三个数字集合，容斥原理的数学公式，分析应用

关键词： #数学 #数字 #原理 #分析

第1121篇，个人原创，深度分析文章。

三个集合的容斥原理解题公式，在解答一些条件明确和标准, 又简单的题目之时，直接将已知条件或者作简单推断后，代入容斥原理解题公式即可。

一、容斥原理相关概念定义和名词解释

在数学概念上的集合，是指某些具体数字或者对象，具有某个相同属性，按照这个相同属性，将这些数学或者对象，归纳为一个类别。将这个类别，统称为集合。

数学上的容斥原理，是指，首先把多个集合中所有对象的数目，按照集合归类，分别计算出来，然后，再把计数时重复计算的数目，排斥减除出去，把遗漏的数目再加上，使得计算的结果，是既无遗漏又无重复计算的对象数目。

这种计数的过程和方法，我们称之为容斥原理。

二、三个集合，应用容斥原理公式的先决条件

如果有三个数字集合的容斥问题，在运用相关公式时，需要知道的已知条件如下：

三个单独集合，包含对象的总数目。

满足a条件对象的数目。

满足b条件对象的数目。

满足c条件对象的数目。

同时满足ab条件对象的数目。

同时满足ac条件对象的数目。

同时满足bc条件对象的数目。

同时满足abc条件对象的数目。

如此，我们得到有三个集合时，容斥原理数学解题公式：

则三个集合包含对象的总数目=满足a条件对象的数目+满足b条件对象的数目+满足c条件对象的数目-同时满足ab条件对象的数目-同时满足ac条件对象的数目-同时满足bc条件对象的数目+同时满足abc条件对象的数目。

公式解析：一共有三个集合，互相有两个集合重合的部分，共加了三次，分别是ab重合部分、ac重合部分、bc重合部分。于是要，再依次减去ab重合部分、ac重合部分、bc重合部分。

此时，多减了abc三个集合共同重合的部分，于是最后，再加上abc三个集合共同重合的部分，得到最终的三个集合包含对象的所有数目。

注意事项：这里满足a条件对象的数目的意义，是指满足a条件即可。意思是满足a条件对象的数目，包含只满足a条件对象的数目和满足a条件同时，又满足其他条件的对象，这两类对象的总数目。

三、三个集合容斥原理数学公式的应用

题目，有abc三个纸片，面积分别为60、170、150，三个纸片，都有部分重叠在一起，放在桌面上。三个纸片总共盖住的面积为280. 已知ab、ac、bc，每两个纸片，互相重合部分面积分别为22、60、35. 求abc三张纸片，共同重合的面积是多少。

解析：假设abc三张纸片共同重合的面积是d。

假设每一个纸片的面积，为集合中对象的个数。则三个集合所有对象的个数，即为三个纸片总共盖住的面积，为280.

Ab纸片重合的面积，即为同时满足ab两个条件的对象数目。

同理可得：

Ac纸片重合的面积，即为同时满足ac两个条件的对象数目。

cb纸片重合的面积，即为同时满足cb两个条件的对象数目。

代入三个集合容斥原理公式得：

280=60+170+150-22-60-35+d, 解得d=7

四、缺少同时满足三个条件对象数目的解答方法

题目：班级学生模拟考试，有abc三场考试，每个学生最多可以参加两场考试。总共42人报名，abc三场考试报名人数分别为22、16、25，其中同时报考ab考试的人数为8人 ，同时报考ac考试的人数为6人。

问同时报考bc考试的人数，为几人？

解答：假设同时报考bc的人数为d，每个学生最多可以参加两场，说明能够参加三场考试的学生数量为0.

代入三集合容斥原理公式得：

42=22+16+25-8-6-d+0，解得d=7。

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