李永乐的统计物理基础课

导语

集智学园联合上海大学理学院教授、知乎“物理学”话题优秀答主李永乐，共同推出「统计物理基础」系列课程。课程以热力学和经典力学为起点，依次展开 Boltzmann 统计、系综理论、量子统计、相变与非平衡统计等核心内容，围绕一个核心问题展开：大量微观粒子的随机运动如何涌现出稳定的宏观定律？本课程强调物理图像与方法论，帮助你建立清晰的微观—宏观统计思维，掌握处理多粒子系统和复杂随机过程的一套通用工具。

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引入

明师难觅

对于一门面向跨学科研究者的统计物理课，授课老师必须同时满足两点：一是真正懂物理、做过一线科研；二是能把抽象理论讲到跨领域的人也能拿来用。

上海大学理学院物理系副主任、知乎“物理学”话题优秀答主李永乐教授，正处在这两个圈的交集。他长期从事原子分子物理、量子动力学与统计物理等方向研究，是学校量子科技团队骨干，也常年担任大学物理、统计物理、Python数值计算、物理中的机器学习、高等原子分子物理学等课程教学。

在知乎等平台，他围绕统计物理、计算物理和量子理论持续输出高质量答疑，累计获得 41 万＋赞同、19 万＋关注，是理工科领域兼具科研深度与科普能力的创作者之一。

因此，这门「统计物理基础」课程，由集智俱乐部特别邀请李永乐老师共同开发与主讲。

为什么关心统计物理？

在物理学的内部视角里，统计物理关心的是：

当一个系统由海量自由度构成（粒子、细胞、个体、节点……），在只知道局部规则和少量约束的情况下，其宏观物理规律是什么样子的。

如果你把“粒子”换成其他对象——神经元、公司、城市、模型参数、网络节点，你会发现，你研究的，其实也是一个多自由度系统。只是你给它起了别的名字：神经网络、经济模型、生态动力学、群体行为分析等。

从跨学科研究者的视角，统计物理提供的是一套“高层结构语言”，例如：

• 用「状态–能量–分布」来重写模型：状态空间 = 所有可能的情况；能量/代价函数 = 你在优化的目标；分布 = 在噪声和约束下系统的各种可能的状态，以及它们出现的规律。

• 学会区分：平均行为 / 涨落 / 结构：什么时候只看平均值就够？什么时候涨落本身在讲故事？什么时候出现多稳态、临界、玻璃化？

• 用「相图」的眼光看问题：不再只在一个参数点上调参，而是问：在整个参数平面上，这个系统有多少种“相”，而我研究的对象落在哪一块？

很多复杂系统之所以“感觉很复杂但说不清”，往往不是现象太玄，而是缺少一套合适的结构语言。系统学过统计物理之后，你会发现自己多了一整套可复用的图景和工具：知道该看什么量、在哪个尺度上看、如何把“复杂”翻译成可以分析和计算的对象。这也是为什么，统计物理常被视为复杂系统研究者的框架语言。

一个例子：机器学习中的能量景观

先从很多人最熟悉的一件事说起：训练模型。

你有一大堆参数；有一个损失函数；用 SGD、Adam 在一个超高维空间里往下爬，想找到一个好解。

平时我们会说：在做优化、在找局部极小、在调学习率和正则。

统计物理会把同一件事换一种说法：

• 把参数的一个取值组合看成系统的一个微观状态；

• 把损失函数看成这个状态的能量，高损失 = 高能量，低损失 = 低能量；

• 把整个训练过程，看成在一片起伏不平的能量景观上随机行走。

学习率、batch 噪声、不确定性，扮演着类似温度的角色：温度很低时，系统容易被锁在某个深坑里；温度稍高一点，就更容易在不同盆地之间跳来跳去，最终停在既足够低、又足够宽的谷底。

在这个视角下，一些你熟悉但难以讲清的问题，会被重新组织：

• 为什么大模型到处是局部极小，反而不容易严重过拟合？

• 为什么加一点噪声、正则，反而训练得更好？

• 为什么不同随机初始训练出来，效果看起来差不多？

你不需要背公式，只要掌握几件事：能量/自由能景观的图像、平衡与非平衡过程的区别、以及相图、相变的直觉——你原来靠经验积累出来的那些调参手感，就可以被翻译成一套更有结构的语言。

同样的类比还能映射到：细胞命运决策、生态系统多稳态、社会极化与舆论集体行为……

这类跨学科案例，正好展示了同一套统计物理模型如何落在不同对象上——这也正是统计物理在跨学科研究中的重要作用。

最后，这门课程适合谁？

• 你已经学过概率论、统计，做过建模或数据分析；

• 你研究的对象本质上是“很多个体、很多维度、很多相互作用”的系统；

• 你知道“复杂”，但缺一个足够坚固、够抽象、又能落地的“统一语言”来组织自己的直觉。

如果你在生命、智能、生态、经济、活性物质、AI 等方向长期发展，统计物理就是你迟早要补的一块底层结构。

在这样一个面向跨学科研究，由长期做教学与科普的物理老师来讲的系统课程里，会提供一个好的学习路径。

课程主题：统计物理基础

系列课程简介

“当你请一位物理学家研究一张桌子，这位物理学家会先建立出只有一条腿的桌子的理论，再建立无穷条腿的桌子的理论，然后穷尽其毕生精力，来尝试提出具有有限条腿的桌子的理论”

当自由度多到“数不过来”时，物理学家会如何处理？当运动是随机的、结果却近乎确定时，这中间到底发生了什么？

我们的统计物理系列课程围绕这样一组问题展开：

• 大量随机运动着的弱相互作用的“粒子”，如何生成稳定的宏观定律？

• 什么是熵？“熵增”和不可逆性到底意味着什么？

• 什么是系综？为什么可以用统计平均替代时间平均？

• 微正则、正则、巨正则有何区别，又为何在宏观上几乎等价？

• 粒子“全同”如何改变统计规则，迫使我们走向量子统计？

• 相变临界涨落与非平衡过程中的随机演化，有怎样的内在统一？

统计物理的核心，不是多记一批公式，而是学习一套在“大系统”面前仍能保持清醒的语言：如何在微观层面用相空间、系综和概率分布刻画一个体系；如何在宏观层面用热力学势、熵和序参量提炼出少量有效变量；以及如何在二者之间建立可演算、可解释、可推广的联系。

本系列课程训练学习者从已知的微观模型出发，建立宏观物理量的能力，并从统计物理的观点重建热力学。手段是力学中的相空间，引入相空间中的相密度，建立系综的概念，用配分函数统一生成热力学量与涨落，以三种常用的系综为例子，训练学习者在不同物理情景下选择合适系综和控制变量的能力。在此基础上，简介量子统计，介绍如果研究的系统具有量子性，应当如何思考统计物理问题，以及经典极限如何从量子描述中自然涌现。

非平衡统计物理远远没有完善。本课程最后我们将以相变与非平衡统计中的若干常用理论为窗口，展示统计物理的现代视野：临界点附近的强涨落和长程关联，如何通过临界指数、标度律与重整化群获得“普适”的刻画；布朗运动、朗之万方程和 Fokker–Planck 方程，又如何让研究者能够了解最终必然走向平衡的一类“没有远离平衡”的非平衡过程。平衡与非平衡、经典与量子、宏观定律与微观随机，在这里被写入同一套统计物理的思维框架。

学习完本课程，你应当不仅能解题，更能在遇到新系统时，迅速判断：哪些是关键自由度？哪些是有效宏观量？该选哪一种系综和近似？应当如何从统计物理的角度思考问题？统计物理在此不只是解释热现象的一门理论，而是一种在高维复杂世界中组织信息、发现结构、提炼规律的方式。

课程大纲

课程讲师

李永乐，现任上海大学理学院物理系副主任、教授、博士生导师，上海市“青年东方学者”，主要从事计算原子分子物理研究，涵盖量子动力学、化学物理、分子铁电及人工智能量子蒙特卡洛等领域。2002-2006年就读于天津大学应用化学专业，期间在山东大学化学院交流，2006-2011年获南京大学理论化学博士学位，2012-2015年先后于新墨西哥大学、纽约大学从事博士后研究。2019-2021年访问加州理工学院13个月。开设“玩转量子世界”在线科普课程。长期讲授大学物理、统计物理、计算物理等课程。

个人官方主页：https://physics.shu.edu.cn/info/1082/1166.htm 知乎主页：https://www.zhihu.com/people/yongle-li-86

课程目标

1. 建立清晰的微观—宏观对应物理图像，掌握热力学分析与求解问题的基本思路和基本方法。

2. 熟练掌握 Boltzmann 统计方法，并能在近独立子系模型中灵活应用，理解 Boltzmann 的核心科学思想。

3. 在经典力学框架下引入相空间与系综理论，系统掌握经典统计力学的三种典型系综及其应用，能够描述几乎无相互作用的热平衡系统。

4. 结合量子力学与系综理论，引入密度矩阵表述，掌握量子统计力学的基本结构及典型应用。

5. 理解相变与临界现象的基本概念与主要理论方法，认识其中的普适性思想。

6. 理解非平衡统计物理的基本概念与主要理论方法，初步掌握典型模型与分析工具。

课程特色

1. 概念清晰、习题精选：老师主导的系统教学。李永乐老师亲自设计每讲内容，系统讲解核心概念与关键推导，并精心挑选典型习题，帮助你迅速从“听懂”到“会用”。

2. 课后模板化复盘：助教辅助结构化学习。助教课后提供统一的复盘模板，包括核心关键词、关键公式、物理图景和知识迁移场景，引导你高效完成结构化复习和笔记整理。

3. 强化物理图景与直觉：“不止会算，更要看见”。课程突出物理图像与简单模型，通过气体分子、谐振子、自旋、量子气体等直观案例，训练你对统计物理的直觉与物理思维，而非单纯的公式计算。

4. 问题驱动教学：与真实研究场景紧密结合。以“复杂系统为什么难建模？”、“如何描述开放系统？”、“临界现象意味着什么？”等真实问题为导向，自然过渡到非平衡与复杂系统的深入探索，为你未来的研究奠定坚实基础。

课程详情

1、宏观热力学量之间的关系？——热力学量、热力学基本定律、麦克斯韦关系、特性函数

当我们谈论“温度、压强、自由能”时，其实是在和无数看不见的自由度打交道。但真实的实验总是只引用系统的少数宏观热力学量。本节课程总结将会在整个课程之内应用到的热力学知识，帮忙建立知识体系。特性函数与热力学势，是针对不同控制条件选取的“坐标系”；麦克斯韦关系与 Gibbs–Duhem 方程，则在这些坐标系之间织出隐含的约束网络。

通过本节，你需要习惯的不是背公式，而是在具体物理情景下选择合适的热力学势，运用麦克斯韦关系与基本关系式，透过茫茫公式，把看似杂乱的问题化为可计算、可直观理解的结构。

课程重点：

1. 热力学特性函数及其基本关系式

2. 积分因子与熵的热力学定义

3. 麦克斯韦关系

4. 多元系的热力学基本关系式

5. 欧拉齐次函数定理与Gibbs-Duhem方程

课程难点：

1. 根据问题，选取热力学特性函数，通过麦克斯韦关系推导出相关公式，计算热力学量。

2、熵究竟“数”的是什么？——热力学的统计基础

宏观上，一个平衡态只需温度、压强等少数量描述；微观上，同一宏观态却对应大量粒子排布。本节从宏观态与微观态入手，介绍“前统计力学”也就是十九世纪的统计方法，引入微观状态数 W 及其计算方法，借助 Boltzmann 统计推得熵的公式 S = klnW，理解熵究竟“数”的是什么。以经典理想气体为例，我们把状态方程与微观分布联系起来，并通过混合熵与 Gibbs 佯谬的分析，看清粒子不可分辨性的角色，从而把热力学中的熵与统计物理图像对应起来。本部分内容虽然只适用于理想气体，但却是统计力学讨论问题的起点。而且在其他离散概型以及独立同分布随机变量描述的问题中，也因为方法简单、直观，具有广泛应用。

课程重点：

1. 微观状态数

2. Boltzmann统计法

课程难点：

1. 熵的统计物理意义

2. 熵的统计公式

3. Gibbs佯谬

3、多体系统的状态如何描述？——相空间与系综理论基础

宏观上，一个经典物理的多体系统由温度、压强、体积等宏观物理量刻画；微观上，该系统可以描述为一个在高维相空间中运动的相点。本节从经典相空间和相轨迹出发，引入 Liouville 定理，说明相流“不可压缩”，为在相空间上讨论概率分布奠定基础。随后建立系综与微正则系综的概念，以自由粒子、谐振子等典型系统为例，讲解相空间体积和相格大小的计算，把经典物理的状态计数与经典相空间联系起来。最后讨论遍历假设，在何种条件下可用系综平均替代时间平均，从而把相空间图像与实际测量结果统一起来。

课程重点：

1. 相空间

2. 相格大小

课程难点：

1. 系统概念

2. 遍历假设

4、如何描述恒温系统？——正则系综与配分函数（2次课程）

当系统具有确定的温度、压强等宏观物理量，而不是总能量的时候，能量不再守恒。此时如何运用统计物理的思想讨论宏观热力学量？本节从恒温热平衡出发，引入正则系综中能级概率的 Boltzmann 分布形式，以配分函数Z为核心，讲解如何通过统计方法，如何从微正则系综出发，获得系统的内能、熵、压强等宏观热力学量，并讨论较严格的鞍点近似法推导。

对经典体系，我们用理想气体与谐振子为例，具体展示正则系综的构造及能量涨落，并在此基础上推导能均分定理和 Virial 定理，说明每个自由度“平均分得”能量的严格含义。进一步通过顺磁性和具有能谱上界的系统，引出负温度的统计描述，使恒温系综下的能量分布图像更加完整。

课程重点：

1. 正则配分函数

2. 能均分定理、不同系综中的熵表达式

课程难点：

1. 典型系统的正则系综描述

2. 鞍点法求解统计物理问题。

5、粒子数不再固定，会发生什么？——巨正则系综与开放体系

在前面两种系综中，体系的粒子数始终固定；而许多实际系统，如吸附、化学反应、开放量子体系中，粒子可以由环境进入或离开系统，而总粒子数并不确定，粒子数本身就是涨落量。

本节从与热源和粒子源共同构成热平衡的开放体系出发，建立巨正则系综中对系统的描述，用化学势来讨论粒子数的统计特性，并通过巨正则配分函数统一生成平均能量、平均粒子数及其涨落等统计量。以理想气体和谐振子为例，我们给出具体的巨正则构造和能量、粒子数扰动的分析。最后系统比较微正则、正则与巨正则三种系综的关系，说明在适当的极限下它们给出等价的宏观热力学结果，并讨论巨正则配分函数计算中的典型技巧与难点。

课程重点：

1. 三种系综的关系

课程难点：

1. 巨正则配分函数的计算

6、考虑量子效应以后，统计规则如何改变？——量子统计基础与简单气体

经典统计把粒子当作可区分的“小球”，并认为能量可以连续变化。但在量子力学中，全同粒子的态空间与计数方式发生根本变化。本节在系综理论的量子化基础上，引入密度矩阵作为统一描述，分别给出微正则、正则和巨正则三种量子系综的表述，并从单粒子密度矩阵出发，讨论自由粒子、谐振子以及磁场中电子等典型体系。随后转向由全同粒子构成的系统，推导自由粒子气体在量子系综中的密度矩阵与配分函数，引出平均占据数的概念，说明考虑粒子的量子全同性之后的 Bose / Fermi 统计与经典 Maxwell–Boltzmann 统计在占据数上的本质差异，并简要讨论分子内部运动中的量子统计效应，为后续具体量子气体模型奠定基础。

课程重点：

1. 密度矩阵

2. 平均占据数

课程难点：

1. 粒子全同性的统计效应

7、相变与非平衡现象如何描述？——相变与非平衡统计初步

在相变临界点附近，水沸腾和磁体消磁这类现象都表现出强涨落和长程关联，空间结构不再简单。本节首先通过引入序参量、临界指数和标度律，刻画临界现象中的普适性，并用重整化群的粗粒化思想勾勒其理论框架。随后讨论非平衡统计物理，以布朗运动为例，引入朗之万方程、Fokker–Planck 方程和主方程，说明如何用概率分布的演化来描述非平衡体系。通过对比空间中的临界涨落与时间中的随机演化，初步体会关联函数在平衡与非平衡统计中的统一作用。

课程重点：

1. 序参量与临界指数

2. 布朗运动简单描述

课程难点：

1. 重整化群的概念

2. 非平衡统计中的关联函数概念

推荐参考教材

• 刘川，《热力学与统计物理》，北京大学出版社，2024年。这本书是标准的二十一世纪的观点的统计物理教程。内容比较“干”，缺乏相关的例子。类似朗道《力学》，好处是快速掌握本课程的主线，不足之处是学习完毕难以获得解决具体问题的技能。

• 卢文发，《量子力学与统计力学》，上海交通大学出版社，2013年。为了教大2非物理系学生量子力学和统计力学所写，但是并没有削足适履，而是仅基于高数和大学物理的基础，把相关的知识都补进去了。好处显而易见，需要补的课都在书里，不需要再另买数学物理方法、经典力学、电动力学等教材，就可以快速把握量子力学与统计力学的脉络。网上还有200小时公开课：https://www.bilibili.com/video/BV134411Y7dZ/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click

• 秦思学，《统计物理简义》。秦老师的书的最大优点，是全彩印刷，图片都是自己精心制作的。大量的示意图让读者更容易理解抽象概念。特别是172页总结统计力学的解决问题思路，跟我给学生手画的一样（画之前还没看到这张图），颇有大呼“英雄所见略同”、惺惺相惜之感。但相应的缺点也有，许多数据没有标明出处，过于自治（self-conteined），无法给学生启发，让学生探索各种真实数据的来历。还有一些图片的参数没有给出，不利于学生自行绘制插图。要知道，现在的学生一般大一就学习了Python，Matplotlib大多数人都会，好多同学颇喜欢自己重制书中的插图。应当给他们机会。书中也必然涉及到许多聪明的读者喜欢刨根究底的内容，如“经典相空间的点为何有单位大小”之类的问题。很可惜，书中没有给出答案和“藏宝图”。这是不大舒服的阅读体验。很可能跟我从高中开始，阅读过不少北大教材，如彭桓武的《理论物理基础》，会在关键的地方给出关键的引用，以及一些历史经典文献；而秦老师参考的W. Greiner（有一段只有Greiner书上有，被我发现了），也适当给出了关键的深入阅读文献。但瑕不掩瑜，秦思学老师的量子统计两章是我至今见到的最完善的内容了。刘川老师的灰皮《热力学和统计物理》失之简略，其他的书详略不当，且量子统计没有给予正常的地位，大都放在“Boltzmann统计法的B-E分布和F-D分布”里边讲。这本书的“量子统计”包含两章，前一章较为充分地讨论了量子统计的一般思路，并讲授了密度矩阵入门；后一章包含了流行的应用举例，非常适于复习和考试使用。书里的插图也较为完善，除了一些比较冷门的图如“量子理想气体的化学势与温度关系图”之类，该有的基本上都有了。但还是非常大的遗憾：数据没有标明出处、没有提供合适的进阶阅读材料。

• J. P. Sethna, Statistical Mechanics: Entropy, Order Parameters, and Complexity , 2nd Edition, Oxford University Press,2021. 内容丰富且现代，比如说Quantum Boltzmann Statistics这个文献里常用的用语，我在别的地方找不到，只有这本书里有。2022年第二版新增100道自己精心设计的习题。

• R. K. Pathria and P. Beale, Statistical Mechanics, 4rd Edition, Academic Press, 2021. 内容比较全面，讲解比较细，实际上是一本研究生级别的教材，初学者可以参考，不建议主攻这本书。而且Pathria毕竟不是全面的大物理学家，有些部分他自己不做的就是抄别人的书了。比如Virial定理部分抄了《Theory of Simple Liquids》。非平衡部分，布朗运动写的较细，但是从Master equation推Fokker-Plank方程时又开始省略大段推导，估计是又不擅长了。相变写的比较冗长，不如阅读马上庚的《相变与临界状态现代理论》入门快。偏向凝聚态理论、量子光学方面应用的统计物理的内容写的不够细致。好在第四版中，合作者Beale是做AMO方面的，添加了eigenstate thermalization, many body localization, Jarzynski等式等现代内容。目前量子统计讲的最好教材的就是这本书了。

• Swendsen, An Introduction to Statistical Mechanics and Thermodynamics, Oxford University Press,2012，基础概念讲得清晰，适合入门。

• Mehran Kardar, Kardar, Statistical Physics of Particles, Cambridge University Press,2007，详略得当，非常轻松的入门教材。虽然是给研究生上的，但目前由于美国的大学讲究博雅教育（liberal art），美国的研究生院开出的课程，难度一般只比比国内本科稍高一点。

• Mehran Kardar, Statistical Physics of Fields, Cambridge University Press,2007 这部分是真正的研究生难度，观点现代，值得参考。

• Werner Krauth, Statistical Mechanics: Algorithms and Computations, Oxford University Press,2006 这本书在Coursera上有配套的课程，强调计算机模拟，学习这套课程同时可以获得扎实的Python编程计算技能，一举两得。

• Kerson Huang, Statistical Mechanics, 2nd Edition, 1986，是一本标准的热力学和统计力学教程，但内容比较老。具体例子和一些推导细节值得参考，不建议第一次学习使用。

• 其余的书如王竹溪、汪志诚、Greiner、李政道等等，内容陈旧，用语已经不是二十一世纪科研文献中普遍使用的了。书中一些例子值得参考，特别是李政道作为李-杨相变理论的创始人之一，讲解自己的理论肯定是最好的参考，但不建议采用这些书来进行入门学习。还有的书内容很好，但偏抽象，难度较高，是研究生级别的参考书。有经验的学习者自然可以获得更高的观点，如Brian Cowan、Barry McCoy、Daniel Mattis、Franz Schwabl的等等，但对于初学者不建议阅读。

课程适用对象

1. 需要用统计物理做研究的理工科学生与研究者

   1. 物理、材料、天文、计算科学、工程、生命科学等方向的高年级本科生、研究生或科研人员；

   2. 在工作中会接触到多粒子系统、热力学、相变、复杂系统、非平衡过程等问题，希望系统补齐统计物理基础；

   3. 具备基础高等数学与经典力学知识（微积分、线性代数、常微分方程），对概率论/热力学有初步了解更佳。

2. 对“微观如何构成宏观”有强烈兴趣的学习者

   1. 想搞清楚温度、熵、自由能、相变、临界现象等概念背后真正含义，而不仅停留在公式操作的人；

   2. 对气体动理论、系综理论、量子统计等主题有兴趣，希望建立整体物理图景。

3. 愿意用理论连接现实问题的学习者

   1. 希望将统计物理方法迁移到自己关心的对象上（如材料、气候、活性物质、生态/金融系统、模型训练等）；

   2. 乐于在课堂中提出问题、参与推导与讨论，不满足于“会做题”，而希望获得可复用的思维与直觉。

报名须知

1. 课程形式：腾讯会议直播，集智学园网站录播。本系列课程不安排免费直播。

2. 课程周期：2025年12月15日-2026年2月2日，每周一晚18点-20点进行。

3. 课程定价：原价799，早鸟价639，早鸟优惠截止到2025年12月15日中午12点。

扫码付费报名课程

课程链接：https://campus.swarma.org/v3/course/5648?from=wechat

付费流程

2. 课程页面添加学员登记表，添加课程负责人微信入群；

3. 课程可开发票。

课程奖学金机制

1.途径一：参与字幕工作任务

为了鼓励学员深度参与、积极探索，形成系列化知识传播成果，构建课程知识共建社群。我们设立了激励机制，让您的学习之旅充满收获与成就感。

在每期课程结束后，我们会发布课程共创任务，学员通过完成共创任务可以加深对课程内容的理解，在完成共创任务后，学员也可以获得积分奖励，积分可用于兑换其他读书会课程、实物奖品。积分累计达到500元，可以申请提现。本系列课程的共创任务为字幕任务，具体为：在每期课程录播上线集智学园后，人工校对AI识别的课程视频字幕，字幕任务会在课程群进行发布。

2.途径二：发布高质量课程笔记

在集智斑图网站（pattern.swarma.org）完成本课程体系下某个方向的总结文章或学习路径。经集智学园助教团队评定认可后，可作为一条贡献。一条贡献奖励200元奖学金，质量优异的内容，会有浮动奖励。可参考：

3.途径三：招募课程助教1名

付费报名课程后，联系负责人微信申请课程助教。经沟通，成为正式课程助教，完成课程助教任务，在课程结束后退全额学费。