何新《数学手稿》札记（2）

马克思论笛卡尔及解析几何的伟大发明

《数学手稿》（复旦版）p.144
“由于笛卡儿把代数应 用到几何上去 , 也就是 通过解析几何或高 等 几何, 函数概念获得 了新的发展和重要性未知量x，y等等变成了变量 , 而 已知量变成了常量 。
一个变量的函数是 另 一个变量 , 它的值随着第一个的值的变化而变化 , 也就是说它 依赖于第一个变量。
它和不定等式 中的函数具有这样一个 共 同 点 ,即 当给变量一个特定值时 , 它的函数就得到一个确定的相应的值。”

（北大版）p.190
“D ） 由 于 笛 卡 尔 把 代 数 应 ⽤ 于 ⼏ 何 ， 也 就 是 由 于 解 析 ⼏ 何 或⾼ 等 ⼏ 何 ， 函 数 的 概 念 获 得 了 新 的 发 展 和 重 要 意 义 。未 知 量 x ， Y等 等 变 成 了 变 量 ， ⽽ 已 知 量 成 了 常 量 。
⼀ 个 变 量的 函 数 是 另 外 ⼀ 个 变 量 ， 它 的 值 随 着 前 者 的 值 ⽽ 变化 ， 也 就 是 依 赖 于 前 者 。
它 与 不 定 ⽅ 程 中 的 函 数 具 有 共 同 点 ： 如果 给 变 量 以 ⼀ 个 特 定 的 值 ， 那 末 ， 这 变 量 的 函 数 就 得 到 ⼀ 个 确 定 的相 应 的 值 。”

【何新札记】我的解读——什么是函数和解析几何？

简单来说，马克思手稿这段话的核心意思是：笛卡尔通过将代数与几何结合，创立了解析几何，从而让人们开始用“变量”和“函数”的眼光来看待世界，根本性地推动了数学的发展。

没有函数和解析几何，不可能有后来微积分的发明。

1/解析几何是笛卡尔的伟大发明：

“由于笛卡尔把代数应用于几何，也就是由于解析几何或高等几何，函数的概念获得了新的发展和重要意义。”

在笛卡尔之前，代数（研究数字和方程）和几何（研究图形）是分离的独立的。
（几何学主要研究图形的性质和关系，通过逻辑推理和几何证明来解决问题；代数学则侧重于研究数的运算和方程的求解。）
笛卡尔创立解析几何（即坐标几何），将二者联系起来：
笛卡尔将代数方法引入几何学，通过建立平面直角坐标系，把平面上的点与有序实数对一一对应起来，从而可以用代数方程来表示几何图形，用代数方法来研究几何问题。
• 用坐标系将点与数对 (x, y) 对应。
• 将曲线看作满足某个方程的所有点的集合。
这使得“变化”和“关系”成为数学研究的中心，函数（函套）概念也因此变得至关重要。

（何案：中国古代数学无函数概念，不必牵强附会。最早发明中文函数概念据说是李善兰，取函套，一组数关联着一组数的意思。
“函数”一词源于清朝数学家李善兰对英文“function”的翻译。他将“函”解释为“包含”，意思是若一个变量中包含另一个变量，那么前者就是后者的函数。
——也就是《数学手稿》常谈的自变量因变量的关联概念。）

2/从“未知数”到“变量”

“未知量 x，y 等等变成了变量，而已知量成了常量。”

• 无函数概念解应用题：例如在方程 3x + 2 = 11 中，x 被看作是一个确定的“未知数”，解出来的解，是唯一确定的值 x = 3。

• 解析几何理念：在方程 y = 2x + 1 中，x 和 y 被视为变量——它们代表坐标平面上可以自由变动的点，其关系由方程决定。固定的数（如 2 和 1）则被称为常量。

3/如何理解“函数”概念

“一个变量的函数是另外一个变量，它的值随着前者的值而变化，也就是依赖于前者。”

这句话定义了函数：一个变量（因变量）的值，完全由另一个变量（自变量）的值决定。

• 例如：在 y = 2x + 1 中：

◦ x 是自变量（可自由变化）。

◦ y 是因变量（函数），它的值“依赖”于 x。

◦ 每当 x 取一个值，y 就有唯一确定的值与之对应。

这种“一个量随另一个量变化”的核心思想，正是“函数”（函套）概念的精髓。

4/与“不定方程”的关联

“它与不定方程中的函数具有共同点：如果给变量以⼀个特定的值，那末，这变量的函数就得到⼀个确定的相应的值。”

“不定方程”指未知数个数多于方程个数的方程，通常有多个解。

• 例：方程 x + y = 5。

这里 x 和 y 都是变量，可以自由取值，只要满足 x + y = 5 即可。

如果我们指定 x 的值（如 x = 2），那么 y 的值就被唯一确定为 3。

函数的核心特征是给定自变量的一个具体取值，其函数值便被唯一确定。这与解析几何中变量之间的依赖关系是一致的。在解析几何中，通过代数方程描述的变量之间的关系，保证了对于自变量的每一个取值，因变量都有唯一的对应值，这正是函数概念的本质体现。
因此，解析几何中的曲线（由方程定义）可以看作是“函数关系”的一种几何体现。