范畴概率空间、遍历分解与趋向平衡

Categorical probability spaces, ergodic decompositions, and

transitions to equilibrium

范畴概率空间、遍历分解与趋向平衡

https://arxiv.org/pdf/2310.04267

摘要

我们研究了一个由概率空间和保测马尔科夫核构成的范畴，其等价关系为几乎必然相等。该范畴的同构其中包括了概率空间的模零同构。它还建立了随机变量的值空间与其在结果空间上生成的σ-代数之间的同构，反映了标准的数学实践，即互换使用两者，例如在取条件期望时。

我们表明，来自经典概率论的许多构造和结果，主要涉及平衡概念，可以用该范畴来表达和证明。特别是：

• 给定一个作用在标准博雷尔空间上的随机动力系统，我们表明几乎必然不变σ-代数可以作为极限和余极限得到；

• 在上述设定下，几乎必然不变σ-代数模我们范畴的同构，导出了一个标准博雷尔空间；

• 作为推论，我们给出了随机作用的遍历分解定理的一个纯范畴的、几乎必然版本；

• 作为示例，我们展示了德菲内蒂定理和休伊特 - 萨维奇零一律如何融入这一极限 - 余极限图景。

本工作使用了范畴概率论的工具，特别是马尔科夫范畴，以及 dagger 范畴理论。

1 引言

近年来，人们对概率论及相关领域的范畴论结构越来越感兴趣。虽然这方面的第一步可以追溯到 Lawvere [Law] 和 ˇCencov [ ˇC65]，他们研究了可测空间和马尔科夫核的范畴 Stoch，但直到最近十年，才出现了通过范畴方法陈述、证明和解释概率论结果的系统性努力。

今天，范畴概率论主要有两种形式体系，它们密切相关。一方面是有概率单体 1，例如 Giry 单体 [Gir82] 和 Radon 单体 [ ́Sw74]，参见 [Jac17] 概述和 [Per18, 第 1 章] 介绍。这些单体允许形成概率分布、联合分布、边缘分布的空间，并且通过 Kleisli 和 Eilenberg-Moore 构造，它们允许谈论随机映射和期望值。另一方面，我们有特别结构的幺半范畴，例如 copy-discard 范畴（[CJ19]，也称为 garbage-share 幺半范畴 [Gad96]）和 Markov 范畴（[Fri20]，也称为 affine copy-discard 范畴）。它们将确定性、随机独立性和条件化等概率概念作为额外结构纳入其中。Markov 范畴已被用于以范畴方式陈述和证明经典概率论的许多结果，例如 Hewitt-Savage 和 Kolmogorov 零一律（[FR20]）、de Finetti 定理（[FGP21]）、d-分离准则（[FK23]）以及确定性动力系统的遍历分解定理（[MP22a]）。

正如 [FGPR] 和 [MP22b] 所示，Markov 范畴和概率单体以富有成效的方式相互作用。例如，笛卡尔幺半范畴上的 affine 幺半单体的 Kleisli 范畴是 Markov 的。这两种形式体系也可以从计算机科学的视角来看，其中概率单体可以将概率计算添加到纯程序中 [JP89]，而诸如 Markov 范畴之类的幺半范畴可以描述概率程序的范畴语义，特别是条件化过程 [Ste21, SS21]。

在这项工作中，我们推进了基于 dagger 范畴的范畴概率论第三种形式体系，研究了它与 Markov 范畴的一些联系，并用它来表达一些经典概率结果。dagger 范畴可以被视为一个范畴，其中态射可以“双向行走”而不必是同构，类似于无向图的边（参见例如 [Kar18] 了解更多细节）。dagger 范畴在量子信息论的范畴方法中有着悠久的使用历史，至少自 [AC04, CP07, Sel07] 以来（另见 [HV19] 了解更近期的叙述）。这里我们感兴趣的却是经典概率。我们想要建模的情况是一个范畴，其对象是概率空间（即配备有概率测度的可测空间），其态射是随机映射的一个版本，dagger 结构由贝叶斯逆给出。等价地，从传输理论 [Vil09] 的角度来看，我们可以将这样的 dagger 范畴视为概率空间及其之间传输计划的范畴（参见例如 [Per21]）。正如 Markov 范畴的原型例子是 BorelStoch，我们目的的主要 dagger 范畴例子是标准博雷尔概率空间和几乎必然相等商化的马尔科夫核构成的范畴 PS(BorelStoch)。据我们所知，这个范畴及其 dagger 结构首先在 [DDGS18] 中被研究。在 [Fri20, 第 13 节] 中展示了如何从 BorelStoch 范畴地获得这个范畴，以便人们可以通过用任意具有条件化的 Markov 范畴替换 BorelStoch 来推广这个构造。

我们在这里用 dagger 研究的主要概率现象是动力系统和马尔科夫链的不变性和平衡概念。我们表明，在范畴 PS(BorelStoch) 中，不变σ-代数满足一个 dagger-范畴泛性质，既是极限又是余极限。仅这一事实就允许人们陈述和证明一般遍历分解定理的几乎必然版本（类似于 [MP22a] 的版本，但在确定性情况之外有效）。我们还表明，所有幂等元在 PS(BorelStoch) 中分裂，使用在 [FGL+23] 中为 BorelStoch 证明的类似结果，并根据对动力学的“平均”给出 PS(BorelStoch) 中幂等元的解释（见第 3.5 节）。2 为了说明我们的形式体系，我们表明它允许我们将 de Finetti 定理和 Hewitt-Savage 零一律结合成一个连贯、统一的图景，与传统概率论中这些陈述的使用兼容（见第 4 节）。

我们希望这项工作为 dagger-范畴方法在概率和动力系统上的进一步应用铺平道路，并提供经典概率和量子概率之间更深的联系。

大纲 • 在第 2 节中，我们回顾了 ProbStoch(C)（或 PS(C)）的构造，其中 C 是一个因果 Markov 范畴，并建立了关于它的一些新事实。首先，我们表明（几乎必然）确定性，在 Markov-范畴意义上，可以用 PS(C) 中的 dagger 满性来表示（命题 2.5）。然后我们转而研究 PS(Stoch) 的具体情况下的同构：我们在命题 2.8 中表明，它们包括测度空间的模零同构，并且任何满射随机变量 f 诱导值空间与结果空间（具有由 f 生成的σ-代数）之间的同构。在 2.2 节中，我们定义了 PS(Stoch) 中的动力系统，解释了它们作为平稳马尔科夫链的解释，并查看了态射的不变性概念，推广了不变测度和不变可观测量。

• 在第 3 节中，我们陈述并证明了这项工作的主要结构结果。在 3.1 节中，我们表明对于 PS(Stoch) 中的每个（随机、保测）动力系统，几乎必然不变集的σ-代数是一个余极限，与 dagger 结构兼容。在 3.2 节中，我们表明所有幂等元在 PS(BorelStoch) 中分裂（定理 3.14），并且作为结果，标准博雷尔空间上几乎必然不变集的σ-代数在 PS(Stoch) 的同构下再次是标准博雷尔空间（推论 3.17）。这特别意味着每个配备有任何子σ-代数的标准博雷尔空间在 PS(Stoch) 的同构下再次是标准博雷尔空间（推论 3.18）。在 3.3 节中，我们表明几乎必然不变集的σ-代数在 PS(BorelStoch) 中也是一个极限，而不仅仅是一个余极限。在 3.4 节中，我们使用这一事实来陈述并证明遍历分解定理的几乎必然版本定理 3.29。然后在 3.5 节中，我们展示了 PS(BorelStoch) 中的幂等元如何用于表达动力系统和马尔科夫链的“平衡”概念。

• 在第 4 节中，我们将第 3 节的结果应用于 C = BorelStoch 的具体情况，以范畴方式表达概率论的一些经典构造和陈述。我们首先查看有限置换（4.1 节），然后转向无限情况，在那里我们给出了 de Finetti 定理和 Hewitt-Savage 零一律的范畴几乎必然版本，表明独立同分布序列在置换下是遍历的（4.2 节），以及伯努利移位（4.3 节）。

• 最后，在附录 A 中，我们给出了一些关于 Markov 范畴的背景。我们也为感兴趣的读者提供了更深入材料的参考文献。

2 PS构造

本工作中主要关注的范畴是范畴 PS(Borel)，它由概率空间和马尔可夫核构成，并在几乎必然相等的意义下取值。它首先在 [DDGS18] 中被定义（使用名称 Krn）。

首先，让我们为马尔可夫核定义几乎必然相等，实例化一般马尔可夫范畴的概念（见附录 A.1，以及原始来源 [CJ19, 第 5 节] 和 [Fri20, 第 13 节]）。考虑可测空间 X 和 Y，以及 X 上的概率测度 p。我们说两个马尔可夫核 f, g: X → Y 是 p-几乎必然相等的，如果对于 X 的所有可测子集 A 和 Y 的所有可测子集 B，我们有

由于范畴 Stoch 和 BorelStoch 是因果的，我们可以形成范畴 PS(Stoch) 和 PS(BorelStoch)，且后者恰好恢复了定义 2.1。

每当我们有 C 的态射的一个平行对 f, g : X → Y，并且我们还有 X 上的一个状态 p 时，如果这两个态射是 p-几乎必然相等的（即如果 PS(C) 中得到的态射是相等的），我们记作 f ≃ g；而如果 C 的态射是相等的，我们记作 f = g，这是一个更强的条件。对于 C = BorelStoch，这恰好是马尔可夫核的相等性与几乎必然相等性之间的区别。

2.1 PS(Stoch) 中的同构

2.2 动力系统和马尔可夫链

本工作中考虑的另一个主要结构是动力系统（dynamical system），我们将其写成一个图表（即作为一个函子），并将对其取极限和余极限。正如我们将看到的，PS(Stoch) 中的动力系统推广了平稳马尔可夫链。

定义 2.11. 设 A A 为一个范畴。 A A 中的一个动力系统由以下组成：

3 主要结果

3.1 作为余极限的不变 σ σ-代数

我们现在将不变对象（invariant objects）定义为特定的余极限。它们可以被视为“模不可区分性和模零测的轨道空间”。为了获得额外的直观（不含零测部分），参见 [MP22a, 第 2.1 节和附录 A]。对于 S t o c h
，正如我们要展示的，它们由（几乎必然）不变 σ -代数给出。

原文链接：https://arxiv.org/pdf/2310.04267