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一、(3*5=15分)设三维空间中四点 所形成的三个向量为 , , , 其中 . 已知 作为相邻两边所成的平行四边形的面积为 , , , 作为共顶点三条棱所成的平行六面体的体积为 .
(1) 求 的值.
(2) 求平行于向量 且过点 的平面的方程.
(3) 求函数 在点 的梯度以及在该点沿 方向的方向导数.
二、(3*5=15分)设函数 在闭区间 上连续,在开区间 上可导且导数大于 0,极限 存在. 证明:
(1) 在区间 上取值大于 0;
(2) 存在 ,使得
(3) 对上述 ,存在 , ,使得
三、(5+10=15分)解答下列各题.
(1) 写出 在 处的 阶带佩亚诺 (Peano) 余项的泰勒公式.
(2) 计算极限
四、(5+10=15分)设二元函数 有连续偏导数, , ,且对任意实数 都满足 .
(1)计算 ;
(2) 计算极限
五、(3*5=15分)设 .
(1) 若定义在 上的二元函数 具有连续的二阶偏导数且满足
证明: , ,其中 , 是二阶连续可导的函数.
(2) 若定义在区域 上的二元正值函数 具有连续的二阶偏导数且满足
验证 满足
(3) 设二元正值函数 具有连续的二阶偏导数且满足
试给出 的表达式.
六、(15分)设 具有二阶连续偏导数,且当 时,
记 证明: 在 处取到极值,计算这个极值并判断是极大值还是极小值.
七、(10分)设定义域为 、值域为区间 的二元函数 具有二阶连续偏导数且处处 。证明:对任意实数 ,曲线 为直线的充分必要条件是
据说这是2025-2026学年北京大学第一学期的高等数学A试题,是否正确,请学友直接文后留言反馈!
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关于这一套题的综合题,咱们可以参考
中的专题练习,也可以直接查阅公众号底部菜单:。
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