热分析（结构函数）的数学基础（上篇）

在介绍通过瞬态温度响应曲线得到结构函数的过程之前，我们需要先了解一下RC热网络模型和时间常数的概念。这里我们借用一下JESD51-14中对RC热网络模型的描述，假设有一个四周绝热的正立方体，将它和一个理想热沉接触。在其上表面施加一个单位的功率并均匀地分布在表面上，如图1所示。我们将图1中简单的散热结构等效构建成由单个热阻和热容构成的网络模型如图2，在图2的模型中热阻和热容为并联回路结构。

图1

图 2

我们尝试用图2中这个简单的热模型描述一下瞬态热测试的加热过程。在0时刻给模型施加一个恒定的加热功率P0如图3所示，此时的功率分别流向并联回路中的两条支路，如图4：

图 3

图 4

我们可以计算一下0时刻后加热阶段温度差△T随时间变化的表达式。首先，我们需要得到状态方程，根据热阻定义，我们可以得到并联回路两端的温度差△T的表达式如下式（1）：

其中PR为流过热阻的功率，因为在0时刻后热容开始吸热，类似电容的充电，所以流过热阻的功率等于总功率减去热容吸收的功率，根据热功率和热容的定义式，我们可以得到式（2）和式（3）：

因为加热功率在零时刻施加，所以0时刻时温升为0，可以得到初始条件为式（4）：

根据（1）（2）（3）（4）式，我们可以计算出0时刻后加热阶段的温度差△T随时间变化的表达式（5）：

有了表达式之后，我们看一下0时刻之后温度差随时间变化的曲线，如下图5：

图 5

在时间t趋向于无穷大时，模型达到热平衡状态，此时的温度差△T等于P0Rth。如果我们将t=RthCth代入到式（5）中，可以得到下式（6）

我们可以发现在t=RthCth时刻的温度差，是热平衡状态温度差的63.2%，如下图6。

图 6

我们将这个热阻和热容的乘积定义为时间常数，它的物理意义就是温度变化量达到总温度变化量的63.2%处的时间，在数学上常常使用的符号为τ。它的定义式就是τ=RthCth，通过定义式我们可以看出，时间常数具有的重要特征是：时间常数只取决于物理特性（热阻与热容），并不取决于输入功率和温度。

下面我们用同样的模型去描述一下瞬态热测试的冷却过程。我们假设冷却阶段从0时刻开始，在0时刻之前我们给模型持续施加一个恒定的加热功率P0，直到模型达到热平衡状态，然后在0时刻将加热功率截止，如下图7。

图 7

我们知道在加热功率截止之前的热平衡状态，热容是既不吸收热量也不释放热量的，而在截止之后，因为加热功率已经截止，所以热容会将储存的热量释放传递到热阻，类似于电容的放电，如下图8。

图8

同样，我们可以通过模型现在的状态，计算一下0时刻之后温度差△T随时间变化的表达式。根据前文所述在冷却模型中流过热阻的加热功率，等于热容释放的功率，如下式（7）。

在0时刻的热平衡状态温度差△T的值如下式（8）。

根据式（1）（3）（7）（8），我们同样可以计算出0时刻后冷却阶段的温度差△T随时间变化的表达式（9）：

有了表达式之后，我们看一下0时刻之后温度差随时间变化的曲线，如下图9：

图 9

加热功率截止后虚线表示的温度差△T开始下降，随着时间的变化无限趋近于0。我们同样将时间常数τ=RthCth带入到表达式中，得到下式：

根据式（10）可以得到，在冷却阶段，时间常数τ时刻的温度差为0时刻温度差的36.8%，换言之，在τ这一时间单位内，温度变化量达到了总温度变化量的63.2%，如下图10所示：

图 10

这同样印证了我们在前文中得出的结论，时间常数只取决于物理特性（热阻与热容），并不取决于输入功率和温度。如果我们将式（5）和式（9）联立，就可以得到下式（11）。

根据式（11）我们可以看出，冷却阶段的温度差曲线和加热阶段的温度差曲线是具有对称性的，任一时刻两个阶段的温度差相加，都等于总温度变化量P0Rth，如下图11所示：

图 11

在加热阶段和冷却阶段，因为它们具有相同的时间常数，因此在瞬态热测试和分析中，具有相同的效果。

我们了解了RC热网络模型和时间常数的概念之后，我们再来看一下在瞬态热测试中是如何应用的。当我们面对一个RC热网络模型的时候，这个模型相当于一个黑盒子系统。

我们应该如何确定这一个RC热网络模型呢，根据我们前面讲的内容，这个模型在冷却阶段温度差随时间变化的关系如图10。

图 12

如上图12，热阻Rth就等于0时刻的温度差△T除以加热功率P0，0时刻的温度差△T是可以通过我们瞬态热测试的结果得到的，而P0就是输入功率，也可以在瞬态热测试过程中通过我们的设备采集得到，那我们就可以计算出热阻Rth。有了热阻值，热容就等于时间常数τ除以热阻，时间常数就是温度变化量达到总温度变化量的63.2%处的时间，所以τ也是可以通过瞬态热测试的结果得到，那么热容值也可以被计算出来。最终我们就可以通过热阻和热容这两个重要参数确定RC热网络模型了。