《用初等方法研究数论文选集》连载 25. 2N+A空间与勒让德猜想

《用初等方法研究数论文选集》连载 025

025. 2N+A空间与勒让德猜想

我之前讲述素数定义的时候存在一些问题，这些问题可能比较严重，以至于如果被那些在数学界有着极高地位和深厚学识的权威人士听到，他们极有可能会对我所讲的内容嗤之以鼻。他们的反应或许会很强烈，甚至会把脑袋摇得像“不郎鼓”一样，以此来表达对我的说法的强烈不认同。这便引发了一个值得我们深入思考的问题：我们在探讨素数相关概念的时候，到底应该以那些权威人士所给出的“定义”作为评判标准和依据呢，还是更应该尊重客观存在的事实，以事实为依据来进行判断呢？

要知道，权威人士对于素数是这样定义的：所谓的素数，就是指那些仅仅能够被1和它自身这两个数整除的数。按照这个被权威所认可的定义来看，在数字的世界里，1这个数字并不属于素数的范畴，因为它在这个定义体系中被视为一个特殊的单位；而2这个数字呢，它则是一个素数，并且它还具有另外一个独特的身份，那就是它是所有素数当中数值最小的一个，同时它也是最小的偶数。

我们看下表，

这是Ltg-空间理论的2N+A空间，这个空间用两个等差数列2N+1和2N+2就可以表示全部正整数了。

代数式Zj(N) = 2N+1 就是正整数中的全部奇数，包括1 其中还有3、5、7……，但是并不包括2 .

代数式Zo(N) = 2N+2就是正整数中的全部偶数，包括2.

在这个特定的空间范围内，为了更加方便地研究相关问题，我们有必要对"素数"这一概念进行重新定义。所谓素数，就是指在代数式Zj(N) = 2N+1中，那些无法被"合数项公式"所覆盖到的位置，也就是项数Ns所对应的奇数。具体来说，这里的素数与传统意义上的素数有所不同，它是在这个独特的数学框架下的一种新的定义方式。在这个框架中，我们需要通过代数式Zj(N) = 2N+1来审视每一个位置，然后判断其是否能够被"合数项公式"所覆盖。如果某个位置不能被"合数项公式"覆盖，那么这个位置所对应的奇数就被定义为素数。这种定义方式为我们研究问题提供了便利，使得我们能够从一个新的角度去探索素数的性质和特点。

在这个特定的空间当中，存在着这样一个合数项的公式，其表达形式为

Nh = a(2b + 1) + b，并且这里有一个重要的前提条件，那就是a和b这两个变量的取值都必须大于或者等于1。

在这个公式所定义的体系里，数字1被赋予了一种特殊的含义，它被视为一个“单位”。当我们在对相关问题进行深入研究的时候，就可以借助这个“单位”来进行各种分析、推导等操作。而在这里需要特别指出的是，数字2在这种情况下并不被认定为素数。通过这样的设定方式，在实际的研究工作开展过程中，就能够有效地避免可能出现的各种矛盾情况，从而确保研究能够在一个自洽且合理的框架内顺利进行。

为何我们中的一些人觉得学习数学颇为困难？在此，我愿分享一些个人见解，谨供各位参考。

在我们上学的那个时候，常常会有一种感觉，那就是有些数学老师或者物理老师讲课讲得特别好，为什么会有这样的感觉呢？其实归根结底是因为我们能够听得懂他们所讲的内容。然而，与之相对的，也总会遇到另外一些老师，他们在讲课的时候，我们就完全听不懂他们在说什么，这到底是怎么回事呢？当然，我们不能把所有的责任都推到老师身上，说老师讲得不好，毕竟自身的原因也是不容忽视的，也许是我们自己比较笨，缺乏学习这些学科的天赋，这也是有可能的。

不管是数学还是物理，它们都不是凭空产生的，而是有着“大量的实例”作为基础的。我们知道，那些复杂的公式并不是从天上掉下来的，而是从众多的实例当中经过不断地总结、归纳，“抽象出来”的。但是，有一些老师在教学过程中，采用的是一种“照本宣科”的方式，他们只是单纯地把书本上的内容搬到黑板上，用各种各样的符号和公式写满了整个黑板。对于学生们来说，看到这些密密麻麻的符号和公式，根本就不知道这些东西是怎么得来的，越听越是一头雾水，到最后甚至对数学和物理产生了厌倦的情绪。

就拿我自身的情况来说吧，从接触数字1、2、3开始数数，这一数就是二十多个年头了。在这漫长的岁月里，我对数字以及与之相对应的规律虽然不敢说已经达到了炉火纯青、了如指掌的地步，但最起码相较于其他人，我所知晓和理解的内容要丰富得多。每当我面对那些复杂且深奥的数论公式以及数论猜想的时候，我至少能够清晰地明白它们所表达的含义，清楚它们想要达成的目标是什么。然而，试想一下，如果一个人对最基本的数字1、2、3都没有达到熟悉的程度，那么当他看到这些抽象晦涩的数论公式、数论猜想时，必然会陷入一头雾水、不知所云的境地，完全无法理解其中的奥秘所在。

当我试图阅读“椭圆曲线”这一部分内容的时候，我发现我完全无法理解其中的内容。究其原因，主要是因为我并不清楚这些公式究竟是如何被推导出来的。所以，如果想要把数学和物理这两门学科真正学好，那么拥有一本优质的“教材”就显得尤为重要了。我们需要通过这样的教材来深入了解每一个概念以及定义的起源与发展过程，而不是一上来就直接面对一堆“抽象的数学符号”进行推导。因为如果采用后一种方式的话，那对于任何学习者而言都是极为困难的，根本不可能顺利地学会相关知识，更谈不上达到精通的程度了。

一本优秀的《量子力学》教材也是如此，它必须遵循科学认知的基本规律。首先要有实验基础，通过精心设计的实验来观察和记录自然现象，这是学习和理解量子力学的起点。在对实验现象有了直观的认识之后，才能进一步建立相应的数学模型，并进行严谨的数学推导和分析。倘若缺乏实验环节，也没有对自然界中各种现象的细致总结和归纳，一上来就直接堆砌复杂的数学公式进行推导，那么绝大多数人将会一头雾水，根本无法理解其中的含义，更不用说掌握这门学科的知识了。除非你已经对这个特定领域有了相当深入的了解和研究，否则这种脱离实际、纯理论式的教学方式是很难让人真正学会量子力学的。

在某一学科的教学过程中，老师对于学生是否熟悉该学科的知识体系起着至关重要的作用。这里所说的学生对学科的熟悉程度，并不是指表面的了解，而是深入的、全面的认知。作者作为知识的传授者可能对此有清晰的认识，但是对于读者而言，他们可能并不懂得这其中的重要性。因此，在学习像数学和物理这样逻辑性强、抽象度高的学科时，一个优秀的老师以及一本高质量的教材就显得尤为重要了。

在学习过程中，最基础的知识内容是构建整个学科知识体系的基石。这些基础知识不仅需要被理解，而且必须达到熟悉的程度。只有当学生对这些基础知识了如指掌之后，才能够在脑海中形成稳固的知识框架，进而才有可能进行更高层次的“抽象”推导与深入研究。如果基础知识不牢固，就如同在沙地上建高楼，无论后续如何努力，都难以达到理想的高度。所以，扎实地掌握基础知识，是学好数学和物理等学科不可或缺的关键步骤。

下面我们谈一谈“勒让德猜想”。

这个猜想是在自然数中，任意两个相邻完全平方数之间，都存在至少一个素数。即，对任意正整数n，存在素数p，满足n^2 < p < (n+1)^2。

过去我曾多次利用6N+A空间进行证明，尽管我也承认这些证明并非完全严谨。接下来，我们将借助2N+A空间再次进行验证。

在正整数中，素数对是指素数之间的最小间隙为2。只要我们证明了素数对的两个数的平方之间存在素数，那么项数N就可以缩小一位。

首先，我们来看一个实际例子。选取（5,7）这一对孪生素数，它们的间隔为2，之间只有偶数6。7的平方是49，5的平方是25，因此：

7^2 -5^2 = 49 - 25 = 24

它们相差的位置是 24/2 = 12，其间有11个空格。也就是说，从项数N=13到23。

设 N' = 12)， N'' = 24 ，这个区间就是 N'' - N' = 12 ，表示为 [12,24]。

我们知道“合数项公式”是：

Nh= a(2b+1) + b a, b≥ 1

分别取这个区间12至13内的项数，我们会发现存在合数项的空缺。14、15、18、20、21、23这些不被“合数项覆盖的项”都是“素数项”。

我们向后退一位到6，它的平方数是36，与25相差11项，即相差5项。13、14、15、16、17中，14、15项是素数项。

我们为何选择素数对进行研究？原因在于素数对之间的间隔最为紧密。

接下来，我们通过公式进行推导。

我们在2N+A空间中的2N+1数列上随机选取一对素数，

设前一个素数为S，其项数为N'，则有S = 2N' +1。

与其相邻的偶数O为S+1，其项数为N″，且O的表达式为2N′+2。

我们看到项数都是N′为了简便我们都写成项数N。

O²- S² = (4N + 3) / 2，这表示两个相邻平方数之间的距离。

我们可以进行验证。对于项位数N=2的情况，计算如下：(4×2+3)/2=5.5。由于我们取的N均为整数，因此(4N+3)/2可以简化为2N+1。

O^2-S^2 = 2N+1

我们假设两个相邻的正整数的平方之间没有素数，那么可以表示为：

Nh =a(2b + 1) + b = 2N + 1

分析公式 a(2b + 1) + b = 2N + 1，左侧是间断的 Nh 的值，而右侧是连续的值，因此该公式不成立！

由此可得，O^2 - S^2 = Nh + Ns = 2N + 1

勒让德猜想证毕！

总结：

通过上述一系列的探讨与推导，我们借助2N+A空间这一独特的数学框架，对勒让德猜想进行了深入且细致的验证。在这个过程中，我们重新审视了素数的定义，在新的定义体系下，利用合数项公式以及相关代数式，对素数对以及相邻完全平方数之间的素数存在性问题展开了严谨的逻辑推理与计算。最终，我们成功地证明了勒让德猜想，即在自然数中，任意两个相邻完全平方数之间，都存在至少一个素数。

这一证明过程不仅为我们进一步理解素数的分布规律提供了新的视角和方法，也展示了在不同数学空间和定义体系下研究数学问题的可行性与有效性。同时，这也提醒我们，在学习和研究数学的过程中，不能仅仅局限于传统的定义和思维模式，要敢于突破常规，尝试从不同的角度去思考问题，或许就能发现新的解决途径。

此外，这一成果也凸显了基础知识在学习和研究中的重要性。无论是对于素数基本概念的理解，还是对各种数学公式和代数式的运用，都离不开扎实的基础知识。只有将基础知识掌握得足够牢固，我们才能在面对复杂问题时游刃有余，进行深入的推导和研究。

在未来的数学研究中，我们可以进一步拓展2N+A空间的应用范围，探索更多与素数相关的性质和猜想。同时，也可以尝试将这种研究方法和思路应用到其他数学领域，为数学的发展贡献更多的智慧和力量。相信随着研究的不断深入，我们能够对数学世界有更深刻、更全面的认识。

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2025年12月1日星期一