FLRW 宇宙中的全息纠缠熵

Holographic entanglement entropy in the FLRW universe

FLRW 宇宙中的全息纠缠熵

https://link.springer.com/article/10.1007/JHEP08(2025)115

概述

重点在于探寻全息原理如何在动态演化的FLRW宇宙（描述我们宇宙的模型）中成立，以及其施加的严格限制。

摘要：

我们通过Ryu–Takayanagi公式，在三维Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker（FLRW）宇宙中计算全息纠缠熵。我们考虑两类全息场景，分别类比于静态斑块全息（static patch holography）与半de Sitter全息（half de Sitter holography），其中全息边界为类时边界且位于体时空内部。我们一般性地发现，强次可加性（strong subadditivity）仅在前一类场景中可能满足；此外，全息边界必须位于视界（apparent horizon）之内。进一步地，对于充满状态方程为常数的理想流体的宇宙，该条件被加强为：全息边界必须位于事件视界（event horizon）之内。这些限制为对偶的量子场论成为标准的、并兼容强次可加性提供了必要条件。

关键词：规范–引力对偶（Gauge–Gravity Correspondence）、宇宙学模型（Cosmological models）、de Sitter空间（de Sitter space）

1 引言与概要
在AdS/CFT（反-de Sitter / 共形场论）对偶性被发现之后［1］，理论物理学家一直致力于理解时空的涌现机制。其中一种重要途径是在AdS/CFT对偶框架下运用量子信息理论。著名的Ryu–Takayanagi（RT）公式［2, 3］提出了一个引力对偶的纠缠熵，可视为对Bekenstein–Hawking熵［4, 5］的一种自然推广。在“It from Qubit”（“时空源于量子比特”）这一口号下——即时空通过量子纠缠而涌现——人们已在理解AdS空间中的量子引力方面取得显著进展。

将全息原理拓展至de Sitter（dS）时空的尝试，即所谓的dS/CFT对偶性，最早由Strominger在文献［6］中提出。尽管与AdS/CFT不同，dS/CFT并未直接源于弦理论，但以自下而上的精神假设该（可能成立的）对偶关系，我们仍可研究诸多问题。例如，在原始的dS/CFT对应中［6］，对偶CFT位于de Sitter时空的未来无穷远处，因此缺乏时间方向；由此预期该CFT是非幺正的——这一点也可通过将AdS情形下半径做解析延拓得到［7］。

从宇宙学角度看，de Sitter时空通过宇宙暴胀［8–11］与我们的真实宇宙直接关联：暴胀过程由暴胀子（inflaton）标量场驱动，具有破缺的时间平移对称性，其时空可近似为类de Sitter时空（quasi-de Sitter space）。暴胀子与引力子扰动在未来的无穷远处的关联函数，为晚期宇宙各向异性与非均匀性的初值条件提供了理论输入，这些初值可通过宇宙微波背景辐射、大尺度结构等手段观测检验（当前观测约束见［12］）。

除对暴胀扰动进行体时空（bulk）分析外，人们也在dS/CFT框架下研究暴胀关联函数。继开创性工作［7, 13–15］之后，多个现象学方向得到探索，包括：非高斯暴胀关联函数的算符乘积展开［16］、慢滚暴胀/形变CFT之间的对应［17–19］、波函数初始真空态的选取［20, 21］等；此外还有所谓“宇宙学bootstrap”方法［22–25］。然而，由于对偶CFT本身存在病态（如非幺正性），加之暴胀期间de Sitter对称性破缺带来的额外复杂性，dS/CFT对偶的实际应用仍局限于重现（类）dS时空中量子场论（QFT）的一些简单结果。

为此，为实现一个如AdS/CFT中那样具有时间演化方向的QFT对偶，我们引入一个类时的全息边界（也称为“拉伸视界”，stretched horizon），如文献［26, 27］所提议（相关工作见［28–30］）。我们对标量度规施加类Dirichlet边界条件，使得对偶QFT与体时空中的引力模式解耦。在此设定下，体引力理论预期对偶于位于拉伸视界上的一个无引力的量子场论。该QFT可能展现出非局域性［27］——因其属于有限截断全息（finite-cutoff holography），类似于 T ˉ T TˉT-形变的情形［31, 32］（另见［33］关于其与全息纠缠熵强次可加性破坏［34, 35］的关联）；但人们普遍相信该理论仍是幺正的。在此类情形中，全息边界并非位于渐近边界，而其确切位置尚缺乏第一性原理的确定依据。

近期文献［36–38］进一步将全息原理推广至更一般的（闭合）Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker（FLRW）时空，为如下愿景提供了新线索：即我们宇宙的整个演化历史可能通过全息原理得以理解；进而，我们宇宙何以从海量可能性中被“选择”的科学理由，或可被系统分析。

本文旨在探讨以下问题：
在FLRW宇宙中，全息边界应置于何处？是否存在普适的全息原理？

本文结构如下：第2节面向宇宙学家综述全息原理，并为弦论研究者回顾平坦FLRW宇宙；同时总结SSA与纠缠熵凹性之间的关系。第3节在平坦de Sitter宇宙中开展计算：通过将de Sitter时空嵌入闵氏空间，可解析求得测地线距离，从而获得完全解析结果。第4节将计算推广至一般平坦FLRW宇宙，并给出解析解（其中测地线积分可解析求值）。第5节讨论物质对熵的贡献。第6节为结论。附录A对闭合与开放宇宙情形进行数值测地线计算；附录B对其背景时空作简要回顾。

2 预备知识
本节将回顾与本文相关的基本背景材料。熟悉这些内容的读者可跳过本节。

2.1 全息原理综述

全息原理最早由文献［39, 40］提出。数年之后，Maldacena在D膜的弦理论框架下提出了AdS/CFT（反-de Sitter/共形场论）对偶性［1］（全面综述参见［41］），作为该原理的一个具体实现。我们首先简要回顾AdS/CFT对偶性，随后介绍de Sitter时空中的全息理论。本小节主要面向尚不熟悉AdS/CFT对偶性的宇宙学家。

2.1.1 AdS/CFT 对偶性
AdS/CFT对偶性最初是在弦理论框架下、借助D膜构造而提出的。此类基于弦理论的构建方式属于自上而下（top-down）的研究路径。另一方面，人们普遍预期AdS/CFT对偶性在更广泛的语境下依然成立；其普适性质可在不依赖具体弦论实现的前提下进行讨论——这种路径称为自下而上（bottom-up）方法。

AdS/CFT对偶性的核心陈述是：

严格而言，该量子场论（QFT）实为共形场论（CFT），除具有标度不变性外，还具备特殊的共形不变性；但通过对CFT施加适当形变，该对偶性可推广至非共形情形。AdS时空在空间无穷远处存在一个类时的渐近边界，CFT即定义于其上。全局时空的度规为：

在后续的论文［42, 43］中（另见［44］的相关工作），作者们提出了关联引力侧与QFT侧配分函数及关联函数的方法。AdS/CFT对偶性中的对偶关系表明，两侧的希尔伯特空间之间存在同构关系。换言之，在体时空（引力侧）与边界（QFT侧）算符之间存在一一对应关系。例如，边界CFT中的规范流与能动量张量分别对应于体引力理论中的规范场与度规。在引力侧存在、但在QFT侧缺失的涌现方向，可通过全息重整化［45, 46］被视作一种能量标度。值得注意的是，不同维度的理论彼此匹配，但粗略而言，编码涌现（径向）方向信息的CFT侧相互作用则较为复杂。

最后需要说明的是，上述讨论的量子场论原本是非引力的。然而，已有大量尝试旨在实现一个有限截断的边界，即不位于渐近边界上的边界，例如 形变［31, 47］。事实上，本文所讨论的情形正是将有限截断作为边界对偶的情况。

2.1.2 de Sitter 空间中的全息原理

dS/CFT 对偶性

首次尝试将AdS/CFT对偶性推广至de Sitter情形的工作由Strominger在文献［6］中发起。与AdS情形不同，dS时空在未来的无穷远处具有类空的渐近边界。的平坦切片度规为：

作为一个现象学上重要的示例，宇宙膨胀被准de Sitter时空描述。此外，未来无穷大的渐近边界有效地表征了膨胀的结束，即使膨胀在现实中在有限时间内终止，产生了大爆炸宇宙。因此，de Sitter全息理论将有助于通过量子引力理解我们宇宙的黎明。

静态补丁全息

上述dS/CFT提案面临一个基本问题，因为边界CFT没有时间方向，导致其非酉性。为了解决这个问题，在文献[26]中，Susskind提出了静态补丁全息，该理论指出静态补丁中的引力对某些超曲面定义的拉伸视界上的QFT是双的。为了描述这一点，让我们引入坐标。(d+1)维静态补丁的度量由以下给出：

由于静态补丁是一个紧凑的空间，最初没有类似时间的边界。一个可能的候选者是由定义的类似时间的边界。特别是，文献[26]考虑了一个宇宙学视界作为边界。然而，它仍然没有解决如何在两侧推导相关函数的问题，也没有说明存在什么样的理论。本文的一个动机是提供在静态补丁中放置边界的标准。更普遍地，我们还把这个设置扩展到FLRW情况。需要注意的是，为了在边界上获得一个非引力的QFT对偶，我们应该对度量波动施加一个类似Dirichlet的边界条件。

半个de Sitter全息

作为解决CFTs对偶于dS引力的非酉性的另一种方法，文献[27]引入了一个在有限径向截断处的类似时间的边界。他们考虑了de Sitter空间的全局补丁

并在处引入一个类似时间的边界，其中对度量施加了Dirichlet边界条件。尽管对偶理论的确切性质仍然不清楚，但他们期望它是一个可能涉及无限高阶导数运动项的非局部理论。这种期望得到了全息纠缠熵的超体积定律的支持。我们的设置是这种设置的推广，尽管他们分析的是全局dS中的问题。

2.2 Ryu–Takayanagi 公式与强次可加性
本节回顾AdS引力中用于计算全息纠缠熵的Ryu–Takayanagi（RT）公式，其对偶于边界CFT中的纠缠熵；同时介绍强次可加性（Strong Subadditivity, SSA），这是标准量子场论中纠缠熵理应满足的基本不等式。

2.2.1 Ryu–Takayanagi 公式
本文采用RT公式所定义的全息纠缠熵来探测时空结构。边界CFT中纠缠熵的计算方法由文献［49］（更早的相关工作见［50］）建立。随后，Ryu与Takayanagi在文献［2, 3］中发现，纠缠熵的引力对偶量——即所谓全息纠缠熵——可由连接子系统边界的极小曲面（minimal surface）的面积除以 4 G 给出。需注意，我们选取的是与该子系统同调（homologous）的极小曲面；这一要求在非平凡几何（如热力学几何）中具有关键作用。该结果可视为对Bekenstein–Hawking熵［4, 5］的一种自然推广，因为纠缠熵刻画了对子系统进行迹运算后所丢失的信息量。后来，Lewkowycz与Maldacena在文献［51］中通过引力路径积分严格导出了这一全息纠缠熵公式。

本文基于RT公式计算全息纠缠熵。尽管目前尚不完全清楚RT公式是否可直接推广至AdS以外的其他时空，我们仍假设其适用于FLRW时空，并以SSA作为一致性条件，反推哪些全息构型可能对应一个标准的（即满足量子信息基本性质的）量子场论对偶。为简化计算，本文聚焦于三维情形，此时极小曲面退化为连接子系统两端点的测地线。

2.2.2 强次可加性（SSA）
自然预期全息纠缠熵应满足量子熵的各种不等式（全面综述参见［52］）。我们特别关注强次可加性（SSA）［53, 54］，它与熵的凹性密切相关。SSA的定义如下：令 A A、 B B、 C C 为三个互不相交的子系统，则SSA断言：

对于全息纠缠熵，文献［56］给出了SSA的一个优美的几何证明（更早的相关研究见［57］）。

2.3 平坦FLRW宇宙基础

本小节回顾平坦FLRW宇宙的基本内容。正文主要聚焦于平坦情形，而闭合与开放情形的讨论置于附录A中。

几何结构：考虑一个 ( d + 1 ) 维的平坦FLRW宇宙：

3 de Sitter 全息
作为FLRW宇宙的最简特例，我们首先分析de Sitter时空。该情形的优势在于：通过将时空嵌入闵可夫斯基空间，测地线长度可被解析地导出。

单位半径的三维de Sitter时空由如下嵌入关系定义：

这给出了一种简洁的全息纠缠熵计算公式。本节中，我们考虑de Sitter时空的平坦坐标卡（flat chart），并检验两类全息构型下的强次可加性（SSA）——它们分别类比于静态斑块全息（static patch holography）［26］与半de Sitter全息（half de Sitter holography）［27］。
关于向闭合与开放宇宙的推广，参见附录B。

3.1 全息构型
平坦宇宙情形：de Sitter时空的平坦坐标卡（flat chart）由下式定义：

全息设置。正如第2节所回顾的，膨胀宇宙的全息场景可以分为两类。在具有类空边界的全息场景中，例如dS/CFT对应[6]，体和边界不共享时间的概念，因此相应的全息对偶将是非幺正的。另一方面，在具有类时边界的场景中，例如静态块全息[26]和半德西特全息[27]，体和边界共享时间，因此预期其全息对偶是幺正的。由于本文的目的是识别具有标准全息对偶的全息场景，我们主要关注后一类设置，尽管它也适用于前者。另请参见该小节的最后一段。

基于这一动机，我们考虑具有(1+1)维类时边界的全息场景，该边界沿共形时间（η）方向和一个空间方向延伸。在恒定时间η = η*处，边界通过将一维曲线嵌入(r, φ)平面来指定。在本文中，我们研究以下两种对称嵌入类型（另见图1）：

1. 半全息。

第一种类型受半德西特全息[27]的启发，其中边界位于时间η = η*处，沿着一条由...定义的直线放置。

将一个常数 η 切片对半。我们将这种类型称为以下所述的“半全息”（half holography）。 得益于平直宇宙的平移不变性，边界在 x 方向享有平移对称性，因此纠缠熵的二阶导数可用来检验（强）次可加性。

1. 视界型全息（Horizon-type holography）

第二种类型受静态块全息（static patch holography）[26] 的启发，此时边界被放置在时间 η = η∗ 沿一下定义的圆周上。

这里引入一个参数 λ 以便后续使用。当 λ = 1 时，边界与宇宙学视界重合。另一方面，当 0 < λ < 1 和 λ > 1 时，边界分别位于视界内部和视界外部。我们在下文中将这种类型称为视界型全息（horizon-type holography）。得益于平直宇宙的转动不变性，边界在 φ 方向享有平移对称性，因此纠缠熵的二阶导数可用来检验（强）次可加性。

关于类空边界的全息备注如上所述，我们的分析同样适用于具有类空边界的全息场景。例如，假设边界位于由 η = η∗ 定义的类空面上，类似于 dS/CFT 对偶 [6]。如果我们将 y 坐标识别为欧几里得时间坐标，则常数（欧几里得）时间切片对应于半全息的情形。另一方面，如果我们将径向坐标 r 识别为欧几里得时间，则常数时间切片与视界型全息的情形重合。由于全息纠缠熵仅依赖于给定时刻子系统的边界点，以上分析可以不加修改地应用于这些场景1。这一观察同样适用于 dS 全息的开宇宙与闭宇宙情形，以及 FLRW 全息。

3.2 半全息

我们现在计算半全息的全息纠缠熵。我们考虑由区间定义的子系统。

只要子系统区间在事件视界内，它总是正的。因此，半全息场景违反了SSA。另请参见图2，了解全息纠缠熵及其二阶导数的图表。

3.3 地平线型全息

接下来我们研究地平线型全息。我们考虑一个由以下定义的弧上的子系统：

有趣的是，当边界位于宇宙学视界内部时，对于所有φ∗值，该量均为负值；而当边界位于视界外部时，该量为虚数——这一现象最初在[27]中被观察到。因此，我们得出结论：只要边界位于视界上或视界内部，视界型全息就与SSA（强次可加性）相容，至少在我们当前分析的范围内是如此。另一方面，将边界置于视界之外会导致SSA被违反。另请参见图3。

我们对λ = 1的情形进行说明，此时边界恰好位于宇宙学视界上。在这种情况下，全息纠缠熵简单地正比于子系统或其补集的大小：

因此，它的二阶导数除了在时外都消失。这表明，当宇宙学视界被识别为边界时，德西特时空饱和了二阶导数的负性界限，这也饱和了零能量条件。这激励我们将我们的分析扩展到更一般的FLRW宇宙，并探索零能量条件的作用。

4 FLRW全息

在本节中，我们将前文在德西特空间中的分析推广至一般的FLRW宇宙。在4.1–4.3节中，我们对填充有满足恒定状态方程的理想流体的平坦宇宙中的全息纠缠熵进行解析研究。在4.4节中，我们通过讨论与SSA（强次可加性）相容的全息边界可能位置来总结分析。另请参见附录B，其中包含了对闭合宇宙和开放宇宙的相应分析。

4.1 宇宙学设置

一般性。考虑一个三维的平坦FLRW宇宙：

全息纠缠熵是通过将测地线距离除以4G得到的。现在我们的任务是计算积分（4.7）—（4.8）。

对于常数w的解析结果。具体来说，假设宇宙充满了具有恒定状态方程w = p/ε的理想流体，其中ε > 0和p分别是流体的能量密度和压强。那么，尺度因子a(η)满足一个简单的幂律关系（关于FLRW宇宙的基础知识也可参见附录A）。

4.2 半全息性

首先，我们将适用于具有常数 w 的平坦宇宙的解析结果（4.10）应用于半全息性。类似于德西特（de Sitter）情况，我们在直线 上的某个时间处放置边界，并在该区间内取一个子系统。

熵对η的依赖关系是一个简单的幂律（见公式(4.12)），这可以被吸收为整体尺度因子的重新标度。因此，我们取η = ±1而不失一般性。在下文中，我们依次呈现w > 0、-1 < w < 0和w < -1的结果。

减速宇宙 (w > 0)。首先，图4左侧面板展示了减速宇宙(w > 0)中典型的测地线轮廓，表明对于任意r*，都存在一条连接两个边界点的类空测地线。事实上，从公式(4.10)可以验证，子系统大小r*是转向时间η₀的单调函数，并具有渐近行为，

4.3 视界型全息

接下来，我们研究视界型全息。与de Sitter情况类似，我们将边界放置在一个由以下定义的圆上的一个时间 ：

4.4 我们可以将全息边界放在哪里？

总结到目前为止，在具有幂律尺度因子的平坦FLRW宇宙中，我们发现半全息与SSA不兼容，而视界型全息的兼容性取决于边界大小 λ 和状态方程参数 w。SSA在视界型全息中得到满足的必要条件可以根据子系统大小如下描述：

在继续之前，我们简要评论原始的dS/CFT对应关系及其对FLRW宇宙的可能扩展。正如我们在第3.1节末尾所指出的，我们的分析可以直接应用于具有恒定时间 η 的类空边界的全息。特别是，如果将 y 坐标与将是其对偶理论的欧几里得时间坐标等同，纠缠熵与上述半全息中的纠缠熵一致。由于在这种情况下SSA总是被违反，对偶理论不会是标准的QFT。实际上，由于主体和边界不共享时间的概念，预计它是非统一的。虽然探索这样的全息与非标准对偶理论是有趣的，但本文的方法不同：我们通过假设对偶量子场论表现良好来探索全息和宇宙学场景的标准。

4.4.1 一般FLRW宇宙中的短距离行为

为了结束本节，我们分析研究了一般FLRW宇宙中全息纠缠熵的短距离行为。请注意，相比之下，长距离行为取决于整个宇宙历史，因此很难进行一般性研究。

考虑一个一般的平坦FLRW宇宙，并回顾测地线长度的一般公式（4.5）-（4.6）。将它们结合起来，全息纠缠熵读作：

如附录B所示，这一结果同样适用于封闭宇宙和开放宇宙。因此我们得出结论，地平线型全息图仅当全息边界位于或在表观地平线内时才与SSA兼容。这支持了我们的观点，即为了拥有一个标准的对偶量子场论（QFT），全息边界必须位于表观地平线之内。

5 关于物质熵的评论

在我们迄今为止的分析中，我们忽略了物质熵对全息纠缠熵的贡献。在本节中，我们认为只要宇宙中物质内容的流体描述有效，这种近似就是自然合理的。

为了简化，让我们假设子系统比它的补集小（例如，在地平线型全息图中，。那么，几何贡献，即测地线的长度估计为：

正如我们在前一节中所展示的，全息纠缠熵的短距离行为足以得出结论：半全息和λ>1的水平型全息与SSA不相容。因此，无论临界长度L的具体数值如何，这一结论都不受物质熵的影响，因为我们总可以选择L远小于给定的L。

接下来，让我们考察临界长度L*，以阐明我们的分析对长距离子系统适用性。为具体起见，让我们考虑一个充满理想流体的平坦宇宙。根据标准热力学，熵密度遵循如下关系：

只要流体温度在宇宙的局部区域中是良好定义的，上述关系自然成立。因此，我们得出结论：物质熵可忽略不计，且我们的分析至少在一大类宇宙学情形中是适用的。

需要指出的是，在现实的宇宙学背景下，物质部分通常由多种具有不同温度的流体组分构成。值得注意的是，熵的主导组分未必与能量密度的主导组分相同——这使得前述基于单一组分的简化估算不再成立。例如，在我们当前的宇宙中，辐射成分（如宇宙微波背景与中微子背景）对总能量密度的贡献虽可忽略，却仍是熵的重要来源。此外，暗物质晕，以及与黑洞和宇宙学事件视界相关的贝肯斯坦–霍金熵，也被探讨为宇宙中可能的主导熵源［61, 62］。进一步探究在物质熵主导源对能量密度贡献可忽略的情形下，前述结论将如何被修正，是一件颇具意义的工作。对这类多组分系统的详细分析，我们留待未来研究。

6 结论

本文研究了三维弗里德曼–勒梅特–罗伯逊–沃尔克（FLRW）宇宙中的Ryu–Takayanagi曲面（即测地线）。我们考察了体时空中的两类全息场景——半全息（half holography）与视界型全息（horizon-type holography），并在某一固定时间切片上定义了一个子系统。为探查边界可能的定位方式，我们利用了纠缠熵的强次可加性（strong subadditivity, SSA）条件。

我们的分析表明：在半全息情形中，强次可加性普遍被破坏；而在视界型全息情形下，只要全息边界位于表观视界（apparent horizon）之上或之内，强次可加性即可得到满足。进一步地，对于充满满足恒定状态方程 w < − 1 的理想流体的宇宙，该条件被进一步加强：全息边界必须位于事件视界（event horizon）内部。

换言之，在假设零能量条件（null energy condition）成立（即 w > − 1
）的前提下，一种自然的全息构型是：视界型全息，且其全息边界置于表观视界上或其内部。

原文链接： https://link.springer.com/article/10.1007/JHEP08(2025)115