【毅言堂】综合与实践课怎么上？——观2025年湖北好课堂有感

【毅言堂】综合与实践课怎么上？

观2025年湖北好课堂有感

前言：综合与实践是小学数学学习的重要领域。学生将在实际情境和真实问题中，运用数学的其他学科的知识与方法，经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，感悟数学知识之间、数学与其他学科知识之间、数学与科学技术和社会生活之间的联系，积累活动经验，感悟思想方法，形成和发展模型意识、创新意识，提高解决实际问题的能力，形成和发展核心素养。

综合与实践主要包括主题活动和项目学习等，第一、第二、第三学段主要采用主题活动式学习，第三学段可适当采用项目式学习。

目前无论是小学北师大版数学教材或人教版数学教材，对于综合与实践领域都比旧版更为重视，更强调综合性和实践性。北师大版教材中“数学好玩”，人教版教材中不同单元后面的数学活动，都从不同角度要求我们在教学中有效完成这些综合与实践。

简单对比如下表（来自deepseek整理）：

北师大版

人教版

整体风格

开放、活泼、重体验

严谨、扎实、重应用

编排逻辑

以独立的“数学好玩”板块呈现，自成体系，趣味引领。

紧密依附于各单元知识，作为知识的综合应用环节。

活动形式

低年级“主题活动”，高年级“项目学习”，梯度明显。

以“解决问题”为导向的探究活动为主，形式相对统一。

教师角色

更像引导者、组织者，需要放手让学生去探索。

更像指导者、点拨者，沿着清晰的主线推进活动。

一、好课堂展示安排

2025年11月20-21日在湖北武汉进行的小学数学“湖北好课堂”交流展示活动中，有幸学习了9节课，聆听了刘莉老师、方芳老师等专家的点评，收获颇丰，感悟犹深。

课题如下表：

节次

课题

主讲教师

年级

1

土圭之法

李静瑶

四年级

2

相反意义的量

罗偲

六年级

3

探秘南水北调

余力

六年级

4

穿越古今的测量——长方体的体积

赵燕

五年级

5

我们的校园

王珍珍

四年级

6

探秘九省通衢——武汉

廖俊辉

六年级

7

旅游中的数学——推理

王玺玥

二年级

8

掷一掷

廖涵

五年级

9

藏在纸张里的数学密码

肖洁

六年级

这9节课都非常精彩，每一位授课教师及其背后的教研团队，都付出了艰苦的努力，展现出了强大的实力，每一位孩子都展现出了出色的数学素养，对照听课记录，值得不断研究揣摩。

二、九节课学习体会

0 1

第一节《土圭之法》

在2022版新课标第46页内容要求和第134页例55《土圭之法的故事》中，我们可以详细了解课标给出的示例：

精彩之处：

显然这个选题十分讲究，新北师大版数学三年级上册安排了综合与实践《探索年月日的秘密》，对中国古代历法进行了初步探索，而本节课的选题则来自于2022版新课标中主题活动1，以及例55。

整节课逻辑非常清晰，沿是什么、怎么做、为什么的主线，以《尚书·尧典》中“期三百有六旬有六日，以闰月定四时成岁”这段话导入，一起寻找其中与时间有关的字词，并给予解读，帮助学生用数学眼光去观察古文，理解古文中的数学信息。然后让学生提出“想知道什么”的问题，并进行整理归纳；关于土圭之法的知识，需要在教材之外寻找解释，李老师用到了豆包工具，由学生现场向豆包提问，AI给出了若干文字解释，包括图片、视频等，在这些信息中，提取学生容易理解和操作的部分，一个模拟土圭之法的学具，并组织学生在小组活动中操作这些学具，完成测量和记录，并从记录中找到规律，验证四个节气的划分依据——日影长度；最后是学生总结归纳，并辅以动画演示，解释四季形成的原因。

整个课堂活动中学生参与度高，并且有效进行了数学活动，最终完成了实践活动，圆满达成教学目标。

我的思考：

导入环节，将侧重点调整为中国古代如何认识一年四季，设置如下问题串：

师：同学们，你们知道我们吃的粮食什么时候播种？什么时候收获吗？

生：春天播种、秋天收获；

师：那我们如何知道春天什么时候来，秋天什么时候来呢？

生：讨论中……

从学生讨论的各种结果中，肯定所有人的探索过程，找到适合本课的方法——太阳影子长度的变化。

理由是，中国古代的农业主要看天，天上有两个最为明显的参照物，太阳和月亮，这也是所有文明古代的历法中，都离不开太阳和月亮的原因，显然白天是人类活动最密集的时间段，看太阳最为方便，所以研究它的影子，是一个重要参考。中国古代地域广阔，植被和地貌差别极大，无法形成统一的认知，而太阳很有效避免了这一问题，大家对其研究的成果可以互相交流，理解一致。

在学生讨论结果中，一定会呈现多样化，但每一种方法，自然有其限制，老师可适当评价，引导学生得到更容易的方法，这和中国古代最终确定用日影的理由是一样的。

由这个四季来源问题，再引到本课的测量工具上，更加自然，其实课标上那段《尚书》，学生读起来还是有困难的，需要老师解读其数学意义，这个环节用时也就较长了。

在研究土圭之法的时候，为什么要用到土圭之法，即为什么要测日影长，那段文字启发意义并不明显，所以可以将这部分时间调整至问题串中，将实践活动的必要性更充分体现出来。

学生可能遇到的另一个困惑，就是为什么四季中日影长会不同，李老师展示的地球、太阳模型很好地解释了这一现象，中国古代的智慧，是建立在长期、大量的观察基础上，需要学生知道用日影长来区分四季，并不是某个人灵机一动想出来的点子，而是中国古代劳动人民集体智慧的结晶，我们在课堂上重现测量，只是将漫长的智慧积累过程浓缩到了一节课。

0 2

第二节《相反意义的量》

在2022版新课标第49页、第50页分别是对应的内容要求和学业要求：

在第138页例50中，对于如何表达具有相反意义的量，给出了样例：

关于负数的初步认知，北师大版教材位于四年级上册《生活中的负数》，人教版教材位于六年级下册《负数》，与课标要求一致，由于正式引入负数进行数域的扩充，放在了七年级，因此小学阶段对于负数，主要是理解相反意义的量，从生活情景中感受数系的扩展，进一步发展数感；每一轮数系的扩展，都会经历认识数、比大小、运算、生活中的应用等若干阶段，显然对于负数，只是起了个头。

精彩之处：

罗老师在课的开始，展示了真实生活情景中出现的负数如楼层、不同方向、收入支出、上下车、气温等，这些学生熟知的事物中，出现了前面带有“-”号的数字，引发学生对“是什么”的探索，针对为什么会出现这样的数字，通过让学生用自已的方式记录，从文字说明到图形说明，最后到符号说明，解决了“-”号出现的必要性；

通过让学生说一说的方式，解读这些数字所表示的实际意义，体会“相反意义”，在这个环节中，学生表达得非常清楚，本课重点得到了体现。而数线的引入（此时称数轴并不严谨），则将正数、零、负数的位置关系更直观的展现了出来，这已经接近七年级时对负数的认识了；

当然本课亮点绝不仅止于此，在生活中的情境中发现负数，体会相反意义的量，罗老师的视野非常开阔，生活中一定经常用数学眼光去观察周边事物，例如手机相机上的角度，色彩饱和度、音效等，这些身边的案例具有明显的现代特征，学生可以立即感受到。

在课堂上，罗老师还提出了一个好问题：“海平面高度是否会发生变化？”，学生在探究这个问题的时候表现出极大的兴趣，其实我也很有兴趣知道学生是如何认知海平面上升之后，原有地标的海拔高度的变化，有一个孩子说得非常接近真相，当海平面上升后，珠穆朗玛峰的海拔高度会减少，而吐鲁番盆地的高度吞吞吐吐，似乎我听到的结果是增加；前者比较好理解，六年级的孩子可以很直观地发现，但后者则理解稍有困难，毕竟学生还没学过负数比大小，这是七年级的课程内容。

当海平面上升之后，罗老师增加了新的海平面，这个图就很有意思了：

其实有个学生发现的很值得肯定，就是最高峰和最低谷之间的距离是不变的，当海平面上升之后，珠峰的海拔高度肯定是减少了，盆地到海平面的距离肯定是增加了，但海拔高度应该是减少，而不是增加。这涉及到绝对值的意义，不展开说明。

我的思考：

关于表示正负的符号问题，我们在小学时，接触到的“+”和“-”通常是代表运算，即这个符号两端是写有数字的，现在出现只在符号右侧出现数字，左侧空空如也，这是非常别扭的，其实左侧并不是空的，我们完全可以用0代替，但出现0-2这样的运算，超出了学生的认知，所以只能理解为以零为界，大于零，0+2，省略零之后记为+2，小于零，0-2，省略零之后记为-2；

这直接导致后面有一个生活情境不好理解，那就是楼层，众所周知，现实中并不存在0楼，1楼开始，往上是2楼，往下是-1楼，也有的地方标为B1楼，这需要解释清楚，符合数学的理解是，1楼作为0，往上一层楼是2楼，记为+1，往下一层楼是-1楼（B1），记为-1，是不是和实际生活有出入？数学来源于生活，但生活中的数字是否就是字面意义，未必；

关于零，有必要多说一点，它是正数和负数的分界线，这一点课堂上说是对的，也就是说，你把谁作为分界线，谁就是零，例如在误差表示时，100克为标准质量，那么它就代表零，+5代表100+5，而-5代表100-5；这就相当于把分界线从0变成了100，于是原来的+5和-5实际上是105和95；这与课堂上海平面升高的含义是一致的，至此这个例子算是画上一个圆满的句号了。

0 3

第三节《探秘南水北调》

在2022版新课标第50页、51页《水是生命之源》内容要求和学业要求如下：

在第142页例63中，给出了相应的样例说明：

这里包含的内容远不止一个南水北调，事实上这也是建议之一，可挖掘的内容相当丰富，关键在于老师能否用数学眼光去审视，因此选材南水北调工程，这节课主要研究三个问题：路线、水量、受益。

精彩之处：

这三个问题并不是由老师抛给学生，而是在课堂上通过让学生自已说一说，想知道什么，再由老师进行提炼，学生前期的准备工作还是相当充分的，在通过各种信息渠道了解到南水北调相关常识后，课堂上的提问相对就会精准许多，体现了课前的引导非常到位，学生对为什么要进行南水北调这样的超级工程理解很深刻。

在研究第一个问题中，通过让学生在地图上用合适的测量工具来测量图上路线长，再根据比例尺计算路线的实际长度，学生多数选择了绳子和刻度尺，在第1个学生小组上台汇报的时候，第二个男生专门强调了测量时，要按住绳子，让绳子与路线完全重合，同时这一组也出现了极容易被忽略的问题，南水北调从丹江口出发，终点处有分岔，北京和天津，他们只测量了到北京的那段路线，没有测量天津，后来有个女孩补充得很好，天津也是南水北调工程中的一部分，必须加上；在各小组测量结果中，出现不一样是很正常的，学生也能理解。圆满完成了怎样测量

在研究第二个问题时，700亿立方米的水，学生不容易感受到，所以选择让学生用身边熟知的事物，这个班的孩子都是武汉的，所以第一个男生说用东湖(还有其它组用汤逊湖)，很贴切，第二个女生说用长江，第三个男生说用西湖，其实这个地方只要是能够直观感受到水量的巨大就可以。这个问题是借助豆包AI来完成的，结果通过弹幕分享到大屏幕上，学生兴趣比较高。

第三个问题则是实实在在需要学生阅读并计算，类似于应用题，从现场学生表现来看，速度很快、准确度很高。

像这种给材料分析的活动，一方面培养了学生从文字信息中读取数学信息的能力，另一方面也帮助学生运用已学过的数学知识去解决问题，素养导向明确。

关于调水分配方案的设计，非常妙，一方面是扇形统计图的运用，另一方面是让学生参与决策，依靠数据进行决策。

我的思考：

当学生在用细绳将地图上的路线“化曲为直”的过程中，主要是体验这种转化的数学思想，但在实际操作中，印在纸上的路线更多是用刻度尺一段段量出来，这其实也没问题，从数学意义上讲，曲线分割下去，可近似认为由很多小线段构成，部分小组的学生用刻度尺一小段一小段地测量，精度和用绳子拉直后测量，相差并不大。

学生在调水分配方案中有各自不同的想法，是很正常的，只要合理，都值得肯定，事实上南水北调有益之处并非只有对北方的民生、农业、生态等有影响，对于南方也有益，多余的水被北调了，那么发生洪涝灾害的可能会减少一点，同时运河的存在，也让南北交通更便利，对双方都有益。

0 4

第四节《穿越古今的测量——长方体的体积》

人教版小学数学五年级下册教材中，有专门的讨论活动，怎样计算长方体的体积？

长方体的体积计算公式是长×宽×高，如何让学生在探究活动中理解这一公式的来源，用学生能理解的方式推导出这个公式，是本节课的重要任务。学生在前面的课时中已经学习了什么是体积，以及体积单位，按认知规律，将用前面学过的体积单位来“测量”长方体的体积，知道一个长方体的体积由多少个体积单位组成，如何组成，对于真正理解公式的几何意义有极大帮助。

精彩之处：

这节课的导入环节就十分吸引人，粟米层积法。

在中国古代数学著作《九章算术》“商功”章中，记载了一种计算长方体粮仓容积的方法，其原理是：利用标准容器“斗”或“斛”为基本单位，将一定单位数量的粟米运入粮仓平铺，记录下这一层粟米的厚度，再通过观察粮仓中粟米的高度有多少层，从而计算出这个粮仓的容积。

这是非常奇妙的体积计算方法，成功将体积计算变成了高度测量，这种层积法再往后发展，便是大名鼎鼎的祖暅原理“幂势既同，则积不容异”，意思是截面面积相等的立体体积相同，通过分层（切片）解决不规则立体体积的问题。

赵老师通过一段AI视频解读了这一古代求长方体体积的方法，并将视频中的透明长方体盒子也拿到了现场，完成了从虚拟到真实的转场。然而这节课并不是要重复这个方法，而是基于该法的升级，用单位体积来表示长方体体积，因此这一段转进是赵老师示范讲解的，通过讲解，也介绍了即将登场的各种道具，为后面的活动进行了很好的铺垫。

通过这个转场，从导入情境中的古代问题，变成了现实课堂中的小立方块和长方体箱子的问题，十分精彩，十分顺滑。

方法也提炼了出来，求一个物体的体积，就是求这个物体包含多少个体积单位。

第一组学生很快摆满了这个箱子，随后赵老师提出了一个好问题“不摆满箱子也能算出体积吗？”这个问题其实也是来源于古代的实际问题，哪有那么多标准容器？这就把如何用单位体积去测量长方体体积的方法的必要性展现了出来。

四个学生回应了猜想，分别有三种：7个，一半（12个），5个；然后各小组抽签决定用多少个小立方体去摆满箱子，签上的数字分别是1，7，13，即分别用1个，7个，13个小立方体去测量长方体箱子的体积。这个活动是本节课的重点部分，让学生动手操作，去实际感受体积单位如何“凑”成一个长方体。

在展示环节，学生表达非常清晰，每一层的数量乘以层数，就是总数，而每一层的数量是长乘以宽的结果，这几乎就是体积计算公式了。

学生展示用7个立方体表示长方体的体积，也就是表示出了长方体的三条棱，如下图：

于是接下来用1个立方体也能摆，只不过需要移动一下，设计用1个立方体摆的目的是帮助学生理解体积单位概念，然后顺理成章将测量工具进化成刻度尺，如下图：

当我们将长×宽换成底面积，则得到了长方体的另一个体积计算公式，底面积×高，整节课思路非常清晰，板书漂亮，如下图：

我的思考：

在第一个活动中，学生用多少个小立方体可以测量长方体箱子的体积，不妨再放开一点，在前面四个学生回答的基础上，让学生任意选取需要用到的小立方体，时间再给多一点，充分体验“最简”，后面有学生解读如何用5个小立方体来测量，其实和用1个的思路是一样的，虽然这节课设计的时候给出了1，7，13这三种情况是学生最容易想到的，但没有必要限制数量。

从数小立方体个数到用刻度尺测量长、宽、高，这中间存在一个过渡，赵老师已经处理得很好，不再赘述，这里只是就长方体体积公式拓展一下：在学生前半节课已经熟练掌握用小立方体测量长方体体积后，他们已经知道了用体积单位来测量体积，在学生回答还可以用刻度尺测量之后，这个性质就完全变了，我们知道刻度尺测量出来的是长度，而不是刚才学生们数的立方体个数，长度×长度结果是面积，而个数×个数得到的是总数，因此这节课的理解难点就在这里，从数学意义上理解，当每个小立方体的棱长缩小成刻度尺上的一个长度单位之后，最底层的小立方体会变得很“薄”，近似于平面，而多个平面叠加起来，就是我们的长方体，小学生并没有接触过无穷小概念，所以这个学段，我们只能是感受。

为什么在学习了长×宽×高之后，还要再推导出底面积×高？恐怕这是学生很容易产生的疑惑，这其实涉及到长方体的分类，它属于柱体，只要每个截面面积相同，那么这一类柱体都可以用其截面积乘以高，另外，对于长方体而言，底面是相对的，任意两条相邻的棱所在的平面，都可以作为底面，而帮助学生理解这一点，只需要将长方体换个摆法。

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第五节《我们的校园》

人教版小学数学三年级下册的综合与实践活动

总共有两个校园中的问题，本节课选择的是第一个问题，铺草皮。

学生在三年级已经学过了面积计算和搭配，因此在这个综合与实践活动中，主要运用这两个章节的内容来解决实际问题，对应的核心素养维度分别是数感与运算能力、量感与空间观念、应用意识和创新意识、推理意识和数据意识、模型意识。

精彩之处：

王老师很巧妙地将书本中的问题变成了现实中的问题，并创新性地将标书这一事物呈现在学生面前，让所有学生的参与感得到有效激发。

在第一个活动中，让学生自主设计两块空地铺设不同草皮，再计算所需要总费用这就涉及到如何分配的问题，每块空地铺一种草皮，现有两块地、三种草皮，将这个实际问题用数学眼光观察，就是分配（列举法），课堂上用“如何写最简单”将它数学化，分别用字母表示这三种草皮，而为更直观表示结果，将它们表格化，学生在面对表格中的数字时，所需要思考的维度是不一样的，通常情况下，算式中的数字，我们只需要考虑它进行的什么运算，表示什么实际意义，而在表格中，一个数字除了左右相邻，还有上下相邻（行与列）的关系，对学生要求较高，特别是在计算不同空地铺不同草皮时，从表格中找到相应的数字，是难点之一。

第二个活动属于开放性活动，学生可自由发挥，根据前面引导视频中的草地样式，学生不限于同一空地只用一种草皮，而是可以混搭，并且课堂上还给出了一个自动计算面积的程序，将设计过程中需要的计算自动处理，让学生专注于设计图案。实际在课堂上，学生的想法多种多样，并且很有实际意义，有些设计真的可以用于现实。

我的思考：

用表格来容纳数字对小学生来讲一直很不容易，因为表格是二维的，每个单元格分属不同的行与列，而行与列则是表格中数字的一类信息，以本课表格为例，每个数字包含的信息有草皮名称，价格，因此这三个数字所在单元格，行指草皮信息，列指价格，学生在读取表格中的数字信息的时候，必须同时关注这两条；反之，未来在学生需要用表格表示数字信息的时候，要学会将数字信息分成两类，根据这两类来列表，这个难度更高。

在学生讨论总共有多少种铺草皮的方案时，全铺同一种的有AA，BB，CC，这比较容易解释，但铺不同类草皮时，学生对于AB，BA是同一类的理解，有点勉强，毕竟在图示上，这两块空地位置是不一样的，因此，需要说明，当我们在计算总费用的时候，两块空地的位置信息不重要，而在后面进行草地图案设计的时候，这个位置信息就不能忽略了，例如有孩子在草地上设计文字，“天天向上”和“向上天天”显然不同。这同时也是在告诉我们，用数学眼光观察现实世界，是带着目的去观察的，学生在需要解决问题的前提下，用数学眼光去观察，那观察出来的结果必须与问题相关，不盲目。

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第六节《探秘九省通衢——武汉》

本课是六年级综合与实践，内容自创，通过巧妙的设计，将比例尺、统计图、速度等数学知识，与地理、经济等多学科融合，教学设计非常新颖，并在课堂上引入与AI大模型对话，调整提示词从而得到预期回答。

精彩之处：

第一个活动是探秘水陆空交通网，通过一张车票展开，特别是省内非武汉地区的人们，外出乘坐交通工具，基本绕不开武汉中转或途经武汉，这完美解释了“九省通衢”的含义，通过武汉临近的几座大城市到武汉的距离，在数学意义上解读了它“中心”的含义。

第二个活动是“千公里经济圈”，结合前面的数据，加上经济数据，呈现了武汉的这个经济圈中了枢纽地位，顺便引出“长江经济带”的概念，从经济角度来看武汉的地位。在这个活动中，学生通过向AI提问，获取武汉经济地位相关的信息，并从这些信息中提取自已需要的内容，用自已的数学知识去理解，用数学的方式展现，例如统计图。

学生在这个活动中，直接与AI对话，并审视AI给出的回答，判断是否有益于自已思考的问题，并不是盲目听从AI给出的结果，这对于我们未来在课堂上科学运用AI给出了很好的案例，值得进一步思考。

我的思考：

导入环节已经很优秀了，不妨在此基础上将问题抛给学生，如果你从省内某个其它城市出发，例如黄石，前往外省某个城市，车票怎么买？可以现场打开12306来呈现，若直达，则途经城市中有没有武汉，若中转，是不是在武汉中转，通过这个设计，让学生更直接认识到武汉“九省通衢”的地理意义；

另一方面，“九省通衢”中的数字“九”真的是是指九个省吗？这也可以作为跨学科知识进行解读。

活动一中，主要是通过水陆空交通网来体现武汉的“中心”地位，除了在地图上测量，通过比例尺计算外，其实还有多种方式，例如在初中学段，将整个中国地图，看作一个不规则图形，它的中心在哪里？如何用一个半径最小的圆，将整个中国地图完全覆盖，圆心在哪？

第二个活动是通过AI问答，了解武汉的经济地位，现场老师们耳目一新，引发了热烈的讨论，那就是关于AI回答这种形式，究竟是不是数学课？刘莉老师进行了专业解读，肯定了这种形式的AI运用，并且鼓励老师们进行更深入的思考和实践，我们的数学课堂上，怎样用AI才能促进学生核心素养的提升？

到目前为止，我们绝大多数AI的应用，都集中在搜索信息，这是搜索引擎时代的习惯，AI的作用绝不仅仅作为搜索引擎，它可以模仿人的某些操作，还会进行判断，它的“经验”来自于背后海量的数据、大模型，因此在这节课上，学生向AI提问之后，AI给出的结果是基于成年人的理解层面，它并不知道小学六年级的孩子具备什么样的知识储备，也不明白这个班的学生的成长经历，因此无法给出最适合孩子们理解的内容，所以能看出孩子们在看到结果之后，脸上的一点茫然。

AI给出的结果不经加工直接给学生，是欠妥的，这也是课堂上依然需要老师的必要性，因此在小学阶段，对于AI在课堂上的使用是很谨慎的，毕竟我们都知道它喜欢“一本正经胡说八道”，但作为老师备课、教研却是利器。

0 7

第七节《旅游中的数学——推理》

人教版小学数学二年级下册综合与实践

本课对教材内容进行了改编，用家人出游问题代替教材上的拿书问题，并在后续安排了活动二，包含教材上的汪汪调色盘、座位选选看、鞋子对对碰，用排除法、列表法、连线法教学生初步的数学推理，让学生从已知信息出发，分析条件间的关联，养成有序思考的习惯，限于二年级学生的认知水平，主要是从两个元素到三个元素的推理。

精彩之处：

导入环节贴近生活，以早餐吃什么的二选一推理，拉近与学生的距离，这一类基础推理，学生面对两个选择A和B，条件肯定A或否定B，则选A；读懂条件中表示肯定和否定的语句，从而得到推理依据；

活动一中第一个孩子说的是对的，但写的是错的，后面连续发言的学生，逻辑思维非常清晰，王老师的板书将这些逻辑漂亮地记录在黑板上；

以上同学均通过描述的方法推理出最后的结果，完成了逻辑推理的第一层；

借助学生在学习单上的生成，将描述法进一步升级成连线法；

王老师迅速抓住学生现场表现，巧妙地引导学生回答，利用生成推进课堂节奏，很高明。

两名学生先后上台，用边推理边填表的方式，完成第三种表格法；其中每种颜色代表第几次推理，红色代表第一次推理“第一站去动物园”，这个条件的另外含义是第一站不去游乐园和科技馆、第二站和第三站不去动物园；蓝色代表第二次推理“第二站不去游乐园”，它的另外含义是第二站去科技馆、第三站不去科技馆；最后的黄色则是最后一步，只剩下一个选择了，这种方法对学生来讲理解难度较大，要用好并不容易。

三种方法之后，提出了一个好问题“这三种方法在推理步骤上有什么相同之处？”引导学生迅速找到了推理的关键点——有序思考。

活动二中，学生很顺利地完成推理，说明在这节课上，确实掌握了推理的方法；

这两个推理的设计非常好，座位选选看中，第一句是否定句，第二句需要比较大小后才能确定；鞋子对对碰中，第一句同样也没有确定，第二句才确定一处，再回过头看第一句，确定了两处，第三、四句都是否定句式，这样的条件在推理中很考验学生的逻辑能力，毕竟不是A，那可能是什么呢？这个问题比起简单的肯定句式，对推理的要求更高一些。

我的思考：

连线法就是未来树状图的雏形，不妨用树状图来整理一下活动一：

这是所有可能的情况，现在按活动一中的条件，第一站去动物园，第二站不去游乐园，划掉排除的分支，如下图：

这个过程学生用描述法说得很好，用连线的方式也容易接受，表格法稍有困难，仔细听了描述表格法的两个孩子的回答，其实他们没有给出老师期望的答案，不过老师很有耐心，充分鼓励了这两个孩子，那么老师期望什么结果呢？

动物园

游乐园

科技馆

第一站

第二站

第三站

当上图中的√和×用蓝色统一之后，老师本意是，通过读条件“第一站去动物园”，学生确定了第一站的去处之后，同时还要确定第一站不去游乐园和科技馆，以及第二站和第三站都不可能再去动物园，但两个孩子始终只说了第一站去动物园，不去游乐园和科技馆，因为他们心里默认，既然第一站去了动物园，那么第二站和第三站自然不会再去动物园，这个问题其实好解决，在活动一开始之前，规则中讲清楚，每一站去一处，不重复即可。

而第二个条件“第二站不去游乐园”，老师期望的结果同样如下图：

动物园

游乐园

科技馆

第一站

第二站

第三站

第二站不去游乐园，那么剩下只有科技馆可选，同时第三站一定是游乐园，最后再补上表格中最后一块，第三站不去科技馆，不同颜色区分出不同判断步骤，这没有问题，只是学生未必按这个思路，二年级的孩子，能够通过二选一排除法完成初步推理，教学目标已经达到了。

我们再来看这两个条件“第一站去动物园”和“第二站不去游乐园”，其实它们能推理出的结论是有重复部分的，“第一站去动物园”，可以推理出第二站和第三站都不会去动物园，以及第一站不会去游乐园和科技馆；“第二站不去游乐园”，可以推理出第二站去科技馆，第三站去游乐园，以及第三站不会去游乐园；也就是说，学生仅通过前一个条件可以推理出相应的结论，也可以在前一个条件中推理出部分结论，而由第二个条件补齐剩下结论，是可以的；但从线性逻辑角度来讲，尽量由一个条件推理出所有结论，不遗漏最好。

0 8

第八节《掷一掷》

人教版小学数学五年级上册综合与实践

本节课在第4单元《可能性》最后一节，学生在前面已经初步学习了列举法求概率，用次数估计概率等，接触到了摸卡片、转盘、掷立方体等游戏，对事情发生的可能性有一定了解，所以在章节最后安排这个综合与实践活动，旨在帮助学生运用所学知识，解决两个骰子（色子）掷出点数的问题。

精彩之处：

在前面铺垫一个骰子可扔出6种可能，并且每一种可能性相等之后，提出两个骰子一起扔，总共有多少种可能，这其实埋下了伏笔，因为我们知道两个骰子扔出的所有结果，可能性并不相等，但此时学生并不知道，这也是利用认识误区营造一种悬念，为后面的游戏引出做好准备。

在学生认知中，两个骰子一起扔，总共会有2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12这十一个结果，因此当老师出示悟空和八戒一起玩游戏的时候，下意识地认为悟空的5，6，7，8，9只有五种，而八戒有六种结果，所以八戒会赢，不过有个孩子说悟空的结果是连续的，八戒的不连续，所以悟空会赢，这个观察角度十分特别（似乎是对的），引起争议之后，后面再做实验就显得十分必要了。

收集实验数据的方式采用了平板上的app，如下图：

这比起传统的画“正”字，效率提高了很多，也更方便汇总全班数据，信息技术手段使用得恰到好处。

有限的实验次数能否说明悟空一定能赢？有孩子说运气不好，不服，那么顺势增加次数，显然一节课时间不够完成，因此再次引出自动投骰子的小程序，它恰好解决了传统课堂时间与空间不足的问题，这也是课堂上正确使用信息技术的范例。

实验之后，老师引导学生思考为什么会有这样的结果，引出了数字组合的概念，再用加法算式来表示所有数字组合的结果，让学生思考实验结果的必然性。

廖老师展示的这个小组的结果很有代表性，在列举所有可有可能算式时，加数中出现了超过6的数字，现场这个小组的孩子们立刻进行了反思，相信他们对自已的错误认识足够深刻了。

我的思考：

仔细对比了教材上的情景和本节课的情景，西游记的背景更童趣一些，但个人认为教材上的情景更容易让学生有参与感，老师与学生一起玩游戏，老师为什么总是赢，会激发学生更大的兴趣。

课堂上廖老师敏锐地抓住了学生出现的错误，并利用这个生成有效推进了课堂，经验十分老道，其实还有一种方法可以避免学生出现这种错误，就是表格，如下图：

1

2

3

4

5

6

1

1+1

1+2

1+3

1+4

1+5

1+6

2

2+1

2+2

2+3

2+4

2+5

2+6

3

3+1

3+2

3+3

3+4

3+5

3+6

4

4+1

4+2

4+3

4+4

4+5

4+6

5

5+1

5+2

5+3

5+4

5+5

5+6

6

6+1

6+2

6+3

6+4

6+5

6+6

在表格中我们同样可以用不同色块区分两人获胜，效果是一样的，当然，本课所用方法更类似正态分布图，统计图总比表格更直观。

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第九节《藏在纸张里的数学密码》

小学六年级学过比和比例之后，利用生活中常见的A4纸作为情景，研究它的长宽比，以及为什么选择这样的长宽比，引申到古代中国纸张的尺寸，从古到今，从传统文化到现代工业标准，这节课的选题十分巧妙，将多个学科的知识融到了一起，同时还具备延展性，留下的问题可以在初中阶段继续研究，直到彻底弄明白。

精彩之处：

从中国古代不同朝代纸张的大小导入本课，厚重的历史感一下子就上来了，直到出现现代的纸张，这是生活中经常见到的事物，贴近学生。

肖老师擅于引导学生提问，通过学生发言，将他们想研究的问题一一罗列，并成功导出本课的问题，A3纸是297×420mm，A4纸是210×297mm，A5纸是148×210mm，学生很快发现这些数字之间的联系，并由此产生了新的问题，为什么这样设计？

学生很快发现这些不同的纸张，有的长等于另一张的宽，有的长等于另一张长的一半，而“一半”可以通过对折得到，而且学生确实观察非常细致，对折后，长与宽是相对的，毕竟我们学习长方形的时候，长代表较长的边，宽代表较短的邻边，这一点抓得很好。

通过活动对折、测量，发现结论：A3纸对折后就变成A4纸，长宽比不变，都约为1.4。

发现这一结论之后，进一步激发学生兴趣，为什么会这样？用字母a、b表示一个长方形的长与宽，对折后，新长方形的长是b，宽是a/2，结果得到a:b=b:a/2，当然这个比例式在小学阶段学生还暂时得不出比值，但这节课进行到这一步，探究已经足够深入了。

我的思考：

在人教版初中数学七年级下册，我们还会有一次这样的探究：

在此基础上，我们还可以继续探究B4、B5尺寸的纸，还有8开、16开尺寸的纸，研究方法仍然是一样的。

我们在未来初中扩充数域时，这也可以作为“数不够用了”的案例，无理数的发现，不仅仅只是边长为1的正方形的对角线长度，长宽比一定，对折后仍然保持这一长宽比的长方形，都可以设计成引导问题。

在小学阶段，我们接触到的绝大多数都属于有理数，即可以写成q/p形式的数，其中p、q是整数(p≠0)，从数指头开始认识整数，从分一分开始认识分数，这些都属于有理数，只有当学习小数的时候，有一个让学生十分困惑的数，那就是圆周率，除它外的小数，都可以变成分数，而到了初中，接触到更多不能变成分数的小数，即无限不循环小数，再扩充至实数，高中阶段还会再经历一次数域的扩充，这是后话了。

三、怎样上好数学综合与实践？

首先需要提出一个好项目（好活动、好问题）

数学来源于生活，当我们用数学眼光观察现实世界时，会产生很多数学问题，相当一部分可以搬到课堂上进行研究，例如这九节课的选题，在选题方面，我们的课标已经给出了很多样例，我们的教材更给出了具体的问题，教师用书针对这些问题也给出了相应的教学建议，所以对于一线教师来讲，认真学习新课标，认真研究教材，认真阅读教师用书，这是前提；

其次需要科学地设计好项目的课堂呈现形式，虽然我们在生活中可能会有无数数学问题需要解决，但在课堂上，在40分钟（或45分钟），能够呈现出的部分有限，因此选择哪些点铺开，延伸到什么程度，适合哪个学段，需要课前仔细思考；例如新课标中《度量衡的故事》，这里面可挖掘的内容非常多，我们需要根据教学需要，选择其中部分元素来进行教学设计，在大标题之下，确定小标题；

在选题之后，就是内容的裁定，我们需要一个学生能够在课堂上“尽全力”完成的项目，或能解决的问题，所谓“尽全力”，一方面是指这个问题要引起学生足够的兴趣，这九节课中，研究的问题均来源于学生“想知道”、“想完成”，而不是老师想知道、想完成；另一方面是不超范围，在学生认知框架下设计，让学生能够用已有的数学知识来解决问题，如果过程中涉及到未来内容，也是以留下悬念为主，忌讳将未学内容匆匆包装，喂一口夹生饭。

最后是师生共同完成项目，正如现实中的项目，并非领队一个人发号施令就把项目完成了，而是牵头进行研究，带动团队一起研究，老师显然是班级这个团队的Project Manager (PM)，所有参与综合与实践的学生，要深刻感受到课堂上的活动与操作，是为了他们自已的兴趣或困惑，而不是“老师让我们这样做”，因此整个课堂上要有分工协作，除了生生协作，还需要有师生协作，当老师将自已从课堂活动的“局外者”切换身份到“参与者”，课堂活力就出来了。

四、关于AI与课堂教学的话题

感谢刘莉老师在活动中屡次提及它，目前AI很流行，大家都在用，都在研究，声音也很多，我个人认为：

第一、任何AI给出的结果，未经加工，不得直接抛给学生；

第二、AI是工具，需要老师去主导，而非反过来；

第三、绝对禁止学生用AI找答案；

借用刘莉老师的一段话作为结尾