马克思论笛卡尔及解析几何的伟大发明
《数学手稿》(复旦版)p.144
“由于笛卡儿把代数应 用到几何上去 , 也就是 通过解析几何或高 等 几何, 函数概念获得 了新的发展和重要性未知量x,y等等变成了变量 , 而 已知量变成了常量 。
一个变量的函数是 另 一个变量 , 它的值随着第一个的值的变化而变化 , 也就是说它 依赖于第一个变量。
它和不定等式 中的函数具有这样一个 共 同 点 ,即 当给变量一个特定值时 , 它的函数就得到一个确定的相应的值。”
(北大版)p.190
“D ) 由 于 笛 卡 尔 把 代 数 应 ⽤ 于 ⼏ 何 , 也 就 是 由 于 解 析 ⼏ 何 或⾼ 等 ⼏ 何 , 函 数 的 概 念 获 得 了 新 的 发 展 和 重 要 意 义 。未 知 量 x , Y等 等 变 成 了 变 量 , ⽽ 已 知 量 成 了 常 量 。
⼀ 个 变 量的 函 数 是 另 外 ⼀ 个 变 量 , 它 的 值 随 着 前 者 的 值 ⽽ 变化 , 也 就 是 依 赖 于 前 者 。
它 与 不 定 ⽅ 程 中 的 函 数 具 有 共 同 点 : 如果 给 变 量 以 ⼀ 个 特 定 的 值 , 那 末 , 这 变 量 的 函 数 就 得 到 ⼀ 个 确 定 的相 应 的 值 。”
【何新札记】我的解读——什么是函数和解析几何?
简单来说,马克思手稿这段话的核心意思是:笛卡尔通过将代数与几何结合,创立了解析几何,从而让人们开始用“变量”和“函数”的眼光来看待世界,根本性地推动了数学的发展。
没有函数和解析几何,不可能有后来微积分的发明。
1/解析几何是笛卡尔的伟大发明:
“由于笛卡尔把代数应用于几何,也就是由于解析几何或高等几何,函数的概念获得了新的发展和重要意义。”
在笛卡尔之前,代数(研究数字和方程)和几何(研究图形)是分离的独立的。
(几何学主要研究图形的性质和关系,通过逻辑推理和几何证明来解决问题;代数学则侧重于研究数的运算和方程的求解。)
笛卡尔创立解析几何(即坐标几何),将二者联系起来:
笛卡尔将代数方法引入几何学,通过建立平面直角坐标系,把平面上的点与有序实数对一一对应起来,从而可以用代数方程来表示几何图形,用代数方法来研究几何问题。
• 用坐标系将点与数对 (x, y) 对应。
• 将曲线看作满足某个方程的所有点的集合。
这使得“变化”和“关系”成为数学研究的中心,函数(函套)概念也因此变得至关重要。
(何案:中国古代数学无函数概念,不必牵强附会。最早发明中文函数概念据说是李善兰,取函套,一组数关联着一组数的意思。
“函数”一词源于清朝数学家李善兰对英文“function”的翻译。他将“函”解释为“包含”,意思是若一个变量中包含另一个变量,那么前者就是后者的函数。
——也就是《数学手稿》常谈的自变量因变量的关联概念。)
2/从“未知数”到“变量”
“未知量 x,y 等等变成了变量,而已知量成了常量。”
• 无函数概念解应用题:例如在方程 3x + 2 = 11 中,x 被看作是一个确定的“未知数”,解出来的解,是唯一确定的值 x = 3。
• 解析几何理念:在方程 y = 2x + 1 中,x 和 y 被视为变量——它们代表坐标平面上可以自由变动的点,其关系由方程决定。固定的数(如 2 和 1)则被称为常量。
3/如何理解“函数”概念
“一个变量的函数是另外一个变量,它的值随着前者的值而变化,也就是依赖于前者。”
这句话定义了函数:一个变量(因变量)的值,完全由另一个变量(自变量)的值决定。
• 例如:在 y = 2x + 1 中:
◦ x 是自变量(可自由变化)。
◦ y 是因变量(函数),它的值“依赖”于 x。
◦ 每当 x 取一个值,y 就有唯一确定的值与之对应。
这种“一个量随另一个量变化”的核心思想,正是“函数”(函套)概念的精髓。
4/与“不定方程”的关联
“它与不定方程中的函数具有共同点:如果给变量以⼀个特定的值,那末,这变量的函数就得到⼀个确定的相应的值。”
“不定方程”指未知数个数多于方程个数的方程,通常有多个解。
• 例:方程 x + y = 5。
这里 x 和 y 都是变量,可以自由取值,只要满足 x + y = 5 即可。
如果我们指定 x 的值(如 x = 2),那么 y 的值就被唯一确定为 3。
函数的核心特征是给定自变量的一个具体取值,其函数值便被唯一确定。这与解析几何中变量之间的依赖关系是一致的。在解析几何中,通过代数方程描述的变量之间的关系,保证了对于自变量的每一个取值,因变量都有唯一的对应值,这正是函数概念的本质体现。
因此,解析几何中的曲线(由方程定义)可以看作是“函数关系”的一种几何体现。
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