特级教师张宏伟：复习课怎么设计怎么上——全景贯通式教学例谈

数学教学需要随时引导学生贯通不同年级、不同领域，探寻更一般的通用策略、通用方法、通用思想观念，看见更多的一致性，发掘、感悟和打通更数学深层的本质，构建一个更丰富、立体的、数学网络结构系统，形成更具“迁移力”的核心素养；即：归宗。为此，全景式数学教育团队创生了全景式数学贯通课。同时，全景团队在通过贯通的达成“归宗”的基础上，还试图引导孩子学会“打破”课本和自我认知的限制，打开更多的窗，看见数学更多的可能、更丰富的世界，丰富学生智力背景、毓养更有想法的人。本文实录的《另类的分数比较》就是其中的一个范式，以此为例，演绎了如何贯通、归宗和更多地打开。

前言：什么是数学贯通课

联系观，是唯物辩证法的一个总特征和最基本的认识方法论。联系具有普遍性、客观性、多样性、条件性和可变性。

全景式数学教育团队主张用“联系观”看待每一项教学内容、每一次的数学学习活动，努力做到让学生日常习得的都是“浑身长满钩子的知识”， 即：向前→勾连贯通以往所学；向后→勾连贯通未来要学，向周围→勾连贯通其他领域、其他学科、社会生活和大千世界……同时，我们还创生了很多的贯通不同年级、不同领域，探寻更一般的通用策略、通用方法、通用思想观念，看见更多的一致性，发掘、感悟和打通更数学深层的本质，构建一个更丰富、立体的、数学网络结构系统，形成更具“迁移力”的核心素养，专项研究课，即：全景式数学贯通课。

笔者以前在中国教师报课博会、课改中国行研讨会上执教的《口诀畅想》《看透运算的真相》，以及上届课博会执教的《另类的分数比较》等都属于全景式数学贯通课。以下，是《另类的分数比较》这节课的教学实录和各个教学环节的教学意图以及核心素养聚焦的详细阐释。

教学实录与解析

一、课前暖场

（一）师生简单了解彼此

师生彼此大致了解后，教师抛出：我还有一个外号，叫“三胡老师”，想知道为什么不？（生：想！）

师：因为，在张老师的课堂上，对数学，你可以天马行空，胡思乱想，因为只有敢于胡思乱想，才会产生奇思妙想；二是，只要让你发言了，对数学，你可以胡说八道，因为你只有今天敢胡说八道，未来才能能说会道；三是只要你不违法、不违规、不打扰别人，在数学学习上你可以胡作非为，想怎么干就怎么干，因为你只有敢于对数学“胡作非为”，未来才会在数学上有所作为。

（二）赠给孩子课本上没有的礼物——看见不一样的算法（印度算法等）

【教学意图：好的教与学始于良好的师生关系。因为借班上课，师生在上课之前，未曾谋面，互不认识，先通过暖场活动，可以拉近师生关系，为课中学习建立良好的情感和心理的基础。】

二、课中研究

活动（一）：课前自修的分享和交流

1.老师昨天给同学们发了一封信，谁来给听课的老师们读一读（教师随学生的阅读相应板书：分类——举例）。

附：提前一天与参与课博会公开课的六（10）班教师沟通，转达我致同学们的一封信。

2.组内交流各自的想法并汇总提炼出自己小组都认同的分类方案。

3.分类、举例与比法分享

教师根据学生反馈，相应板书：

【教学意图与素养聚焦：课前建立师生连接，同时让学生对小学已习过的分数大小比较的类型、方法进行自主回顾、梳理和建立知识结构；同时点明和强调“分类、举例”的策略和方法，增强学生的思想方法意识。】

活动(二)：追溯本质、追根归宗（其一）

1.回到学生的举例1：1/3 ＜ 2/3 ，追溯同分母分数比较的本质

师：这两个分数的分母相同，就是这两个分数的什么相同？生：单位相同。

师板书“单位相同”后，问：分数单位相同，比分子，其实就是比什么？

生：比单位的个数。

师边板书“比个数”边问：个数多的就……？生：大！

师：分母相同，比分子本质上是……？生：单位相同，比个数。

2.回到学生的举例2：4/5 ＞ 4/6，追溯同分子分数的比较的本质。

师：“分母相同，比分子”本质上“单位相同，比个数”；那“分子相同，比分母”本质上是……？

生：“个数相同，比单位！”（教师板书的同时，追问：单位越大就……？）

学生齐道：“就越小！”（众听课老师笑。）

师再追问：个数相同，比……（单位），单位越大就……？

学生再齐道：“就越小！”（众听课老师大笑!）

师三追问：个数相同，比……（单位），单位越大就……？

这时候有的学生说大，有的说小，有的学生公开声明自己已经凌乱了。

活动(三)：继续“归宗”、四次“打通”

1.第一次打通，第一次觉悟比较大小的数学通法

师：之所以凌乱了，有一个重要的原因就是在学习知识时，没有注意随时和前面学过的内容打通，前后打通是学习数学、研究数学最重要的学法之一（教师板书：打通）。下面，我们就尝试把一到六年级六年的比较一起打通一下：

师：一年级比较1元和1角，这是什么相同，比什么？单位大的就（大）

师：二年级比较2分米和2米，这是什么相同，比什么？单位大的就（大）

师：三年级比较3千克和3吨呢？

生：这也是个数相同，比单位，单位大的就大。

师：四年级比较0.4和0.04呢？

生：也是个数相同，比单位，因为0.4是4个0.1，0.04是4个0.01，个数同样是4个，但是0.4的单位0.1大，所以0.4就大！

师：六年级我们还要学习百分数和千分数，10%和 10‰呢？（学生解释略）

师：拿我们回到分数这里来：五年级（回到学生举的例2：4/5 ＞ 4/6），你会从单位及其个数的角度理解和解释吗？

生：也是个数相同，比单位，因为4/5是4个1/5，4/6是4个1/6，个数同样是4个，但是4/5 的单位大，所以4/5就大！

师：分子相同，比分母中的比法中“分母大的小，分母小的大”其实是说……？

生：分母大的小，其实就是说分数单位小的小。分母小的大，其实就是分数单位大的大。

教师板书：

【学生此时深度认识了分子相同比分母这种方法的本质！】

2.回到学生的举例3: 5/6 ＜ 6/7,追溯通分比较大小的本质，感悟转化思想，及其与打通思想的联系。

1

师：第三种情况“分子、分母都不同”属于哪种比较情况呢？

生：单位不同，个数也不同（教师在例3后面板书）

2

师：通分本质是把……？

生：把单位不同，变成单位相同。

师：你们说的变，就是数学的转化。这样就把“单位不同、个数也不同”“单位相同，比个数”怎样了？生：打通了。

教师强调：转化就实现了？（生：打通）；打通就可以实现？（生：转化）。

3

还有别 的打通方法吗？

这时候，很多学生一片茫然，于是教师板书出这样一组特别分数启发学生：1/350○2/711，通分母很麻烦耶！

这时候，学生恍然大悟：还可以通分子→2/700○2/711，立刻比较出了它们的大小；继而，学生们感悟到：这是把“单位不同，个数也不同”转化为“个数相同，比单位”。

师：通分子可以实现谁和谁的打通？（生反馈略）

师：通分母呢？（学生反馈略），

然后强调：通常说的通分指的是通分母。

3.总结三种情况、两种方法

（1）以前三种分数比较的分类，本质看其实是分成了哪三类？

学生总结出三种情况：①单位相同、比个数；②个数相同，比单位；③个数、单位都不同。

（2）但是基本的比较方法其实是几种？

学生总结的结果是两种基本方法：①②，因为③要转化成①或②去比。

4.第二次打通，再次觉悟比较大小的数学通法

（1）乘“盛”类比，跟进推想

师：同学们，研究到这里，你发现了没？个数相同比单位，单位相同比个数，只是比较分数大小的本质方法吗？

学生们：不是，它也是小数、百分数的比较方法。

学生们：还是比较量的方法。

师：还有吗？（学生默然）

师：继续个数相同比单位，单位相同比个数，能比小数、能比分数、能比百分数。继续往下类推着想，那它还能比……？

学生犹疑地猜测到：整数？

（2）贯通整数的大小比较

师：再回到一年级，现在你能用这两个更本质的比较方法，解释一下为什么 40比4大吗？

学生1：个数相同，比单位：“4个十”比 “4个一”大。

学生2：单位相同，比个数：40个1 比 4个1大。

师问：还有不同想法吗？全体学生此时都认为没有了。

5.第三次打通，从分数到数学的跃升

再汇通综合地看：“个数相同比单位，单位相同比个数”，这个方法都能比什么的大小

生1：小数、分数、整数、百分数都能比

生2：还有量，数和量都能比。

师：你发现一到六年级的比较其实是……？

学生1：可以打通的。

学生2：方法是一样的，都是……

师：不仅各年级打通了、一致了，而且当单位是正数的时候，比较大小的最后一步也一致了：个数大的就大，单位大的就大。（注：这里强调正数，保证目前生活中的通常比较和小学中的数学比较正确的同时，又为未来的数学比较的正确和课后延伸探究埋下了伏笔，如单位是负数等。）

师：那我们的课题是不是要改一下？

生：应该改成“数学的大小比较”。（教师把课题改成：数学的比较。）

6.第四次打通，从数学到万物的跃升

只有数学是这样比大小（多少）吗？我们随便找几个生活实例，你看看分别属于这两种基本比较策略的哪一种：

①A、B用同样的碗吃饭，A吃了两碗，B吃了三碗。

②A语文老师让一个字写5遍，B语文老师让一个字写7遍。

③A月薪5千，B月薪5万。

④A国约有1400枚普通导弹，M国约有1400枚核导弹，哪个国家对人类的潜在危险更大，为什么？

学生反馈（略）

师指着课题激发学生：这还仅仅是数学的比较吗？

学生情不自禁地呼喊到：还是生活的比较；万物的比较……

师动情地：是啊！也就是说“个数相同，比单位；单位相同，比个数”是……？

生：比较万物多少的通用方法！

【活动二、三的教学意图与素养聚焦：引导学生透过表面的“同分母比分子、同分子比分母、子母都不同通分”，看见数学比较的本质，探寻数学中比较大小的通法，乃至比较万物大小（多少）的基本通法——即悟到数学一道——比较大小（多少）之道。】

活动四：两度打破——突破课本和自我认知的限制，看见更多的可能

1.整数比较的打破——看见无数种“单位”

师：你们现在认识了打通、会把比较打通、实现了比较的打通，很不错，但是你们说用证明40比4大的方法只有这两种，让我为你们感到遗憾，难道单位只能是“一”和“十”吗？

过了一会儿，一个学生惊喜、机动地分享了他想法：40是10个4，而4只是1个4，它们单位相同都是4，但是10个比1个多得多，所以40大（全班同学自发喝彩！）。

师：你是这节课上第一个实现整数计数单位突破，太牛了，此刻你就是我们班的数学家！请同学们为他给我们带来的单位突破再次掌声鼓励！——学生的思维一下大开了，接着，同学们又类推想到了：40是20个2，而4是2个2；40是5个8，而4是半个8；40是80个0.5，4是8个0.5等等。

最后学生自发得到这个结论：其实 一个数的单位可以是除0以外的任何数。

【教学意图与素养聚焦：打破了教材上只把“一、十、百…0.1、0.01…看作单位的局限和桎梏，在数的单位上又撕开了一道口子，打开了一扇窗，让学生对“单位”的思考更多元、想法更多、视野更广阔。】

2.分数比较的再打破——研究分数大小比较的另类N种方法

教师进一步激发：数的单位可以打破，分数，除了以上的比较方法，也可以打破吗？还有不一样的比法吗？比如：4/5 和3/5 ，还可以转化成什么比较？

生：转化成小数比，4/5=0.8，3/5=0.6，因为0.8＞0.6，所以4/5 ＞3/5。

教师板书：

另类比法1：与小数打通，转化成小数和小数比

师板书的同时追问：这其实是联系学过的哪种知识，和谁进行打通？

生：联系除法和分数的关系，和小数打通。

师板书“联系 ↔ 转化”并再激励：非常棒！还能不能想出不一样的比法？

于是，产生了下面的比法：

另类比法2：比它们的倒数，倒数大的反而小。

教师根据学生的阐述、板书后，在大力表扬的基础上，再次“逼”问：还有不一样的比法吗？

这时候，有的学生会说没有了，有的学生在静默深思，最终还是没有人发现新的比法。于是，教师开始启发：分数既然可以和小数的比较打通，那么依此类推，可以猜想分数是不是还可以……？

有个别学生犹疑地自言自语到：整数？

师：给这些敢于猜整数的同学喝彩、鼓掌！

师：大胆畅想一下分数的比较如何转化成整数的比较？

另类比法3：与整数打通，转化成整数和整数比

有学生提出了这样的猜想：

4/5 ○ 3/5，都乘5，变成4 ○ 3，因为4＞3，所以4/5＞3/5，道理：前数的5倍数，比后数的5倍数大；所以前数更大（本质上是：个数相同，哪个单位大的就大。）

验证性练习：学生用这种方法比5/6和6/7，学生很快想到“乘分母的最小公倍数”，转化成了35比36。

另类比法4：与整数打通，交叉相乘比

有学生在 5/6 ＜6/7 变成35比36的基础上，创生了这样的比较猜想：

用第一个分数的分子去乘第二个分数的分母，积是35；再用第一个分数的分母去乘第二个分数的分子，得36，因为第一个积小于第二个积，所以第一个分数就比第二个分数小（全体同学和听课的老师主动为这个孩子的猜想喝彩）。

师：这个方法是不是适用于所有的分数比较呢？我们用这些已经比过、知道结果的题目来验证，这种方法叫“执果索因或执果索法”，就是利用已经证实的结果，去探索得到这种结果的其他原因和方法。

所有学生都有一种发现新大陆的意外和惊喜。

师：你们能给这种比法取个名称吗？生：交叉相乘法。

注:此时应补充一个相等分数例子，以完善归纳类型，如：

另类比法5：与整数打通，转化成分数和整数比

教师进一步激发：非要两个分数都变成整数吗？比如，5/6 ○ 6/7还可以？

孩子经过深思后欣喜发现：只要乘6或者7就可以了。

另类比法6：与整数打通，将其一变1

教师再激发：其中的一个能否变成一个更简单、特殊的整数呢？（生：1）

于是有了：

另类比法7：直除看商

师：以上都是通过运算，实现了分数、整数、小数的打通。那它能不能和运算直接地打通呢？

学生通过计算很快发现：用前面的分数直接除以后面的分数，如果商大于1，前面的数就比后面的数大；商小于1，前面的数就比后面的数小。如：

此时，该下课了。

教师：算上前面的方法，我们已经研究了10多种不同的比较分数大小的方法，可遗憾的是该下课了，我们没有时间继续研究了，你觉得还有其他不一样的比较方法吗？全体学生坚定地：有！

师：有几种？

生：很多种。

师：这些方法，课本有吗？

生：没有！

师：也就是说，数学要远比你课本看见的？（多得多），课本上没有，你们怎么研究？

生：查资料、上网……

师：还可以看看数学百科全书、数学读物，加上上网，这是学习数学、看见很多不一样的数学、不一样的方法的重要路径。

【教学意图和核心素养聚焦：全景式数学教育的核心理念之一是“开更多的窗，播更多的种，留更多的芽，点更多的灯，永远不要轻易给孩子设限，让他们拥有更多的可能……”。以上的活动三就是在贯彻和落实这个教育主张，是在引导学生跳出课本，尝试猜想和创生更多的不一样的比法（想法），让学生体验到数学猜想、不断追问、深度思考的力量，感受到数学的神奇、亲历学习数学和数学创造的快乐，看见比课本上更多的比较方法，看见不一样的数学，丰富智力背景，聚焦核心素养，打开更多的窗，毓养更有想法的人。】

活动五：本节课的学习回顾和总结

师：该下课了，谁愿意来给大家聊聊你的收获，或者谈谈和你上课前相比，你对比较、乃至对数学等看法上发生了哪些改变？

学生总结知识、技能收获（略），有几个学生的发言，引人深思：

一是数学不仅仅是课本上学的那些，数学比课本多得多，丰富得多！

老师可这样引导和激发：是的，数学不止你看见的样子，世界也不止你看见的样子。

二是数学也有很多可能。

三是一位学生说“你改变了我的三观”。

【解析：从孩子的感受和总结看：这节课孩子成长的不止于数学知识、技能，还有孩子的比较观、课堂观、学习观、数学观等，还有超越数学的一般的思想、更核心的素养。】

三、课后探究作业设计

教师在鼓励学生把今天学习另类的比分数大小的方法，数学比较的三种基本情况两大基本方法分享给家人、伙伴的同时，激励课后继续思考和继续探究：今天学习的两种基本方法中，如果单位是0或者是负数，那要怎么比，为什么？

【设计意图：让学生再带着问题走出课堂，在课后续用的同时，又继续进行新的思考，完善通法最后一步比的结果，看见未来的数学学习（中学、乃至大学），看见更多的数学、更完整的数学。】

四、板书设计

结 语

随时把前后学习的知识进行打通不仅是学生学习的须要、数学本身的须要，也是新课标强调的教学要求（新课标中与打通有关的关键词竟然出现了95次，其中数学的一致性18次、统一13次、整体和整体性32次、联系34次）。

平时学习的随时打通和这样的专项打通课，不仅可以让学生发掘、探究到各年级同类知识背后的共通、一致、更深刻的数学本质，共通、一致的思想方法，更重要的是它能让学生学会打开数学知识间的壁垒、清除数学知识间通道上的障碍，更多地建立、密切和强化知识、思想、方法之间的联系，使得学生内化的知识的整体性、系统性、结构性更强，理解得更通透（打通则通透）、掌握更扎实、提取更快捷、启智生慧、增强迁移和解决的能力；同时，也能更好地毓养学生梳理、打通的意识、能力和习惯，更有利于培养学生数学的、乃至超越数学的、一般的通用核心素养。

总之，笔者认为数学教学应注意随时打通，多研究和创生一些这样的专项打通课，也期待和同仁就此进一步地沟通和探讨。

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来源 | 全景式数学

作者 | 张宏伟 南京赫贤学校

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