贝叶斯量子振幅估计 Bayesian Quantum Amplitude Estimation

贝叶斯量子振幅估计
Bayesian Quantum Amplitude Estimation

https://www.researchgate.net/publication/395424691_Bayesian_Quantum_Amplitude_Estimation

我们提出了一种针对量子幅度估计问题的量身定制且具有噪声感知能力的贝叶斯算法BAE。在容错场景下，BAE能够达到海森堡极限；如果存在设备噪声，BAE可以动态地对其进行表征并自我适应。我们进一步提出了aBAE，这是BAE的一个退火变体，借鉴了统计推断中的方法，以增强鲁棒性。我们的提议在量子和经典部分均可并行化，提供快速噪声模型评估的工具，并且能够利用预先存在的信息。此外，它们能够适应实验限制和首选的成本权衡。我们提出了一种用于幅度估计算法的鲁棒基准测试方法，并用它来测试BAE与其他方法相比的表现，在有噪声和无噪声的情况下均展现出具有竞争力的性能。在两种情况下，它都能在成本函数下实现比其他任何算法更低的误差。在存在退相干的情况下，它能够在其他算法失败时进行学习。

1 引言

量子幅度估计（QAE）是一种用于估计与给定子空间相关的测量概率的程序，这些子空间对应于某些波函数。其显著应用包括蒙特卡洛积分和估计任务，在金融、化学-和机器学习-领域也有应用。

最初的QAE提议通过在量子幅度放大（QAA）算子上执行相位估计来实现二次量子优势。然而，相应电路的复杂性对于目前可用的量子设备来说是难以承受的，因为这些设备容易受到噪声的影响且规模有限。文献中提出了替代方案，通常是混合量子经典算法，其中更简单的电路嵌入到经典反馈回路中。这些更简单的电路通常由一系列非受控的放大算子应用组成，应用次数为m，m是一个实验自由度，由经典处理单元控制，可能以自适应的方式进行。

在这种表述中，QAE与超导量子比特相关的常见表征任务非常相似。这些任务与进动动力学有关，例如拉莫尔、拉比和拉姆齐振荡。同样，在光量子计算中，马赫-曾德尔干涉仪也产生了类似的框架。

所有这些动力学都允许平方正弦描述，就像格罗弗电路一样。应用于其中一种动力学的技术很可能会转移到其他动力学上，从而将QAE算法的适用性扩展到诸如传感或量子门实现和校准等任务；反之，QAE也可以借鉴为这些任务设计的算法。

重要的是，与许多混合近期量子算法不同，这些方案可以证明为QAE实现完整的二次优势。然而，实现细节仍然是一个开放性问题。它们决定了性能因素，如量子成本偏移、经典处理成本、并行性和抗噪声能力。

尽管上述替代算法需要更简单的电路，但其中大多数仍然假设理想执行，最多将采样噪声视为限制。更重要的是，它们的性能通常是在这一假设下进行评估的，这使得它们在存在噪声的情况下行为不可预测。

能够推广到噪声情况的一个框架是贝叶斯推断，它自然适用于QAE的迭代表述。然而，涉及的处理成本很高。电路长度预计会随着迭代次数呈指数增长，更高的精度需要更多的迭代。在一个简单的策略中，搜索范围以及因此每次迭代的优化成本预计会随着总迭代次数呈指数增长。另一方面，一个简单的（确定性的）统计近似的成本会随着参数数量呈指数增长。为了确保可行性，更有效的近似是至关重要的；重要的是，必须小心谨慎，以免危及可扩展性或正确性。在中，提出了一种基于贝叶斯推断的噪声感知QAE方法，该方法基于正态性假设。尽管这是一种对简单案例成本效益较高的方法，但预计它不会很好地推广到更复杂的情况，即涉及更复杂的噪声模型的问题。此外，这一提议需要推广格罗弗算子，并在大量参数上进行优化，这会产生相当大的成本开销。

1.1 贡献

在本工作中，我们提出了BAE，这是一种用于量子幅度估计的近似贝叶斯算法，能够在不做出限制性假设或承担过高成本的情况下处理噪声。我们采用了针对问题定制的启发式方法来降低优化成本，同时保留量子优势，将每次迭代的优化成本降低到常数。通过使用可扩展且高度并行化的统计方法和其他近似方法，我们进一步降低了经典处理成本，同时不影响量子优势。

我们所使用的量子电路是文献中呈现的最简单类型；它们不需要受控或广义的格罗弗算子版本，也无需与格罗弗搜索相比的任何其他定性复杂性。

我们的方法能够以极少的额外成本对模型的优劣进行量化，可以纳入可用信息（例如过去的实验数据），并且在涉及的成本权衡方面具有灵活性。例如，人们可以将部分量子优势换取更低的经典成本，或者换取量子子程序中更高的并行性。

为了对我们的算法进行基准测试，我们将其与文献中介绍的其他量子幅度估计算法一起进行了数值测试，并提出了全面、与问题无关且具有成本效益的方法来评估和分析它们的性能。BAE实现了海森堡极限估计，在所有测试算法中具有最低的成本偏移，并且能够在其他算法失败的噪声场景中进行学习。

此外，受到统计学中一种广泛使用方法的启发，我们提出了aBAE，这是BAE的一个变体，其量子电路是基于与误差或不确定性没有直接关系的统计效率度量来引导的。这进一步突出了这一组成部分的重要性，并为处理具有挑战性的模型或数据提供了一种稳健且系统化的方法。我们称这个变体为退火贝叶斯幅度估计，以它所受启发的方法——退火似然估计命名。

本文所用的代码和数据集可在处获取。

1.2 文档结构

本文的其余部分安排如下。第2节介绍相关背景，包括原始量子算法、经典对应物以及替代混合算法。BAE在第3节中介绍。第4节描述了用于基准测试的数值方法。这些测试的结果在第5节中展示。最后，第6节讨论并总结了结果，以及未来研究的方向。关于算法、数据处理和背景的补充细节在附录中给出。

2 背景 2.1 幅度估计

量子幅度估计（QAE） 是一个估计形如以下波函数中的参数 a 的过程：

对于足够小的幅度和足够低的 m，这个算子的效果是增加幅度；因此，它也被称为幅度放大算子。在格罗弗搜索中，m 被选择为在测量时获得好状态的概率最大化。

更一般地说，这可以被视为一种幅度振荡算子；一旦超过最优的 m ，概率就会降低，然后以周期性的方式变化：

2.2 量子算法

结果对于两个特征值来说是相同的，因为正弦函数关于 是对称的。这是一个关键点，因为否则测量结果将是模糊不清的。还要注意，虽然方程（6）中的算子上的负号对于量子搜索来说是无关紧要的，但在幅度估计中并非如此，其缺失将导致计算 a 的补数而不是 a 本身。

文献[5]中的一个重要理论结果表明，以上述方式估计 a 使用次预言机查询，并实现一个误差上界为：

2.3 经典算法

我们现在想要将方程（13）与表现最好的经典算法进行比较。在经典方法中，我们通过对原始分布进行采样并评估每个样本的函数 f 来估计 a。一个样本或函数评估对应于一次查询。然后我们对这些评估结果取平均值，以获得 f(x) 期望值的估计，即幅度。

因此，公式（13）表示了二次加速：在量子情况下，估计 a 的误差随着查询次数的增加而呈二次方速度更快地减小。

2.4 替代量子算法

第2.2节中描述的量子算法为幅度估计提供了一个最优且直接的解决方案。然而，所需的量子电路既深又复杂，涉及受控操作的梯子和大量的量子比特。这使得它对于当前的量子设备来说不切实际，这些设备受到噪声的影响，并且与此相关的是，它们的规模有限且计算时间连续。

特别是，该算法使用了相位估计，就像Shor算法一样——尽管它提供了更小的复杂性优势（二次方而非指数级）。这引发了一个问题，即相位估计是否真的是解决这个问题所必需的。对此给出了否定的回答，其中提出了一种简化的幅度估计方法。这种替代算法实现了与相同的（最优的）渐近复杂度，但用一组更简单的量子电路以及经典处理和控制来替代QPE电路。

这些电路包括与格罗弗量子搜索中使用的相同的放大电路，其中格罗弗算子在初始状态上作用m次。这个参数化的电路族的输出分布由方程（9）给出，其中m=0恢复了经典情况。量子情况的额外自由度可以在经典处理框架内使用，以实现完整的二次加速。

所使用的唯一量子资源是格罗弗测量。我们可以将量子设备视为一个黑盒，它接收一个整数 m 并根据方程（9）输出一个二进制结果 D。在这种情况下，幅度估计可以被视为一个计量问题。我们可以说 m 是一个实验控制，而 D 是一个实验结果，或者说是一个数据（或者，也可以将 m 吸收进 D 中）。

显然，量子优势源于放大过程，并可以归结为这个基本动机。然而，如何最好地利用这一点是一个悬而未决的问题。虽然文献[11]中的算法具有最优复杂度，但它会产生不切实际的成本开销。此外，尽管所使用的电路更简单，但它们仍被期望是完美的——不仅为了结果的正确性，甚至为了确保算法按提议完成。特别是，需要一定程度的放大来完成算法，这在存在退相干的情况下可能是不可行的。

文献中提出了其他替代方案，其中大多数使用了相同的电路族。通常，这些方案由混合量子经典算法组成，其中量子电路被嵌入到具有经典反馈的迭代方案中。也就是说，指定量子电路的参数 m 在每次迭代中根据前几步自适应地选择。图1展示了这种类型算法的通常工作流程。

经典处理部分通常是区分不同算法的关键因素，也是导致算法性能差异的原因。最常用的成功度量标准是复杂度优势，这可以通过理论或/和数值研究进行分析。然而，在实践中，其他特性也可能相关——即最大电路深度、经典处理成本、量子成本偏移、抗噪声能力、在线处理成本和并行性。

遵循这种结构的一些值得注意的算法包括无相位估计的幅度估计，或最大似然幅度估计（MLAE）、更快的幅度估计（FAE）、迭代幅度估计和鲁棒幅度估计（RAE）。第2.6节提供了这些算法的概述。

2.5 量子增强估计

在考虑QAE的替代算法时，将其问题视为起源于计量学是有用的，以便正确评估它们的优劣。在本节中，我们简要讨论量子增强估计。

对于本工作的范围，我们感兴趣的是将估计误差与资源计数相关联的表达式，分别称为 ε 和。前者是均方根误差，它量化了不确定性，可以通过标准差来估计。后者量化了成本；例如，测量次数、探测次数或查询次数，或（累积）演化时间。

在经典情况下，对于幅度估计的误差在最优策略下的行为的基本限制由标准量子极限（SQL）给出：

这个限制是由于采样噪声：任何测量的分辨率都受到测量次数或重复次数的限制。因此，这也被称为射击噪声限制。尽管它被称为“噪声”，我们在整篇论文中并不将其视为噪声，而是用“噪声”来指代与理想行为的偏差（外在噪声）。

虽然这是在独立测量下可达到的最佳性能，但人们可以利用量子效应来改进方程（16），以表征量子力学性质的系统。可以在空间（纠缠）和/或时间（适应性）中引入测量之间的相关性，以提高估计精度。

更具体地说，量子控制允许达到海森堡极限：

方程（17）代表了计量学的最终界限，也是估计任务的黄金标准。

当使用不一定是最优的算法时，这些界限提供了对性能的洞察，即它们保留了多少量子优势。这可以观察为介于经典和量子界限（分别是方程16和17）之间的一个缩放比例。

2.6 文献概述

如第2.4节所述，第一个不使用QFT的QAE算法是在2019年由Aaranson和Rall提出的，他们用纯幅度放大的顺序方案替代了QFT——即格罗弗型电路，其中唯一的变量是格罗弗迭代的次数。他们将该算法称为“量子计数，简化版”；更普遍地，我们使用术语“幅度估计，简化版”（AES）。

尽管这个算法实现了预期的加速，但涉及了一个较大的常数因子；这意味着尽管幅度的不确定性按预期速度缩小，但它的起始值不利。更重要的是，该算法需要精确的测量结果才能按预期工作，使其特别容易受到噪声的影响。

同年，其他作者提出了他们自己的替代方案，以实用性换取严谨性。在中，Suzuki及其合作者提出了一种最大似然幅度估计（MLAE）方法。他们的策略依赖于简单的格罗弗电路的启发式序列，并基于从中提取的测量数据推断幅度。

提出了两种启发式方法：LIS和EIS；其中m分别线性和指数增加。作者证明了估计误差的下界，但没有证明上界。EIS的下界是海森堡极限，而LIS在最佳情况下表现更差（但仍然是量子增强的）。数值分析显示了良好的性能，尽管这两种策略都没有达到下界。

一些作者研究了该算法在噪声存在下的行为，并提出了改进。

两年后，考虑从另一个角度重新设计这个最大似然算法，通过定期用变分量子近似替换部分格罗弗迭代来减少电路深度。尽管由于变分量子电路优化而产生了成本开销，但他们展示了有趣的数值结果。

同年，重新设计了的方案，以涵盖经典和量子方法之间的领域——目标是明智地利用近期设备的有限量子性。除此之外，作者还开发了另一种算法，实现了相同的目标，同时提供了更强的形式保证。这两种方法都展示了稳健的数值性能。

在之后不久，引入了一种基于哈达玛测试的简单方法，作者称之为更简单的量子计数（或更简单的幅度估计，SAE）。经过几次执行后，通过反转结果分布模型来获得感兴趣的参数。然而，理论和数值分析并没有直接涉及感兴趣的性能指标。

不久之后，提出了迭代幅度估计（IAE），这是一种结合了形式严谨性、坚实的数值性能和适度成本偏移的算法。尽管它未能达到理想的渐近复杂度，但它接近了，两者之间只有一个双对数因子的差距。更重要的是，（无噪声）实验表明它的竞争力，没有被任何其他考虑的算法超越。

这个算法引起了其他作者的注意，促使他们修改版本。特别是，通过在迭代过程中重新排列其失败概率来增强它——成功地消除了不需要的对数因子，以获得最优的渐近性能。这一发展进一步巩固了该算法作为既严谨又实用方法的重要性。然而，它对噪声的无视可能使其在近期使用中不切实际，更谨慎的策略可能会带来优势。

后来在中提出了另一种算法。它同样未能实现海森堡缩放，但同样接近，差异再次是一个双对数因子。它依赖于直接反转电路，直到被冗余阻止；在这一点上，它转变为需要额外测量以消除歧义的更复杂的反转。与一样，数值测试显示了相当满意的结果，尽管偏移不太有利。

所有这些算法都被认为是硬件友好的——在所需电路比原始算法更浅的意义上——但假设了容错计算。换句话说，电路更简单，但仍然期望在执行时产生理想的结果。

这不仅支撑了大多数或所有正确性证明，而且在构建测量时间表时也被假设。更具体地说，为了提高知识，算法通常依赖于深度逐渐增加的电路。如果这种情况无限期地持续下去，那么执行所需的时间超过设备的相干时间是不可避免的，这在实践中总是有限。

因此，我们最终将在输出端测量经典噪声；显然，在这种嘈杂的状态下，不太雄心勃勃的测量可能更有信息量。更重要的是，对精确结果的过度依赖使对噪声无视的算法无法从异常测量中恢复。

这些要点强调了需要能够适应嘈杂场景的幅度估计算法。2021年，朝这个方向迈出了一步，提出了一种名为鲁棒幅度估计（RAE）的算法。它不依赖于由精心制作的分析基础支撑的严格时间表和细致计算，而是依赖于基于贝叶斯推断的更灵活框架。这个框架不仅能够减轻噪声，这些能力还可以与互补技术结合或增强。这种丰富性立即开辟了许多有趣的途径，试图使QAE更接近实际应用。

RAE依赖于具有工程化似然函数的贝叶斯推断，这是通过推广格罗弗算子实现的。在中提出了类似的想法，以使格罗弗搜索确定性。在这种情况下，目标是进一步定制用于数据收集的电路模型。此外，一个简单的噪声模型被纳入似然中，这进一步增强了算法的能力。

这种方法的主要缺点是计算成本和可扩展性之间的权衡。为了使问题可处理，作者在高斯假设下工作。这被证明对于他们测试的案例不会显著影响数值结果。虽然这种近似对于几个参数（如本例）通常是灵活的，但它们对于更高维度的情况并不具有良好的扩展性，这在考虑更复杂的噪声模型时会出现。统计表示可以说是贝叶斯推断中最关键的实现细节。因此，找到既高效、通用又可扩展的方法是很重要的。如果做不到这一点，肯定会阻碍推断过程，不仅影响最优性的准确性，还会影响正确性本身。

此外，RAE需要将格罗弗算子（6）的反射推广到任意旋转，而原本它们是固定的，等于π。这增加了经典优化成本，因为现在我们处理的是2m个参数（其中m是电路层数/格罗弗算子的应用次数），而不是1个（m本身）。

此外，与单个由两个反射组成的常数算子相比，使用由两个连续旋转组成的m个不同的算子为实验设置带来了额外的复杂性。这种定制使得电路更难实现、校准，甚至可能更难编译；应用错误校正变得更加昂贵。

由于这些原因，定制格罗弗算子可以被认为是与其他混合QAE方案相比的一个劣势。

在本文中，我们提出了一种不推广格罗弗算子的方法，而是使用标准的固定算子幅度放大。我们利用QAE特定的洞察来减轻经典处理成本，同时保留量子优势，并采用在嘈杂场景中表现良好的成本效益高的统计方法。

表1提供了所讨论算法的简要概述。

3 贝叶斯幅度估计

我们提出贝叶斯幅度估计（BAE），这是一种基于贝叶斯推断的算法，遵循图1中的混合方案。在每次迭代中，经典地选择一定数量的格罗弗步骤m，然后执行相应的量子电路。测量结果被送入经典处理单元，并且根据需要重复此循环以实现预期的不确定性。

贝叶斯框架允许我们通过概率分布来完善我们对幅度的（可能为零的）初始知识。这种描述允许我们以预期效用（方差）的方式评估任何m的前瞻性，并因此优化m或m序列。我们选择一种贪婪算法——单元前瞻，一次优化一个m——以最小化优化成本。出于相关原因，我们在信息稀缺的初始阶段执行经典预热阶段。

工作流程在图2b中以图示表示，算法1中提供了伪代码。贝叶斯推断和贝叶斯实验设计的概述分别在附录A和C中提供。贝叶斯更新和估计器计算是我们基于推断的协议的支柱；为了有效地表示概率分布，我们使用带有马尔可夫链蒙特卡洛转换的序贯蒙特卡洛（SMC），详见附录B。

算法的关键部分是选择m的子程序。贪婪策略将涉及对无限域的离散优化，因为m是无上界的。为了解决这个问题，我们开发了一种启发式策略，根据窗口扩展（附录C.1）自适应地定义搜索范围。我们从一个较低的搜索范围上限开始；每次在优化中选择窗口允许的最高可能控制之一时，我们记录一次命中。当命中次数达到预定阈值时，就会触发窗口扩展：前者的上限成为新的下限，而上限加倍。然后我们将命中计数器重置为零，并重新开始。

这依赖于海森堡极限QAE算法的放大计划，其中m随着迭代次数呈指数增长。虽然窗口宽度仍然呈指数增长，但我们通过在其中的评估呈指数稀疏来实现恒定成本。

重要的是，这个贝叶斯框架可以很容易地适应嘈杂的场景，通过调整生成模型。我们将贝叶斯框架扩展到学习幅度之外的噪声参数，获得一个可以实时表征设备噪声并适应的算法。关于噪声定制的详细信息在附录D中提供。

我们的算法能够利用先验知识，例如如果幅度已知很小（附录A）；可以以微不足道的额外成本评估噪声模型（附录B.4）；非常适合并行执行，具有可以分布在量子和经典设备上的任务（附录I）；并且具有可调参数，可以根据实际权衡进行调整（附录J）。

3.1 退火贝叶斯幅度估计

BAE是一种贪婪地最小化方差的推断算法。在本节中，我们提出一种不同的方法——退火BAE（aBAE），借鉴自退火重要性采样，这是统计文献中一种著名的算法。

分布的连续幂形成了可以使用序贯蒙特卡洛采样的分布序列。注意，以前，分布序列由累积数据集给出，数据集的大小逐渐增加。

SMC算法可以应用于任何分布序列。有关详细信息，请参阅附录B.1。

系数序列的选择决定了算法的性能。一种选择是自适应地选择系数以保持有效样本大小（ESS）在目标值附近。ESS是SMC中粒子退化的度量。一组K个样本可能对应于少于K个有效样本，这是由于相关性；如果处理加权“网格点”，如在SMC中，不均匀的权重意味着代表性低。ESS量化了一组加权样本对应于多少均匀样本。

因此，保持ESS在目标值附近有助于确保稳定的表示。直观上，确保ESS不太低保证了信息被正确捕获；而确保它不太高则保证了摄取了大量信息。

在标准BAE中，我们通过在ESS低于某个阈值时刷新点位置来控制ESS。对于退火BAE，我们反而在每次迭代中选择实验控制，以最小化与目标ESS的预期距离。注意，贝叶斯和SMC框架保持不变，除了效用函数的选择。ESS的期望可以像方差或其他效用函数一样以前瞻性方式计算。

实验设计随后承担了选择系数的角色。虽然它们的行为不如前者，但由于似然函数的结构，它们可以实现类似的效果。

这种方法的优势是统计鲁棒性，我们期望在更高维度中尤其显著，在那里充分探索空间更具挑战性。此外，在多维估计中，方差成本函数必须推广到协方差的标量表示。这引发了新的考虑点，如参数的相对尺度。使用ESS消除了这些问题。最后，计算与协方差相关的度量复杂性随着维度的增加而增加，而计算ESS的复杂性则不会。

4 方法 4.1 处理和基准测试

为了评估QAE算法的优点，必须找到结果相对于计量学基本限制的位置。

为了图形化地描述这种评估，我们将根均方误差（RMSE）表示为查询次数的函数。在先前的QAE提议中，测试是针对作者选择的固定幅度进行的。这样的选择可能导致评估有偏见，以及过拟合。

相反，我们以一种与问题无关且通用的方式来测试这些算法，通过随机采样幅度，并取归一化后的RMSE值的归一化平均值，即NRMSE：

同样，我们使用平均标准差的归一化版本。这允许进行更彻底的性能评估，揭示某些算法中的行为不规则性，并允许对算法的超参数进行通用调整。

请注意，算法的成本计算为其执行过程中使用的查询次数的总和。这些查询可能分布在多个电路中。这种全面的成本定义允许与量子计量学的限制（第2.5节）进行直接比较，后者不涉及资源分配的具体细节。

尽管如此，这种划分会影响算法的行为，因为电路中的查询次数与它的深度成正比，这决定了结果受退相干影响的程度。这反映在算法在噪声存在下的性能上。

这结束了对要绘制的数量的讨论。现在我们讨论如何绘制它们。首先，我们将使用双对数刻度。我们表示方程（16）和（17）中的极限以供参考；它们分别以-0.5和-1的斜率呈现为直线，便于视觉评估。

其次，我们根据数据集自定义y截距，以便于视觉分析。详细信息在附录G中提供。注意，仍然需要注意垂直比例偏移：在实践中，它是相关的成本度量，取决于精度范围。可能不希望从一开始就要求算法需要更高的量子资源数量，即使其扩展是海森堡限制的。最终，这样的算法的性能将超过另一个具有较小偏移但扩展速度不利的算法，但这种情况是否发生取决于目标分辨率。

另一个挑战来自于适应性的应用。在量子计量学中，由于统计噪声，性能指标倾向于尊重平均结果。对于确定性算法，这些平均值是直接的，但对于自适应算法则不是。在这种情况下，由于x坐标不匹配，粗暴的平均将需要丢弃大多数数据点，并使用与最大查询数成指数增长的不成比例的执行次数。为了避免这种情况，我们找到并采用了一种良好的近似方法，允许我们使用所有数据点，同时仍然可靠地描绘统计数据。我们分析了多种可能的策略，并发现表现最好的是按照它们的x坐标对点进行分组，并独立地平均它们的坐标。模拟数据的结果在图3中显示。这些数据被生成以再现理想的海森堡限制行为，以便可以验证结果。通过上述策略，每个组中相同颜色的点由一个点总结：星形标记。理想的处理将使这些标记无偏地位于虚线上。详细信息可以在附录E中找到；附录F显示了使用其他策略的结果，证明了我们的结果对于任何对虚拟数据表现良好的处理策略都是成立的。

4.2 量子模拟

我们希望数值模拟BAE、其他混合QAE方法以及经典QAE算法（用作参考）。为了测试目的，这些算法的量子部分可以通过解析计算和多项式采样高效地模拟。这并不意味着这些电路可以由经典计算机高效模拟，因为生成这些数据需要知道 a 的值。更多细节参见附录H。

除了理想行为外，我们还想观察算法在外部噪声（即非射击噪声）影响下的行为。因此，我们在方程9中增加了一个额外的参数 T —— 相干时间 —— 并假设一个指数衰减同样影响基态。独立于 θ 的因子确保了这种对称性（和适当的归一化）。结果是表达式4.2。

这个模型已在其他工作中使用过，并且在考虑量子设备中的常见噪声源时会出现类似的指数衰减：去极化、去相位、能量弛豫和门失调。

为了实用性，我们将一个时间单位定义为应用一次格罗弗算子所需的时间。然后可以使用这些单位来表示 T。

有了由方程4.2给出的封闭表达式，就可以像往常一样引入采样噪声。

5 结果

本节以图形方式展示了根据第4节描述测试我们的BAE算法的结果。统计数据是基于100次执行取的。在比较图中，我们考虑了中位误差的演变，以便于视觉分析。为了完整性，平均结果在附录F中提供。

所有测试中都存在射击噪声；在小节5.1中不考虑其他噪声源，而在第5.2节中施加了有限的相干时间。第5.3节提供了一个比较分析，将BAE与最新技术进行基准测试。

用于这些模拟的代码和数据集在GitHub上公开可用，以及一个演示笔记本。

5.1 BAE的无噪声性能

图4a显示了BAE的数值模拟结果。我们可以看到误差的演变是平滑的，并且与海森堡极限平行。

图4b显示了采用附录C中提到的节省成本措施的结果：序贯蒙特卡洛的重采样步骤在效用计算中被抑制，并且每个m实现了10次射击。偏移量仅略有变差，我们仍然观察到海森堡极限估计。经典处理的运行时间减少了5倍。在所有其他模拟中，我们采用这些节省成本的措施。

请注意，通过减少预热射击次数和每次测量的射击次数，或放宽触发窗口扩展的标准（附录C和J），可能会获得稍微更好的成本偏移，但行为可能不太规律。

我们还根据小节3.1测试了退火BAE。图5显示了结果，估计仍然与海森堡极限平行。在相同情况下，对于单维估计，成本偏移与BAE相似。这是有希望的，因为预计其优势将在更高维度的问题中显现。例如，多参数噪声模型可能会产生多模态，在这种情况下，这种方法预计将优于基于方差的原始BAE。

5.2 BAE在退相干情况下的性能

为了展示BAE在噪声存在下的估计潜力，我们进行了相同的模拟，考虑了一个具有有限相干时间的去极化信道。在这些测试中，我们假设随机的相干时间在区间 [2000, 5000[ 内，时间单位如第4.2节所述。每次运行时随机选择时间，并假定在此过程中保持不变。BAE使用500次射击来估计相干时间。

图6显示了估计过程。我们可以看到，演变最初与海森堡极限平行，随着查询次数的增加而减缓，达到了介于量子和经典极限之间的中间斜率。

在无噪声的情况下，随着误差的缩小，选择更深的电路以最佳方式改善估计误差。在这种情况下，由于相干性受到限制，存在一个权衡：更深的电路更容易受到退相干的影响。因此，BAE选择电路深度，以在这两者之间实现最佳平衡，尽管存在噪声，仍然保留了部分量子优势。

5.3 比较分析

最后，我们测试了文献中提出的其他算法，并将它们与BAE进行比较。结果在图7中展示。

从理想情况（图7a）开始，我们观察到BAE在复杂度和偏移量方面都具有竞争力：其学习速率（斜率）与表现最佳的方法相匹配，而其偏移量优于其他所有方法。BAE不仅达到了海森堡极限，而且还能随着资源数量的增加，比其他任何算法更快地缩小误差。这表明，尽管它可以适应嘈杂的设备，BAE并不仅仅是一个NISQ算法：它能够在容错场景中实现完整的量子优势。

转向嘈杂的情况（有限相干性 - 图7b），BAE仍然是表现最佳的算法，与其他算法的差距更大。在所有测试的算法中，BAE在给定查询次数下实现了最低的估计误差。事实上，无论成本如何，它都实现了最低的估计误差，因为其他算法似乎由于学习速率的停滞，无法将误差降低到 以下。即使对于更高的查询次数，BAE也能可靠地执行，这对应于更长的执行时间和更高的精度，而其他具有类似成本的算法则因噪声而停滞或表现出不稳定的行为。

在其他算法中，有些只有在查询次数较高时才显示出这种趋势：FAE、SAE和MLAE（LIS）。这是由于它们的偏移量更大和/或学习速率更慢；它们使用的电路比最优电路短，这增加了量子成本并延迟了退相干的影响。这并不构成优势：我们感兴趣的是给定误差幅度下的噪声影响，而不是成本。（否则，人们可能通过无益地增加成本来“改善”算法的抗噪声能力，导致图中向右移动。）

出于类似原因，MLAE-LIS在高查询次数时由于涉及大量小项（数万个电路的可能性）的产品优化而遇到运行时和数值稳定性问题。

同样，我们注意到查询总数可能与退相干的影响没有直接关系，也不是存在噪声时不稳定行为的唯一预测指标。这些查询是累积的，并不一定与最大电路深度成正比（尽管对于某些算法来说大约如此，例如MLAE-EIS的几何级数电路）。

这些是我们工作的主要结果。我们已经证明BAE：

1. 在无噪声的情况下实现了海森堡极限估计，斜率与最佳算法一样好；

2. 与所有其他测试算法相比，偏移量更小；

3. 与其他算法不同，能够适应嘈杂的场景。

最后一点与来自灵活且广泛框架的其他优点有关：BAE能够适应实验限制或偏好，评估噪声模型的优点，利用先前可用的信息，并利用各种权衡。

6 结论和未来工作

我们提出了BAE，这是一种QAE算法，能够实现海森堡极限估计；高度可定制，能够在涉及的多重成本之间进行权衡；可并行化和可扩展；并且对噪声具有弹性。数值模拟显示，我们的算法与最先进的算法相比具有稳健的性能，无论是在有噪声还是没有噪声的情况下。这使得它在NISQ和容错时代之间的过渡中特别有趣，因为它可以在这些体制之间进行插值。

特别是，BAE能够表征噪声并相应地自我适应。这使得它比未能考虑外部噪声源的算法更适合有缺陷的量子设备。虽然噪声仍然可以减慢学习速率，但正确处理它可以在保障正确性的同时最小化这种减速。我们观察到，即使在其他算法因噪声而饱和后，我们的算法仍然继续学习。

我们还提出了aBAE，这是BAE的一个退火版本，它仅基于统计简并性的度量来指导推断。这使得评估效用函数的成本与参数数量无关，并有助于在多维场景中确保稳定的数值表示，如详细描述噪声时所带来的场景。

相关的，未来工作的一个有趣方向是使用更复杂的噪声模型来测试算法。这样的模型预计将从所提出方法的鲁棒性中获益最多，即高效的多维采样和BAE的退火变体。这一改进是未来工作目标的关键一步：在真实的量子设备上执行量子幅度估计，而不是依赖数值模拟。

其他可能的研究方向包括对BAE算法特定部分的修改，即效用函数、控制优化程序和数值表示。这可能进一步提高性能或降低经典成本。

最后，BAE算法可以直接应用于介绍中提到的表征任务，在量子技术中有许多潜在应用——即超导和光子量子计算以及传感。

原文链接：https://www.researchgate.net/publication/395424691_Bayesian_Quantum_Amplitude_Estimation