、哥德尔（Gödel，一个瘦小、面色蜡黄、腼腆的人，远离人际交往，是一个传奇人物，还是一个魔术师），当我遇到这些人时，我对他们总是印象深刻。是的，印象深刻，但我并没有从他们身上学到多少东西。

我学习的人，和我交流思想并使我从中受到启发的人，都是那些初学者、小人物，比如瓦利亚·巴格曼 [Valja Bargmann，Valja 全称 Valentine（瓦伦丁），读成 Val-ya]、马伦·戴 、多萝西·马哈拉姆和拉尔夫·菲利普斯 。

还有一些在当时同样“无足轻重”的人，但他们的兴趣领域不同，因此对我的数学影响也不那么直接，他们是加勒特·伯克霍夫（Garrett Birkhoff）和克洛代·谢瓦莱（令人印象非常深刻，言语犀利，烟瘾很大，语速奇快，总是很兴奋）。

有些人与大学有联系，和研究院不来往（但谁能说得准呢？），他们是埃德·贝格利（Ed Begley，后来因“中小学数学考察组”而知名）、伦纳德·艾森巴德 [Leonard Eisenbud，一位非常“数学”的物理学家，他现在很自豪地被人们介绍为戴维·艾森巴德（David Eisenbud）的父亲，戴维是位纯而又纯的纯代数学家 ]、拉尔夫·福克斯（Ralph Fox，一位音乐会水平的钢琴手，跻身前三四位的围棋手）、格哈德·霍赫希尔德（Gerhard Hochschild，操着口开普敦英语，并叠加在德国口音之上，是所有永恒的灾难预言家中最愉快、最亲切的）、阿瑟·斯通（Arthur Stone，是英国团队的一员，该团队发表了著名的“化方为方”问题的解法）、约翰·图基（John Tukey，忙着写莱夫谢茨的书）和亨利·沃尔曼 [Henry Wallman，以胡雷维奇（Hurewicz）与沃尔曼的合作而出名，他沉迷于使用所有的电气设备来消磨时间，比如收音机；他后来移居瑞典，从此以后一直住在那里 ]。

在我来普林斯顿的第一年当中，学术研讨会的演讲者包括马克·卡茨（Mark Kac，从波兰来）、诺曼·莱文森（Norman Levinson）、巴克利·罗瑟（Barkley Rosser）、保罗·史密斯（Paul Smith）和奥斯卡·扎里斯基（Oscar Zariski）。我们怎么能不确信我们处于世界的中心呢？

保罗·埃尔德什是我在普林斯顿最早遇见的一批人中的一位。当时他26 岁，已经获得博士学位好几年了，一直在一个又一个博士后研究基金资助中徘徊。那时，他的英语很好，现在依然如此，但口音很重。我的匈牙利语几乎没有口音，但是已日渐生疏。

我们讲好彼此说英语，而且经常这样。虽然我年轻一点，但我认为自己在处世方面更聪明，我告诫埃尔德什：“博士后资助的营生固然很好，但是维持不了多久，工作很难找，你最好马上行动起来，开始找一份真正可靠的工作。”我怀疑他没听我的话。从那时起，他就以一种地理上完全出乎意料的方式，不停地旅行、讲演、讲学，甚至时不时地在很短的时间内进行教学。

他拎着手提箱，四处漂泊，每时每刻都在谈论数学，以便找到一个愿意合作的人。他还撰写了数百篇（字面意思，确实数以百计）论文。在我告诫他四十年之后，埃尔德什仍没觉得有必要寻找一份“可靠”的工作。

我不喜欢埃尔德什喜欢的那种组合 - 几何 - 算术问题，但他非常擅长这些，没人能不对此印象深刻。有人会碰巧问到他一个他一无所知的领域的问题，此时，他就要求对方告知基本词汇的定义，如果结果表明他的集合论“计数”技巧是与之完全相关的，他就开始寻找答案。

一个典型的例子是希尔伯特空间中有理点集的维数，这是胡雷维奇提出的一个问题。埃尔德什对希尔伯特空间是什么有点模糊，他也不知道“维数”是什么意思。亨利·沃尔曼给他下了定义，不久埃尔德什就提出了解决办法。（答案是 1。）这篇论文发表在 1940 年的《数学年刊》上。对于几个月前还完全不了解的主题，埃尔德什却做出了重要的学术贡献。

03

工作

在普林斯顿的“数学乡村俱乐部”，大家——包括我，是如何完成工作的呢？我在那里的生活充满了美好的回忆，比如，同施特罗特（Strodt）和安布罗斯散步三小时，每天下围棋、围棋、围棋，抽出时间制作一副旅行围棋棋盘（在 361 个点上钻孔，用图钉当棋子），在围棋上击败爱德华·拉斯克（Edward Lasker），欣赏富尔德大楼（Fuld Hall，即将落成的研究院大楼）的建设过程，在公共休息室里无所事事。

晚上适合社交，在狐狸酒吧（Foxes）玩红心大战，凌晨三点去巴尔特（Balt）喝一杯热巧克力。巴尔特是一家巨大的快餐店，铺满白色的瓷砖，看起来更像是浴室而不是餐厅，但有一个好处是通宵营业。至于爱德华·拉斯克，他和伟大的国际象棋冠军伊曼纽尔·拉斯克（Emmanuel Lasker）不一样，但他也是一位国际象棋大师，专家级棋手，还是一位多产的著名作家，写过许多国际象棋和围棋等棋类书籍。

在其他活动的间隙，我还有空闲阅读罗曼·罗兰的《约翰·克利斯朵夫》（Jean-Christophe）和海因里希·曼（Heinrich Mann）的《亨利四世的青年时代》（Young Henri of Navarre），并在申请国籍证明时同官僚机构理论。

我一直是美国公民，但我没有一份足够正式的文件来证明这一点，我想在战争时期，这样一份文件可能会有用。它到现在也没什么用，我根本不需要它。很久以后，当我住在安阿伯并要经常穿越美加边界时，我向美国移民及归化局（Immigration and Naturalization Service）申请标准的美国公民身份证。身份证上面有我的照片，到现在已经 20 年了。身份证上未指明我是公民，而声称我已经“宣誓成为美国公民”。这下棘手了：如果哪一天我在书面上留下了任何差错，我说不准将被控伪证罪。

尽管有社交活动和官僚体制的干扰，工作还是完成了，每个人都完成了，包括我在内。在埃尔德什从文献中找到一个反例之前，我浪费了数周时间试图证明测度的一个扩张定理。我坚持不懈地寻找好的新问题来研究，不断地研究。这个反例让我感到失望，但同时也让我感到宽慰。知识永远不会伤害人，受到伤害也是无奈，没有发现证明或反例就用头去撞砖墙，是完全徒劳的。我经常花费数周时间去证明一个错误的陈述，一旦我得知它是错误时，我就感到胜利了——进展已经取得，知识已经获得，我又朝向真理迈出一步。

通往真理的最妙一步是去听冯·诺伊曼的讲座。他报告的是算子环（现在被称为冯·诺伊曼代数），他从经典的有限维酉几何开始，充分展现了典型的冯·诺伊曼风格。起初，我觉得他的讲座很有启发性，但很浅显；后来，我发现这些讲座渐入佳境，振聋发聩；随后不久，我的日记里写着，“冯·诺伊曼关于谱理论的高能讲解……冯·诺伊曼让人陷入深思，但谱和算子都有趣至极”。

约翰

·冯·诺伊曼，1948 年

休·道克（Hugh Dowker）当年是冯·诺伊曼的助理，他想研究同调群，而不是算子。我则喜欢算子，听每一场讲座，认真做笔记。休没有自己的笔记，就把我的笔记拿给冯·诺伊曼看，光明正大，无意欺骗，结果大家都满意。休不需要抽出时间去做同调，约翰尼（人人都管冯·诺伊曼叫约翰尼）也认可这份笔记。而我——嗯，可能是因为这些笔记，我被维布伦请去，他告诉我，从第二学期开始，我终于可以获得研究基金职位资助了！

03

工作的间隙

下班后，我仍可能在工作，研究院的大多数成员都如此。传统上，“有绅士风度的业余爱好者”态度还是存在的——你不能显得太过努力，不能像个用功的学生。但如果我们必须在不工作和工作时被人撞见之间做出选择，我们选择后者。

我的工作习惯是随心所欲地写作，这让我特别容易被人撞见在工作。躺着的时候，散步的时候，泡在浴缸里的时候，我都能够思考，有些人就是更喜欢在这种非正式的条件下思考。史蒂夫·斯梅尔（Steve Smale）曾说（那时，我在普林斯顿的日子已经过去很多年了），他最出色的成果是在巴西科帕卡瓦纳（Copacabana）海滩晒太阳的时候完成的。

然而对我来说，真正的工作是坐在一张大桌子前，把论文、书籍、笔记摊得满处都是，然后写作。这让斯利姆·舍曼（Slim Sherman）感到担心。他看见我坐在法恩大楼图书馆的一张桌子前，一小时接一小时地写着。“那篇论文到底有多长？”他问道，“你从哪儿弄来这么多东西要写？”

这才是真正的工作，但我想说的是介于真正的工作和娱乐之间的其他工作。我一直在读斯通的书（到现在我还没有全部读完），我试着学习冯·诺伊曼关于连续几何的笔记，还有最重要的是，我读了庞特里亚金（Pontrjagin）的《拓扑群》（Topological Groups）。

莱默夫人（通常被称为埃玛·莱默）的英译本刚刚出版就让人大开眼界，给人以启迪，犹如一部惊悚小说。是的，一部惊悚小说，我读它几乎就像读侦探小说一样，为的是找出谁是凶手。我认为这是一本写得优美、令人兴奋的书，而书中每次揭示一个大对偶定理的新方面，再加以例证和应用，都让我觉得充满惊喜和乐趣。

至于我发现属于自己的新数学，进展要慢得多。为了让自己相信自己还活着，我写下在伊利诺伊大学取得的成果——“六页肤浅的东西”，并在一年后投稿。《数学年刊》刊印了这篇论文，但它并没有取得压倒性的成功。费勒在《数学评论》第一卷里的评论不算刻薄，但很严厉。他指出，我提出的强大数律的必要条件，即使对弱大数律也是必要的。他接着说，这是他自己以前研究过的条件的一个推论。他说的是对的，尽管当时我们未曾谋面，我还是写信承认了这点（“亲爱的费勒教授：你是正确的……”）。后来我们成了朋友，一起享用了很多龙虾和伏特加。

威廉

·费勒，1964 年

费勒是个热情洋溢的人，他宁愿犯错也不愿犹豫不决，他更希望自己的观点得到认真倾听，而不是别人随声附和叫好。我们圈子里的人都相信香烟会导致肺癌，这足以使费勒表达对该结论的怀疑。我不知道全部事实，不能说他是错的，但我认为他的言论是不负责任的：作为一个处于他这种地位的人，轻微的怀疑可以被视为强有力的辩护。

他说话声音很大，语速很快，带着浓重的南斯拉夫口音，充满智慧、魅力和领悟力。他很喜欢讲他和妻子克拉拉（Clara）把一张大圆桌挪到餐厅里的故事。他们又推又转又拽，但都不能让圆桌通过那扇屋门。费勒又烦又累，花时间画了一张情况简图。他找到了一个可行的数学模型，证明他们想做的事是不可能完成的。

与此同时，当他在构造证明时，克拉拉在继续挪动桌子，这边斜一斜，那边转一转。当证明完成时，桌子已经在餐厅里了。