何新数学史札记（6）：乔治·贝克莱主教及其思想

贝克莱主教是近代主观唯心论哲学的代表人物，他并非专业数学家，但是他对微积分基础概念的尖锐批评，即著名的“贝克莱悖论”，具有里程碑式的意义，直接引发了数学史上的“第二次危机”。

一、生平与哲学思想

• 基本信息：新教主教，神学家
乔治·贝克莱，1685年出生于爱尔兰，1753年去世。

乔治·贝克莱属于基督教新教中的安立甘宗，也就是英格兰圣公会的神甫。他最终的身份是爱尔兰克罗因地区的大主教，这是圣公会神职系统中的高阶职位。

贝克莱是业余哲学家和数学家。他是英国近代经验主义哲学的重要代表人物。

• 核心哲学主张：存在就是被感知

这是贝克莱哲学最广为人知的观点。
他认为，世界并非真实存在，上所有物体的存在，都依赖于它们被心灵所感知。一个事物，如果它没有被任何心灵（无论是人的还是神的）所感知，它就不存在。他有一句名言：“物是观念的集合。”

贝克莱认为 ，一个苹果的存在，就是它的颜色、形状、味道、触感等一系列观念的组合。如果这些观念没有被任何心灵（人的或上帝的）所感知，那么这个苹果就不存在。

二、贝克莱悖论

尽管贝克莱是一位哲学家和神学家，但他对科学的兴趣，促使他审视了当时最前沿的数学工具——牛顿的微积分。

• 背景：
17世纪末，牛顿和莱布尼茨各自独立发明了微积分。这套新工具威力无比，能轻松解决传统几何学难以处理的运动、曲线等问题。然而，它的基础却是模糊不清的。无穷小分析方法，牛顿称之为“流数”，莱布尼茨称之为“dx”和“dy”，它们都是所谓的“无穷小量”——一个比任何正数都小，但又不是零的量。

• 贝克莱的攻击：
贝克莱发现了无穷小分析其中的逻辑矛盾。他在1734年出版的著作《分析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理》中，对微积分发起了猛烈的抨击。

• “贝克莱悖论”的核心观念：

贝克莱嘲笑牛顿的“流数”概念是一个逻辑上无法立足的“幽灵”。
他以求导数为例，指出了逻辑矛盾所在：

1. 为了计算 (x+Δx)² - x² / Δx，必须将 Δx 当作一个非零量来进行代数运算（如约分），否则无法进行除法。

2. 但当运算结束后，为了得到最终的导数 2x，又必须把这个 Δx 直接当作零舍去。

贝克莱尖锐地质问道：那么这个 无穷小变量Δx 到底是什么？

▪ 如果它不是零，那么 (2x + Δx) 就不是最终答案 2x。
▪ 如果它是零，那么你第一步的除法运算就是“除以零”，这是无意义的。

著名的反讽：
贝克莱将无穷小量比作“已死量的幽灵”或“正在消失的量的鬼魂”。他说，这些量“既不是有限量，也不是无限小量，但又不是无”。它们是“我们既不能感知也不能理解的”东西。
贝克莱批评牛顿等数学家是在用“神秘的、含混不清的方法”进行研究，其严密性还不如神学和信仰。

三、历史影响与评价
在当时，贝克莱的批评属于非主流的理论，许多数学家对他感到愤怒，认为他不懂数学。

• 然而，历史最终证明了贝克莱的伟大。
贝克莱悖论深刻地指出了微积分基础概念的内在矛盾。
为了回应贝克莱的挑战，数学家们在18、19世纪进行了长达一个半世纪的艰苦努力，最终通过建立极限理论、实数理论等，为微积分奠定了严格基础，催生了现代数学分析。
乔治·贝克莱是哲学史和数学史上一位重要而伟大的人物。

【佛教唯识论：万法唯识】

唯识论认为， “三界唯心，万法唯识。” 整个世界（“万法”）都是“识”（心识，心，感知）的表现。

佛教唯识论认为，我们所看到的山河大地、桌椅板凳，并不是独立存在的“色法”，而是我们“阿赖耶识”中所藏种子在因缘际会下的显现，是我们的心识所投射出的“相分”。

禅宗：非幡动，是心动

禅宗认为“心外无物”。
一个著名的禅宗话头是：风吹动了寺庙的幡旗，两个和尚争论是风所动物还是幡所自动。

六祖慧能大师断喝说：“不是风动，不是幡动，仁者心动。”

意思是，风和幡本身并无动。我们所看到的“动”，其实是我们内心心念所动。