何新数学史札记（3）：微积分的近代发明与传播

何新1980年代数学史读书札记（3）

微积分在欧洲的学术应用经历了一个从萌芽、创立、争议到成熟的过程，大致可以分为以下几个阶段：

一、萌芽阶段（17世纪初）

• 开普勒（1609, 1619）：在《新天文学》和《宇宙和谐论》中使用几何方法研究行星运动，提出了行星运动三定律，为微积分提供了物理背景。

• 伽利略（1638）：在《关于两门新科学的对话》中研究自由落体和抛射体运动，使用了极限思想。

• 费马（1629, 1637）：提出了求极值的方法，本质上等价于求导数为零的点，被认为是微积分的重要前驱。

二、创立阶段（17世纪中后期）

• 牛顿（1665–1666）：在剑桥大学期间发展出“流数法”，用于描述连续变化的量。

• 莱布尼茨（1673–1684）：独立发展出微积分，并引入了更便于计算的符号体系。

• 1684年：莱布尼茨发表第一篇系统介绍微积分的论文，标志着微积分的正式诞生。

• 1687年：牛顿在《自然哲学的数学原理》中使用流数法推导万有引力定律，展示了微积分在物理学中的巨大威力。

三、争议（17世纪末–18世纪初）

• 优先权之争（1699–1716）：牛顿和莱布尼茨的支持者之间爆发激烈争论，影响了微积分在欧洲的传播。
• 基础概念的哲学争论（1734）：贝克莱主教的微积分基础概念合理性质疑

——引爆第二次数学基础概念危机。

四、应用工具

• 伯努利家族：雅各布·伯努利和约翰·伯努利积极推广莱布尼茨的微积分，使其在欧洲大陆迅速传播。

• 洛必达法则（1696）：约翰·伯努利提出，由洛必达整理出版，是微积分早期普及化的重要成果。

五、成熟与广泛应用阶段（18世纪）

• 欧拉（1707–1783）：被称为“分析学的化身”，将微积分应用于几乎所有数学和物理领域，包括：

◦ 无穷级数

◦ 变分法

◦ 流体力学

◦ 天体力学

• 拉格朗日（1736–1813）：在《分析力学》中系统使用微积分，将力学建立在分析基础上。

• 拉普拉斯（1749–1827）：在《天体力学》中广泛使用微积分，推动了经典力学的发展。

六、严格化阶段（19世纪）

• 柯西（1789–1857）：引入极限的严格定义，为微积分奠定了坚实的逻辑基础。

• 魏尔斯特拉斯（1815–1897）：进一步完善了极限理论，提出了“ε-δ”定义，使微积分完全严格化。

• 黎曼（1826–1866）：提出黎曼积分，扩展了积分的概念。

结论

微积分在欧洲的应用经历了以下时间线：

• 17世纪初：萌芽

• 17世纪中后期：创立

• 18世纪：成熟并广泛应用于科学和工程

• 19世纪：严格化并成为现代数学的基础

作为微积分哲学基础的极限动态趋零悖论，虽然有各种合理化解释，但是始终没有结局，目前仍然没有解决。

【附录】微积分发明与李善兰无关

李善兰（1811–1882）是晚清中国最重要的数学家，他的贡献主要是将西方近代数学引入中国。

• 1859年：李善兰与英国传教士伟烈亚力合作翻译《代微积拾级》，这是中国第一部系统介绍微积分的著作，标志着微积分正式传入中国。

• 1860–1882年：李善兰在江南制造局翻译馆继续翻译西方数学和天文学著作，为中国近代科学的启蒙做出重要贡献。

• 李善兰的原创贡献：在组合数学领域提出“李善兰恒等式”，在数论和级数方面也有研究成果，是中国近代新数学的奠基者之一。