量子计算能否模拟自然界最复杂的湍流系统？

量子计算具有加速机器学习和药物开发等应用的潜力。在最令人兴奋的算法进展中，有些为解决计算领域最严峻的挑战之一——求解微分方程——带来了新的希望。

微分方程描述了随时间变化的量的动态，几乎出现在每个领域。股市追踪、流体流动监测、聚变反应堆中的等离子体控制，以及简单的天气预测都依赖于微分方程。解一个微分方程就已经足够困难，但现实问题需要无法想象的大量相互关联的方程来描述。希望模拟这些场景的经典算法最终依赖于昂贵的方法或近似，导致精度损失。然而，对于某些数据结构或特定问题，量子算法提供了显著的、潜在的指数级加速。

微分方程基础

"微分"这个词标志着你进入了微积分的世界。然而，寻找微分只是一个简单的过程，在给定某些变化情况下，告诉你情况如何变化。你每天都会遇到微分：如果你绘制一个图表显示你开车上班时位置随时间的变化——称之为位置随时间变化的"函数"——那么微分就会产生一个新函数，显示你的速度随时间变化。微分方程是一个方程，其中变量是未知函数，它们的导数通过代数表达式相关联，目标是找到那些未知函数。

在实践中，需要微分方程的问题要困难得多。不是道路上的汽车，而是试图找到一个函数来描述玩具船在湍急河流上航行时位置如何随时间变化，其中每个位置、每个水分子都有自己描述其运动的函数。

今天，我们知道精确模拟这种情况的唯一方法是将网格或点阵覆盖在其上，并在每个点求解微分方程。平稳流动的河流可能只需要在几个间隔较大的点上求解方程。然而，湍急的河流——水流在几英寸之外可能完全不同——需要更多的点。你不仅要在每个点求解多维微分方程，而且流动越湍急，每个点需要的方程就越多，这些方程也越复杂。

不幸的是，湍急的河流最好地描述了我们在现实世界中寻求模拟的大多数场景。我们称这些系统为非线性的，有效求解高度非线性场景的能力可以提供远超描述流体的价值。任何变量随时间变化的情况——疾病传播建模、生态系统中捕食者和猎物之间的关系、股市和天气——都将从更高效的微分方程求解器中获得很多益处。

量子算法的承诺

量子计算自几十年前第一批量子算法出现以来，就为解决超越经典计算能力的问题提供了希望。然而，当研究者Aram W. Harrow、Avinatan Hassidim和Seth Lloyd在2008年设计出他们的"HHL"算法时，远超量子领域的研究者都注意到了这一点。

HHL是直观性最强的量子算法之一。量子计算机是天生执行某些线性代数运算的机器。N个量子比特可以存储2^N个条目的列，而量子运算相当于将该列乘以2^N×2^N的电子表格——尽管量子对可以存储在这些列和电子表格中的数据类型以及计算结束时可以提取的信息量都有限制。

HHL利用量子计算机固有的线性代数特性，将已知数字列b表示为量子态，然后使用A创建一系列作用于b的量子运算，特别是采用称为量子相位估计的工具来创建我们需要的数学片段，以提取关于x的信息。

新的突破

今年早些时候，IBM的研究人员发现了一种以不同方式处理问题的新算法——在这样做的过程中，发现了一种有希望的潜在指数级加速，可能用于实际问题。

来自IBM团队的新工作——Sergey Bravyi、Robert Manson-Sawko、Mykhaylo Zayats和Sergiy Zhuk——现在探索是否存在模拟随机二次微分方程的高效量子算法，这是湍流流体动力学中出现的基本模型。他们寻求回答的关键问题是这样的算法是否能够随系统大小和时间有效地（例如多项式地）缩放。

团队发现，当系统既是耗散的又是有噪声的——意味着还有一些随机驱动或脉冲，比如给软管一个随机摇晃——他们可以有效地模拟高度非线性动态，这与之前的结果形成鲜明对比。

为什么噪声有帮助？粗略地说，噪声诱发"混合"，这平滑了系统动力学的小尺度细节。这使得系统更容易在量子计算机上建模，即使潜在行为非常复杂。

除了算法突破，团队还证明了他们的算法是BQP完备的，这是量子优势的关键基准。在复杂性理论术语中，这本质上意味着如果有人能设计出解决这个问题的高效经典算法，那么他们也能够经典地模拟量子计算机。

Q&A

Q1：什么是微分方程，为什么它们很难求解？

A：微分方程是描述随时间变化的量的动态的方程，几乎出现在每个领域，如股市预测、流体流动、天气预报等。现实问题需要大量相互关联的方程来描述，特别是非线性系统（如湍流），需要在网格的每个点求解复杂的多维微分方程，计算成本极高且精度有限。

Q2：量子算法如何在求解微分方程方面提供优势？

A：量子算法，特别是HHL算法及其扩展，利用量子计算机固有的线性代数能力，可以为特定数据结构或问题提供潜在的指数级加速。量子计算机能够天生执行某些线性代数运算，N个量子比特可以存储2^N个条目，这为处理大规模方程组提供了优势。

Q3：IBM团队的新算法有什么突破性进展？

A：IBM团队发现了模拟随机二次微分方程的高效量子算法，这是首个能够有效模拟强非线性系统的量子算法。关键发现是当系统既耗散又有噪声时，可以高效模拟高度非线性动态。噪声诱发的"混合"效应平滑了系统动力学的小尺度细节，使得复杂系统更容易在量子计算机上建模。