何新数理研究札记（11）：何新除法新定义与微积分方法的关系

一、
马克思《数学手稿》将微积分发展划分为三个阶段：
• 神秘的微分学（牛顿、莱布尼茨）
• 理性的微分学（达朗贝尔）
• 纯代数的微分学（拉格朗日）
所谓“神秘的微分学”，指 17 末牛顿和莱布尼兹各自独立地发明了微积分（古典微积分方法），但是由于贝克莱神父随即提出悖论的质疑。微积分理论遭遇所谓“第二次数学危机”，基础发生动摇。

牛顿微积分自称为“流数法”（Method of Fluxions）。莱布尼兹的微积分自称作“无穷小分析”（拉丁文 Analysis Infinitorum），也称作“微分算法”（Methodus Differentialis）。

马克思《数学手稿》描述古典微积分方法如是：
“⾸ 先 取 差 （ D i f f e r e n t i a t i o n ） ， 然 后 再 把 它 扬 弃 ， 这 样 在 字 ⾯ 上就 导 致 ⽆ 。
理 解 微 分 运 算 时 的 全 部 困 难 （ 正 象 理 解 否 定 的 否 定 本身 时 那 样 ） ， 恰 恰 在 于 要 看 到 微 分 运 算 是 怎 样 区 别 于 这 样 的 简 单 ⼿续 并 因 此 导 出 实 际 结 果 的 。”（北大版）
注意马克思在这里提出了“取差”这个与减法相关的概念。 （ D i f f e r e n t i a t i o n ）

二、
何新新的除法定义认为“除法是简约化的连续减法”，这个定义突破了传统算术对除法的静态释义，从动态运算本质和哲学辩证视角重构了除法的底层逻辑，为理解除法运算提供了新的思路，具有较高的创新性。

值得注意的是，牛顿与莱布尼茨的微积分方法，在极限理论建立之前，其运算过程完全依赖“连续减法取差”与“除法简约计数”的双重操作，这正是何新除法定义的直接体现：

第一步：减法构造“增量差值”
无论是牛顿流数法中的有限增量 \Delta t = t_1-t、\Delta s = s_1-s，还是莱布尼茨微分法中的无穷小增量 dx = x_2-x_1、dy = y_2-y_1，其核心都是通过减法运算剥离变量的“变化部分”——没有减法取差，就无法捕捉变量的动态增量，这是微积分运算的逻辑起点。
即使是函数增量 f(x+\Delta x)-f(x) 或 f(x+dx)-f(x)，本质仍是减法在函数值域上的延伸。
第二步：除法简约“连续减法次数”
平均变化率 \frac{\Delta s}{\Delta t} 或微分比值 \frac{dy}{dx}，完全契合何新“除法是简约化的连续减法”的定义。
从算术逻辑上看，\frac{\Delta s}{\Delta t} 等价于求位移增量 \Delta s 中包含多少个时间增量 \Delta t，这一过程本需通过连续减法 \Delta s - \Delta t - \Delta t - \dots 直至余数小于 \Delta t 来统计次数；除法将重复的减法操作简约为一步比值运算，提升了运算效率。
莱布尼茨的 \frac{dy}{dx} 处于无穷小尺度，其内核是“无穷小差值的连续减法计数”的符号化表达，只是减法的步长被推向了“趋近于零”的极限状态。
第三步：极限操作完成“减法-除法”结构的扬弃
牛顿令 \Delta t \to 0 得到瞬时速度，莱布尼茨舍弃 (dx)^2 等高阶无穷小以简化微分关系，这两步操作并非否定“减法-除法”的底层逻辑，而是对其进行辩证扬弃——当减法步长无穷小时，连续减法的“次数统计”失去直观意义，于是通过极限操作终止简约过程，将平均变化率升华为瞬时变化率，最终实现了用静态算术运算捕捉动态连续变化的核心目标。

三、
何新提出的“除法是简约化的连续减法”定义，突破了传统算术对除法的静态释义，从动态运算本质重构了除法的底层逻辑。
该定义与牛顿、莱布尼茨时代古典的微积分算法（流数法、微分法）存在运算内核同源、方法结构同构、哲学理念同轨的深度契合。

从运算内核看，减法构造增量差值是微积分的逻辑起点，除法对连续减法的简约化计数是微积分的核心运算手段，极限操作则是“减法/除法”结构在无穷小尺度下的辩证扬弃。
从方法结构看，牛顿流数法与莱布尼茨微分法虽符号体系与直观解释不同，但均遵循“减法取差—除法简约—极限定型”的统一流程，与何新除法定义完全同构。
从哲学理念看，二者均蕴含“量变到质变”的辩证逻辑，契合马克思在《数学手稿》中对微积分“先取差、再扬弃差”的“否定之否定”判断。

结论
何新除法定律与牛顿与莱布尼兹的微积分方法核心目标、底层原理一致，均以无穷小量分析为基础，均与连续减法操作有关，并且确立微分与积分的互逆关系，用于解决瞬时变化率、曲线切线、图形面积/体积等问题。
综上，何新除法定义深刻揭示了初等算术与高等数学之间一脉相承的内在关联，为理解微积分的运算本质提供了新的哲学视角。