监测预警基础16-季节指数的另一种计算方法：移动平均趋势剔除法

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这是我们一系列原创技术贴，从易到难，每天学习一点。所有内容均为疾控数据分析、科研论文相关，或者说很多和现在的热门监测预警相关，所以我们这个系列就叫“监测预警基础”。

今天是第16节，内容是另外一种季节指数的计算方式。

上一篇介绍的基础季节指数法有个致命前提：数据没有明显的长期趋势。

现实场景当当数据存在长期趋势时，用简单的“同月平均/总平均”来计算季节指数会失真。这是因为长期趋势会“污染”季节指数的计算。
具体来说，如果数据有上升趋势，那么后期月份的数值普遍较高，前期月份的数值普遍较低。
这样，在计算同月平均时，后期的高值会拉高该月份的平均值，而前期的低值会拉低该月份的平均值。但注意，由于趋势的存在，同月平均实际上包含了趋势的影响，而总平均也是包含趋势的。
然而，季节指数应该只反映季节性波动，不应该包含趋势成分。
所以，我们需要一种方法将趋势从数据中剔除，然后再计算季节指数。

移动平均趋势剔除法的本质是：先通过移动平均估计趋势成分，然后从原始数据中剔除趋势，得到季节成分和随机成分的混合，最后通过平均来消除随机成分，得到纯季节成分。具体步骤的数学含义如下：

第一，计算12个月移动平均：因为季节周期是12个月，所以用12个月的平均可以消除季节性，得到趋势成分（T）和部分随机成分（I）。注意，移动平均的期数必须等于季节周期长度，这样才能完全消除季节性。

第二，中心化移动平均：由于12是偶数，12个月移动平均值对应的时间点是中间两个月的中间点（比如第6和第7个月之间，即6.5），而我们的数据是月度数据，所以需要将两个连续的移动平均再平均，将其对齐到具体的月份（比如第7个月）。这样得到的中心移动平均（CMA）就是趋势成分（T）的一个估计。

第三，计算比值（原始值/中心移动平均）：原始数据（Y）可以分解为趋势（T）、季节（S）和随机（I）成分。在乘法模型中，Y = T × S × I。我们用CMA估计了T，那么Y / CMA = (T × S × I) / T = S × I。这个比值就是季节成分和随机成分的混合。

第四，计算同月平均比值：对每年的同一月份的比值求平均，可以消除随机成分（因为随机成分的期望为0，或者假设随机成分的均值为1），得到纯季节成分（S）的估计。

第五，调整季节指数：由于每个月的季节指数是相对于趋势的比值，我们希望全年的季节指数平均值为1（或总和为12，对应12个月）。所以通过调整系数，使得12个月的季节指数总和为12，即平均值为1。

这样，我们就得到了剔除趋势后的季节指数，它反映了在排除长期趋势后，各月份相对于趋势的平均波动幅度。

为什么这种方法能更准确地反映季节性？因为它在计算季节指数之前，先去除了长期趋势的影响。这样，无论数据是上升还是下降趋势，计算出来的季节指数都只反映季节性的相对强度，而不受趋势干扰。

基本步骤说明如下：

第一，计算移动平均值(如果是季度数据，则采用4项移动乎均，月份数据则采用12项移动平均)，并对其结果进行中心化处理，也就是将移动平均的结果再进行一次二项移动平均，即得出中心化移动平均值(CMA).

第二，计算移动平均的比值，也称为季节比率，即将序列的各观察值除以相应的中心化移动平均值，然后计算出各比值的季度(或月份)平均值。

第三，季节指数调整。由于各季节指数的平均数应等于1或100%，若根据第2步计算的季节比率的平均值不等于1，则需要进行调整。具体方法是将第2步计算的每个季节比率的平均值除以它们的总平均值。

下面通过实际例子说明季节指数的计算过程，有一份2020-2025年每月病例数的例子，操作步骤如截图所示：

我们再通过画图理解一下这几个数据和操作，就很清楚了：

红色线（病例数）：原始序列 Y = T × S × I

绿色线（CMA）：趋势成分 T

紫色线（比值）：季节+随机成分 S × I

蓝色线（季节指数）：纯净季节成分 S

编辑：普通疾控人 | 审核：诗酒趁年华

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