运用数学抽奖，中奖率真的可以飙升一倍吗？

图：三个盒子中，只有一个盒子里面藏有一把汽车钥匙

运用数学抽奖，中奖率难道真的可以从 1/3 大幅提高至 2/3 吗？

今天就让我们聊一聊“蒙提霍尔”问题，一起揭晓问题的答案吧！

“蒙提霍尔（Monty Hall）问题”，或“三门问题”、“山羊问题”，是一个著名的概率游戏。这个问题有很多版本流传，我们今天讨论的版本源于加州大学伯克利分校的前统计学家Steve Selvin于1975年寄给《The American Statistician》的一封信件。

Letters to the Editor. (1975). The American Statistician, 29(1), 67–71. https://doi.org/10.1080/00031305.1975.10479121

问题的叙述大致是下面这样的，为了避免引起不必要的误会，对原文部分细节做了适当修改：

这是一个名为“让我们来做个交易”的经典电视节目，由蒙提霍尔主持。节目中设有三个分别标为 A、B 和 C 的盒子，其中只有一个盒子藏有一把汽车钥匙。主持人清楚钥匙在哪个盒子中，而参赛者不知道。游戏开始时，参赛者先选择一个盒子；接着，主持人会从剩下的两个盒子中打开一个空盒，然后询问参赛者是否愿意更换选择——选另一个未被打开过的盒子。如果参赛者最终选中的是藏有钥匙的盒子，即可赢得汽车。

让我们来分析一下这个问题。

（许多作者利用条件概率的计算分析此问题。本文接下来尝试在不引入任何数学公式的前提下，将这个问题讲清楚。）

策略一：不换选

如果参赛者选择一个盒子后，对主持人的一切行为都无动于衷，坚定不换选，那么赢得汽车的概率是多少？

答案是1/3.

原因如下：

因为初始选择是完全随机的，而在三个盒子中有且仅有一个盒子中有汽车钥匙，所以一开始选对的概率就是 1/3 .在这个策略下，主持人后续的任何动作都与最终结果无关。

策略二：换选

现在，我们来分析参赛者采取一个既定策略：在主持人打开一个空盒子后，总是将手中的盒子换成剩下的另一个盒子。

乍一看，剩下的两个盒子中，一个有车，一个没车，中奖的概率难道不是 1/2 吗？这就是问题的有趣之处！

正确的中奖概率是2/3.

原因如下：

因为有两个空盒子，无论参赛者选择三个盒子中的哪个，主持人总是可以打开一个没被参赛者选中的空盒子，我们发现：如果参赛者总是把手中的盒子换为另一个盒子，最后参赛者是否可以赢得汽车实际上取决于在一开始是否选择了空盒子。

一开始参赛者无论选择哪个空盒子，随着主持人排除另一个空盒子，参赛者总是换选到装有汽车钥匙的盒子从而赢得汽车；而唯一无法赢得汽车的情况发生在参赛者一开始就选择了汽车，那么随着主持人打开其中一个空盒子，参赛者将换选为另一个空盒子。

在三个盒子中，有两个是空盒子，只要参赛者在一开始选择这两个空盒子中的任意一个，最终都可以赢得汽车。所以参赛者赢得汽车的概率为 2/3 。

策略三：随机换选

有些观众会将上述问题与另一种游戏机制相混淆：假设在主持人打开空盒子后，参赛者被允许随机抛一枚均匀硬币来决定是否换选盒子。

在这种情况下，参赛者会获得怎样的结果？

假设这位参赛者在主持人打开其中一个空盒子之后会随机地抛一枚质地均匀的硬币，如果正面朝上，参赛者选择换选盒子，反之则保留之前选择的盒子。那么在这种情况下，结果又会是怎样的呢？比起上述第二种策略，哪种才是最优的呢？

注意到，最终的两种结果分别对应以下这两种情况：

• 第一次选中藏有钥匙的盒子且不换选或第一次选中空盒子且换选

• 第一次选中藏有钥匙的盒子且换选或第一次选中空盒子且不换选

在上述这两种情况中，由于换选与不换选的概率各占 50% ，这两种情形对应的概率是相等的。所以，参赛者赢得汽车的概率是1/2。

最优策略对比

通过对比可知：

策略

换选

随机换选

不换选

中奖概率

2/3

1/2

1/3

结论：参赛者应该在主持人打开一个盒子后总是换选另一个盒子。这是最优策略，能将中奖概率从1/3 大幅提高到 2/3 .

这个问题之所以让初学概率论的读者感到困惑，是因为我们容易产生一个错觉：主持人打开一个空盒子之后，在剩下的两个未开盒子中，任选其一，中奖概率总应该是 1/2 .

然而，换选动作并非无关紧要。关键在于，主持人并非随机打开一个盒子。主持人知道汽车钥匙在哪个盒子中，且总是排除了一个空盒子。这个动作改变了初始的概率分布，它将参赛者最初没选中的那 2/3 的概率全部“转移”给了剩下的那个盒子。因此，参赛者选择换选，就是主动利用了主持人提供的关键信息，而不同的决策策略（不换选、换选、随机换选）自然会带来不同的中奖概率。

来源：数学大院

编辑：晨曙

转载内容仅代表作者观点

不代表中科院物理所立场

如需转载请联系原公众号