033.N+1空间中的素数空穴与素数无限性的一个新视角

《用初等方法研究数论文选集》连载 033

033.N+1空间中的素数空穴与素数无限性的一个新视角

摘要

本文在Ltg-空间理论的初始空间（称N+1空间）中，引入“合数项数列”对项数坐标的周期性覆盖模型，提出“素数空穴”概念。通过分析奇偶周期差异，得到素数无限的简洁推导，并对孪生素数对的无穷多性给出启发式说明。

1、空间结构与基本定义

设N+1空间的项数（项位）坐标为：

N = 0,1,2,3…

对应正整数数值：

an =N+1

我们关心的是如何在项数N的分布上识别素数。

2、 合数项数列与覆盖规则

对每个素数p，定义一个合数项数列（在N空间）：

Cp = ｛N ｜N ≡ np (mod p) ｝，np ∈｛0,1,2…p-1｝

其中np的选择原则是：让p自身对应的位置被覆盖，即若an = p, 则N∈Cp。

由于an = N+1 = p＝＞ N = p - 1

故取np = p -1

于是Cp = ｛p-1,2p- 1,3p-1……｝

注意：N∈Cp时，对用的an = N+1 是p的倍数（当N>p-1）或是p本身（N=p-1）.

因此Cp包含了p及其所有倍数在N空间中的位置。

3、 素数空穴的产生

从最小的素数 p = 2开始：

C2 = ｛1,2,5,7,……｝(即所有奇数项N)。

这些位置被标记为“与2有关的合数项” 。

剩余未被标记的位置是：

H2= ｛0,2,4,6,8……｝（所有偶数N）.

称H2 为初始素数空穴集合。

观察H2 中的数值：

N = 0 →a0 =1 (非素数)

N = 2 →a2 =3 (素数)

N = 4 →a4 =5 (素数)

N = 6 →a6 =7 (素数)

在H2中出现新的素数（如3,5,7……）.

4、新素数引入新规则

在H2中取最小素数对应的N值（除去1），即 a2 =3 对应N = 2 ,素数是P=3

建立p = 3的合数项数列：

C3 = ｛2,5,8,11……｝( N ≡2(mod 3) )。

此规则会覆盖H2中的一部分偶数N (例如N=2,8,14…与N =5,11,17…中属于偶数的那些)。

关键观察：

C3是周期3的等差数列。在偶数集合H2中，它只覆盖模6余2的偶数项，2,8,14……。

因此C3只能覆盖H2的1/3部分（渐进密度）。

同理，下面的剩余空穴中出现的新素数p=5,7,11……会建立5、7、11……的规则。

这里可以比较两个“合数项数列”2K+n和PK+n，前一个合数项等差数列的周期是2，而后面的是由素数p形成的“合数项等差数列”，周期都是奇数。

5、素数无限的推导

设已使用的素数集合为｛2.3.5……Pm｝，对应的合数项数列为CP1……CPM 。

即E = H2 (偶数N集合)，初始密度为d (E) = 1/2 。

每个奇素数p的规则 Cp 在E中是一个等差数列。其密度为1/p 。

这些规则在E中可能有重叠，但无论如何，有限个奇素数规则在E中的总覆盖密度：

因此，E中始终有比例至少为1/2-p > 0的项未被任何Cp覆盖。

未被覆盖的N ∈ E 对应的数值 an = N+1 不被任何使用的素数整除，且大于1，所以是新的素数。

由于E是无限集，未覆盖部分也是无限的，故新素数无线出现→素数无限多。

6、孪生素数对的启发

两个偶数N和N+2都未被任何Cp覆盖时，对应的数值an与an+2 相差2，即构成孪生素数对。

对每个奇素数p，规则Cp 在E中是周期p的等差数列。会“禁止”某些N与N+2同时为空穴。

禁止一对（N,N+2）的概率约为2/p （因等差数列可能同时覆盖N与N+2或单独覆盖一个）。

有限个p的禁止概率总和小于1，由概率启发式，应存在无穷多对未被禁止的相邻偶数N→孪生素数对无限多。

同理可以推广到间距为4、6、8、10……的孪生素数对无穷多。

7、与经典筛法的对比

经典筛法在数值an上直接筛去p的倍数，而本文在项数N上用等差数列（横p的单个剩余类）覆盖，并利用：

1）第一条规则（p=2）已将奇数N全部覆盖，只留偶数N作为候选奇数“素数空穴”。

2）所有后续奇数数的周期（奇数）与偶数集合的周期（2）不同，导致不可能覆盖全部偶数N。

这个“奇数周期不可完全覆盖”是素数无限的直观原因，也是孪生素数对可能无穷的机制。

8、总结

N+1空间中的“素数空穴”模型，将素数分布问题转化为不同周期的等差数列在

偶数数列上的覆盖问题。

通过奇偶周期的互斥性，可直接得到素数无限的结论，并自然引出孪生素数无穷的猜想。

这为理解素数分布提供了一个新的几何化视角，并未后续研究Ltg-空间理论中的2N+A空间、3N+A空间、4N+A空间…6N+A空间… 奠定了基础。

附图一

附图二

阅读提示说明：

1） 本文研究理论必须结合附图一N+1空间的表格，注意项数N的重大价值；

2） 本文必须区分项数N与正整数值an的区别，不要混淆；

3） 本文虽然直观证明了素数有无穷多，但是对于孪生素数提出了可能无穷多，但是没有证明。算是前进了一大步，只要找出关键点，孪生素数就被证明了读者可以进一步思考。

4） 因为选定空间N+1后，每一个正整数包括素数都有了自己相对应的项数N，此时的等差数列可以转换成函数关系。在“素数空穴”相邻的位置上可以选两条直线方程，这两个方程没有强制性关联，一个位置上出现素数p，p+2后到了另一个直线方程上，这个位置是可以出现素数的（仅仅是探讨）。

本文与腾讯元宝合作完成，表示感谢！

李铁钢

2025年12月14日星期日 于保定市