《用初等方法研究数论文选集》连载 029 奇数偶数的数学表示式

《用初等方法研究数论文选集》连载 029

029. 奇数偶数的数学表示式

人类在天地间的地位与动物不同，文明的进程源于智慧的启迪，而智慧将引领我们迈向更高级的文明阶段。作为人类，我们应承担起社会责任，至少应具备基本的道德良知。目前，网络上充斥着关于奇数和偶数的错误定义以及错误的数学表达式，这些错误的数学概念不仅影响了中小学生，还可能扭曲他们对基础数学的理解，甚至对他们的未来产生长远的负面影响。因此，我们必须认真对待这一问题，防止错误观念的传播，避免误导下一代。

这种错误的表示定义和数学表示方式就是：

“奇数指不能被2整除的整数，如1、2、3……，数学表达式为2K+1(K为整数）。偶数表示成2K。”

见下图，

显然这个说法是严重错的。

比如，奇数不但可以用等差数列2K+1表示，而数列4K+1、4K+3，6K+1、6K+3、6K+5，等等无限多的等差数列都可以表示奇数。

又比如，奇数19不但可以表示成 2K+1=2X9+1=19，还有 3K+1=3X6+1=19， 4K+3=4X4+3=19， 5K+4=5X3+4=19， 6K+1=6X3+1=19， 7K+5=7X2+5=19， 8K+3=8X2+3=19， 9K+1=9X2+1=19……

可以这样讲任何一个奇数可以用无穷多的等差数列形式来表示。

因此，上述关于奇数和偶数的定义及其表示方式，实际上违背了逻辑学中的“同一律”。这种表示方法是混乱的，毫无意义，并且是严重错误的，它可能导致数学思维的混乱。

为什么会发生这种严重的错误？

一是错误的数学思维方式问题，二是哲学和逻辑问题。

在一些人的大脑中没有在看问题时，站在不同的角度去观察。也就是没有到自然数的外面去看问题，仅仅是在自然数的内部研究问题。这也就是我过去的文章里一再强调的看问题的内、外之分。

他们是这样思考的：既然自然数可以分成奇数和偶数，那么偶数就用2N表示，而奇数就是不能被2整除的数，可以用2N+1来表示。

这就好比在房间内研究楼房结构，而未从外部观察整个楼房。然而，逻辑思维能揭示问题所在。用2K+1和2K来表示奇数和偶数，并非唯一方式，这种做法可能会引起混淆。

这个问题已经引起了世界顶尖数学家数千年甚至数百年的关注。因此，他们并未采用等差数列来表示奇数和偶数，否则诸如“哥德巴赫猜想”等数论中的古老难题将不复存在，也不会留给我们今天来研究。试想，如果等差数列真的能用来表示奇数和偶数，难道那些世界级的数学家们会不明白吗？我们是否真的比他们更聪明？

如何正确的理解正整数和用等差数列来表示正整数？我们先看下面的图形，

在这个表格中，每一横向数列组，都可以表示全部正整数。看到这个图形你们就能理解了吧？他们是在“2K+1”这个房间里研究奇数、偶数，而是没有到自然数的外面看到自然数的金字塔结构。

奇数、偶数正确的表示方法应该这样表述：在正整数2N+A空间里，用两个等差数列2N+1和2N+2一组表示全部正整数，此时奇数可以用等差数列2K+1表示，偶数用2K+2表示，其中K的取值范围是0、1、2、3……。

见下图，

加上这个前提条件后，像4K+1和4K+3等等其它含奇数的等差数列就不会出现在这个体系里了。这就消除了矛盾，让每一个奇数、偶数都会有唯一的一个项数N来固定。2K+1和2K 就成了唯一的表示方式，而3K、4K、5K等等的等差数列就不会出现同一个空间体系里。

同时注意等差数列有三种形式奇数数列、偶数数列和奇偶数数列。更多的“数论新出等理论”请参阅我有关的文章。

其实全部正整数就是一个数列，也可以看成 N+1 空间，见下图

毕达哥拉斯的推导过程实际上并不存在任何矛盾之处，因为他是在一个更高维度的空间，即N+1维的空间中进行推导的。在这样的空间当中，出现不同维度数（W维数）的情况其实并不足为奇。需要明确的是，这种情况仅仅遵循“等差数列”的规律，而不是一种函数关系。如果将其表述为代数式的话，那就是一个非常严重的错误了。这是由于在不同的W维数所对应的空间里，每一个正整数都拥有自己固定不变且独一无二的坐标。一旦改变了这个W数值，那么正整数所对应的坐标就会随之发生改变。

我们应该如何去看待和理解在N+1空间中出现了2N-1这种情况呢？这里需要明确的是，这个2N - 1仅仅与等差数列存在着关联关系，而和空间坐标并没有任何的关系。当我们想要把正整数放入到2N + A空间之中的时候，必须要采用这个特定空间里的坐标来对正整数进行表示，绝对不能够将其混淆起来。因为在不同的数学概念和体系之下，有着各自独特的规则和表示方法，只有严格遵守这些规则，才能够准确地理解和运用相关的数学概念，从而避免出现不必要的误解和混淆。所以在面对这样的情况时，我们要清晰地认识到不同数学概念之间的界限，按照正确的规则去处理相关的问题。

在探讨奇数和偶数的正确表示方式时，我们需要从更宏观的角度去审视整个数学体系。正如前文提到的“2K+1”房间内的局限性，许多错误源于对单一表达形式的过度依赖，而忽略了数学概念本身的多维度特性。如果仅用2K+1来定义奇数、用2K定义偶数，这种简单的划分方式虽然看似直观，却容易导致逻辑上的僵化与片面。

进一步来说，在N+1维空间中，每个正整数都拥有其独特且固定的坐标位置，这为我们提供了一种全新的视角去理解数字之间的关系。例如，在不同维度的空间里，等差数列的表现形式可能截然不同，但它们依然遵循着各自内部的规律。因此，当我们试图将这些规律应用于具体问题时，必须明确所处的数学框架，并严格遵守该框架下的规则。

此外，值得注意的是，数学中的某些经典难题之所以长期未被解决，往往是因为我们习惯于在既定的思维模式下进行推导，而未能跳出固有的认知边界。以哥德巴赫猜想为例，这一问题的核心并不仅仅在于奇数或偶数的简单分类，而是涉及更深层次的数论结构。如果我们始终局限于传统的2K+1和2K表达式，就很难触及问题的本质。

回到如何正确理解奇数与偶数的问题上，可以发现，只有通过引入更高维度的空间观念，才能真正消除现有体系中的矛盾。例如，在2N+A空间中，奇数和偶数分别由2K+1和2K+2唯一确定，这样的设定不仅避免了重复定义的可能性，还使得每一个正整数都能找到属于自己的明确归属。这种方法的优势在于，它为后续的研究奠定了坚实的基础，同时保持了数学语言的一致性和严谨性。

最后，我们必须认识到，数学作为一门高度抽象的学科，其发展离不开哲学思考与逻辑推理的支持。无论是奇数还是偶数，它们的定义和表示方法都不应仅仅停留在表面的形式化描述上，而是需要结合实际应用场景以及理论背景加以综合考量。唯有如此，才能确保我们的数学知识体系更加完善、更具普适性，从而推动人类文明向更高层次迈进。

仰望星空与大地，我们仿佛微不足道的尘埃。生命不过是转瞬即逝的火花，但我们的智慧与精神却能永恒地在宇宙中回响。终有一日，我们都将归于尘土，扪心自问，你是否是炎黄子孙？你是在推动这个民族向前发展，还是成为腐蚀这一光荣整体的毒瘤？若是后者，那么在未来的史册上，你们将只留下一个污点。

李铁钢 写于2025年5月5日

2025年12月10日星期三 再整理