弦理论激发了一个精彩且令人费解的新数学证明（同调镜像对称）——量子杂志

★置顶zzllrr小乐公众号（主页右上角）数学科普不迷路！

多年前，一位胆大的菲尔兹奖得主（马克西姆·孔采维奇）提出了一个全面的计划——同调镜像对称，他声称可以用来解决代数几何中的一个重大问题。其他数学家也持怀疑态度。现在，他说已得到一个证明。

图源：Kristina Armitage / Quanta Magazine

作者：Joseph Howlett（量子杂志特约撰稿人）2025-12-12

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2025-12-14

今年八月，一个数学家团队发表了一篇论文，声称用完全陌生的技术解决了代数几何中的一个重大问题。它立刻吸引了整个领域，激发了一些数学家的兴奋，也激发了另一些人的怀疑。

结果涉及多项式方程，即含有变量幂次的加法组合（如 y = x 或 x² − 3xy = z²）。这些方程是数学中最简单且最普遍的，如今在许多不同研究领域中都是基础。因此，数学家希望研究它们的解，这些解可以用几何形状表示，比如曲线、曲面和称为流形（manifold）https://www.quantamagazine.org/what-is-a-manifold-20251103/ 的高维对象。

数学家想要驯服的多项式方程类型有无数种。但它们都归入两大类——可以通过简单公式计算解的方程，以及结构更丰富、更复杂的方程。第二类是数学精华所在：数学家希望集中注意力以取得重大进展。

但数学家们在将几种多项式分类到“简单”和“困难”两类后，陷入了困境。在过去半个世纪里，即使是看起来相对简单的多项式也难以分类。

然后今年夏天，新的证明出现了 https://arxiv.org/abs/2508.05105 。它声称结束了僵局，提出了一个令人着迷的愿景，阐明如何分类许多其他类型多项式，这些多项式此前似乎完全无法实现分类。

问题是，代数几何界没有人真正理解它。至少，现在还没有。证明依赖于从弦理论世界引入的思想。其技术对致力于多项式分类的数学家来说完全陌生。

一些研究者信任论文作者之一、菲尔兹奖得主马克西姆·孔采维奇（Maxim Kontsevich，又译马克西姆·康采维奇）的声誉。但孔采维奇也惯常喜好大胆宣称，让别人犹豫。世界各地的数学系都成立了阅读小组，解读这一开创性的成果，缓解紧张气氛。

这项评审可能需要数年时间。但这也为一个曾经停滞的研究领域重新燃起了希望。这也标志着孔采维奇数十年来倡导的更广泛数学项目的早期胜利——他希望该项目能搭建代数、几何与物理之间的桥梁。

米兰大学数学家保罗·斯特拉里（Paolo Stellari，他未参与该工作）表示：“普遍的看法是，我们可能正在研究未来的数学作品。”

有理化处理

分类所有多项式的努力涉及最古老的数学形式：求解方程。例如，要求解简单多项式 y = 2x，只需找到满足该方程的 x 和 y 的值。该方程有无限多解，例如 x = 1，y = 2。当你在坐标平面上绘制所有解时，会得到一条直线。

其他多项式更难直接求解，其解会剔除空间中更复杂、更高维的形状。

但对于其中一些方程，事实证明，找到所有可能的解都有非常简单的方法。你不必分别给每个变量代入不同的数字，而是通过用新变量 t 来重写变量，一次性得到所有解。

考虑多项式 x² + y² = 1，它定义了一个圆。现在设 x 等于 2t/(1 + t²)，y 等于(1 − t²)/(1 + t²)。当你把这些新公式代入原来的方程时，得到 1 = 1，这个命题无论 t 是多少，都始终成立。这意味着选择任意实数值，你就能立即得到原始多项式的解。例如，当你将 t 设为 1 时，得到 x = 2×1/(1 + 1²） = 1，y = 0。 确实，x = 1， y = 0 是原始方程的解：1² + 0² = 1。

这种简单地框住所有解的方法称为有理参数化（rational parameterization）。这相当于将你原始多项式图上的每个点——在这里是圆——映射到直线上的唯一一点。

选择圆圈上的一个点（蓝色）。你要把它映射到直线黄线上的唯一一点。为此，在圆顶的绿色点和你选定的蓝色点之间画一条虚线。然后将蓝色点映射到虚线经过的黄色点。你可以对圆上的任意一点这样做。（圆顶的绿色点映射到无穷远处的一个特殊黄色点。）

图源：Mark Belan / 量子杂志

任何次数为1的多项式方程——各项幂次最多为1——都可以这样参数化。方程有多少变量其实无关紧要：它可能有两个变量，也可能有200个。一旦超过两个变量，你的多项式方程解将形成复杂的高维形状。但由于多项式仍然可以参数化，所以有办法将高维形状中的每个点映射到一个维数相同且特别简单的空间点（比如直线）。这反过来又为你提供了一种直接计算多项式解的方法。

类似地，任何次数为2的多项式（各项幂次最高为2）都可以有理参数化。

但如果方程的次数是3或更多，则不一定能被参数化。这取决于方程中有多少变量。

以典型的三次多项式为例：椭圆曲线，例如y²=x³+1，只有两个变量。“椭圆曲线很美妙，很精彩，但你根本无法参数化它们，”布朗大学的布伦丹·哈塞特（Brendan Hassett）说。没有简单的公式能给出椭圆曲线的所有解，所以无法将曲线映射到直线。“如果可以的话，它们就没那么有趣了，”哈塞特说。

与之前的例子不同，虚线有时会将椭圆曲线上的两个不同点（蓝色）映射到下面黄色线上的同一点。你找不到能避免这种情况的映射，这意味着椭圆曲线的解比圆或球面更复杂。

取而代之的是，椭圆曲线的解拥有更丰富的结构——这个结构在数论中起了数百年的重要作用，密码学家也利用它来编码秘密消息。

那么，带有更多变量的三次方程呢？它们是可参数化的吗，还是说它们的解结构更有趣，就像椭圆曲线那样？

1866年，德国数学家阿尔弗雷德·克莱布施（Alfred Clebsch）证明了三变量的三次方程——其解形成二维曲面——通常是可参数化的。

一个多世纪后，赫伯特·克莱门斯（Herbert Clemens）和菲利普·格里菲斯（Phillip Griffiths）发表了一项里程碑式的证明，证明大多数四变量的三次方程情况相反——通常无法参数化。这些方程构成了所谓的三维流形（3-folds）https://www.jstor.org/stable/1970801 ：它们的解无法映射到简单的三维空间。

许多数学家怀疑下一个要分类的多项式——五变量的三次方程（形成所谓四维流形4-folds）——通常也不会是可参数化的。事实上，他们认为多项式在某个点之后就不应该是可参数化的。但克莱门斯和格里菲斯的技术并不适合4-流形。

因此，几十年来，分类工作陷入沉寂。

皈依先知

2019年夏天，在莫斯科的一次会议上，数学家们对马克西姆·孔采维奇发表关于4-流形分类的演讲感到惊讶。

首先，孔采维奇以采用高层次数学方法著称，喜欢提出雄心勃勃的猜想和广阔的计划，常常将更细微的细节和形式化的证明写作留给他人。他形容自己介于先知和白日梦者之间。

马克西姆·孔采维奇更喜欢思考宏观的数学视野而非个别问题，他认为自己介于白日梦者和先知之间。

图源：IHES / Flann Mérer

在过去三十年里，他专注于开发一种名为同调镜像对称（homological mirror symmetry）的计划，该理论源自弦理论。在1980年代，弦理论学者希望通过计算高维流形上的曲线数量，以解答宇宙基本构件可能表现行为的问题。

为了针对给定流形上的曲线计数，他们考虑了其“镜像”——另一个流形，虽然与原始流形非常不同，但具有相关性质。特别是，他们发现与镜像相关联的代数对象，称为霍奇结构（Hodge structure），可以揭示原始流形上的曲线数量。反过来也成立：如果你数镜像上的曲线，你会得到原始流形霍奇结构的信息。

1994年，孔采维奇设计了一个计划，解释这种对应的根本原因。他的计划还预测，这种对应关系扩展到所有与弦理论相关的流形。

目前，没有人知道如何证明孔采维奇的镜像对称性计划。“这将是下世纪的数学，”他说。但多年来，他已部分取得证明进展——同时也探讨了该项目可能带来的后果。

2002年，孔采维奇的一个朋友，迈阿密大学的卢德米尔·卡察尔科夫（Ludmil Katzarkov）提出了一个假设：该计划可能与多项式方程的分类相关。

卡察尔科夫熟悉克莱门斯和格里菲斯1972年证明3-流形不可参数化的论文。在这项工作中，两人直接研究了一个给定的3-流形的霍奇结构。然后他们用它证明了这个3-流形无法映射到简单的三维空间。但与4-流形相关的霍奇结构过于复杂，无法用相同的工具进行分析。

卡察尔科夫的想法是通过间接访问4-流形的霍奇结构——通过计算某一类型曲线在其镜像上存在多少条曲线。通常，研究4-流形霍奇结构的数学家不会像这样思考曲线计数：它们只会出现在看似无关的数学领域，比如弦理论。但如果镜像对称性计划成立，那么镜像上的曲线数量应当照亮原始4-流形霍奇结构的特征。

卢德米尔·卡察尔科夫几十年来一直主张，镜像对称这一受物理学启发的雄心勃勃的数学计划，掌握着解决代数几何中一个重大未解问题的关键。

图源：Natalia Leal

特别是，卡察尔科夫希望将镜像的曲线计数拆解成多个部分，然后利用镜像对称计划证明存在相应的方法来拆散4-流形的霍奇结构。他随后可以用霍奇结构的这些部分，而非整个结构，证明4-流形结构无法参数化。如果任何一块都无法映射到简单的四维空间，他就会得到证明。

但这种推理依赖于孔采维奇镜像对称计划在4-流形成立的假设。卡察尔科夫说：“很明显这应该是真的，但我没有技术能力去看怎么做。”

不过他认识一个确实有这种能力的人：孔采维奇本人。

然而他的朋友并不感兴趣。

挖掘

多年来，卡察尔科夫试图说服孔采维奇将他的镜像对称性研究应用于多项式分类——但未能成功。孔采维奇想关注整个项目，而不是这个问题。随后在 2018年，这对组合与宾夕法尼亚大学的托尼·潘德夫（Tony Pantev）一起，研究了另一个问题，涉及将霍奇结构和曲线计数拆解成多个部分。这让孔采维奇愿意听卡察尔科夫的意见。

卡察尔科夫再次向他讲述了自己的想法。孔采维奇立刻发现了卡察尔科夫长期寻求却未找到的另一条道路：一种从镜像对称中汲取灵感的方法，而不必真正依赖它。“你花了多年时间思考这件事，你看见它在几秒钟内发生，”卡察尔科夫说。“那真是个壮观的时刻。”

托尼·潘德夫通过将流形置于数学镜子前研究结构。

图源：Felice Macera

孔采维奇认为，应该可以用4-流形自身的曲线计数——而不是其镜像的计数——来拆解霍奇结构。他们只需要想办法把两者联系起来，才能找到他们需要的拼图。这样他们就能分别关注霍奇结构的每一部分（或他们所谓的“原子”）。

这是孔采维奇在2019年莫斯科会议上为听众提出的计划。对一些数学家来说，这听起来仿佛严谨的证明就在眼前。数学家是一群保守派，通常等待绝对确定性后才提出新观点。但孔采维奇一直更大胆一些。“他对自己的观点非常开放，非常前瞻，”马萨诸塞大学波士顿分校的数学家丹尼尔·波梅雷亚诺（ Daniel Pomerleano）说，他研究镜像对称性。

孔采维奇警告说，有一个重要因素他们至今仍不知道如何解决：一个公式，用来说明当数学家们试图将4-流形映射到新空间时，每个原子将如何变化。只有有了这样的公式，他们才能证明某个原子永远不会达到对应于一个恰当“简化”的4-流形。这意味着4-流形不可参数化，其解丰富且复杂。“但人们不知怎么的感觉是他说已经完成了，”波梅雷亚诺说，他们期待很快有一个证明。

当这一目标未能实现时，一些数学家开始怀疑他是否真的有解决方案。与此同时，当时在法国国家科学研究中心的余越（Tony Yue Yu）加入了团队。孔采维奇说，余越的新见解和严谨的证明风格对该项目至关重要。

新冠疫情期间封锁开始时，余越曾拜访了法国附近高等科学研究所的孔采维奇。余越回忆道，他们享受着荒废学院的宁静，常常在讲堂里待上几个小时，那里的黑板更多。

他们定期通过Zoom与潘德夫和卡察尔科夫会面，迅速完成了证明的第一部分，精确地弄明白如何利用给定4-流形上的曲线数量将其霍奇结构分解为原子。但他们很难找到一个公式来描述原子如何变换。

他们不知道的是，一位曾在莫斯科听过孔采维奇讲座的数学家——京都大学的入谷宽（Hiroshi Iritani）——也开始追求这样的公式。“他被我的猜测深深吸引，”孔采维奇说。“我不知道，但他开始着手了。”

2023年7月，入谷宽证明了原子在4-流形映射到新空间时的变化 https://arxiv.org/abs/2307.13555 。虽然没有提供孔采维奇和同事们所需的足够信息，但在接下来的两年里，他们找到了如何完善这些信息的方法。他们随后用新公式证明，4-流形总会至少有一个原子无法变换到简单的四维空间。4-流形无法参数化。

仍在处理中

余越对细节的细致关注和新颖见解，是解决多项式方程重要问题的关键，他的同事们说。

图源：Julia

当团队在八月发布证明时，许多数学家都感到兴奋。这是分类项目数十年来最大的进展，也暗示了一种超越4-流形的多项式方程分类的新方法。

但其他数学家并不那么确定。自莫斯科那场讲座已经过去六年。孔采维奇终于兑现了承诺，还是有细节需要补充？

当证明的技术如此陌生——是弦理论的领域，而非多项式分类时，他们又如何能消除疑虑？“他们说，'这是黑科技，这是什么机器？'”孔采维奇说。

“他们突然带来了全新的方法，使用了之前被广泛认为与该主题无关的工具，”麻省理工学院的白少云说，“那些懂问题的人不懂这些工具。”

白少云是目前几位试图弥合这一理解鸿沟的数学家之一。过去几个月，他共同组织了一场由研究生、博士后研究员和教授组成的“阅读研讨会”，希望能理解这篇新论文。每周，一位不同的数学家会深入探讨证明的某个方面，并向小组其他成员展示。

但即使到了现在，经过11次90分钟的会议，参与者在证明的关键细节上仍然感到迷茫。白少云说：“这篇论文包含了精彩的原创思想，”需要大量时间来消化。”

类似的阅读小组也在巴黎、北京、韩国等地聚集。“全世界的人们现在都在研究同一篇论文，”斯特拉里说。“那是特别的东西。”

哈塞特将其比作格里高利·佩雷尔曼（Grigori Perelman）2003年对庞加莱猜想的证明，后者同样采用了全新的技术来解决一个著名问题。直到其他数学家用更传统的工具复现佩雷尔曼的证明后，数学界才真正接受了它。

“会有阻力，”卡察尔科夫说，“但我们做了工作，我相信这是正确的。”他和孔采维奇也认为这是镜像对称性计划的一大胜利：虽然他们还没更接近证明这一点，但结果提供了更进一步的证据。

“我年纪大了，也很累，”卡察尔科夫说。“但只要我还活着，我就愿意发展这个理论。”

参考资料

https://www.quantamagazine.org/string-theory-inspires-a-brilliant-baffling-new-math-proof-20251212/

https://www.quantamagazine.org/what-is-a-manifold-20251103/

https://arxiv.org/abs/2508.05105

https://www.jstor.org/stable/1970801

https://arxiv.org/abs/2307.13555

小乐数学科普近期文章

·开放 · 友好 · 多元 · 普适 · 守拙·

让数学

更加

易学易练

易教易研

易赏易玩

易见易得

易传易及

欢迎评论、点赞、在看、在听

收藏、分享、转载、投稿

查看原始文章出处

点击zzllrr小乐

公众号主页

右上角

置顶加星★

数学科普不迷路！