清华校友王志涵与合作者在高维普拉托问题上取得关键突破，证实十一维空间中肥皂膜曲面普遍光滑

在数学与物理学中，肥皂膜形成的极小曲面一直是引人入胜的研究对象。19世纪，比利时物理学家约瑟夫·普拉托通过将金属丝框架浸入肥皂水观察薄膜形成，提出了经典的普拉托问题：对于任意闭合曲线，是否存在以该曲线为边界且表面积最小的曲面？直到20世纪30年代，数学家杰西·道格拉斯与蒂博尔·拉多才独立证明这一问题的存在性，道格拉斯也因此成为首位菲尔兹奖得主。

然而，随着研究深入，数学家发现当问题进入更高维空间时，极小曲面可能出现奇点——即曲面发生折叠、收缩或自交的非光滑点。1968年，吉姆·西蒙斯在八维空间中构造出带奇点的极小曲面，打破了“极小曲面必光滑”的认知。尽管1985年数学家罗伯特·哈特与莱昂·西蒙证明八维空间中的奇点可通过微调边界消除（即“通用正则性”），但更高维度的进展在此后近40年间陷入停滞。

这一僵局于2023年被打破。斯坦福大学奥蒂斯·乔多什、莱斯大学克里斯托斯·曼图利迪斯与华威大学费利克斯·舒尔茨合作，首次证明在九维和十维空间中，光滑极小曲面仍是普遍现象。2025年，团队进一步与康奈尔大学博士后研究员王志涵合作，将结论推进至十一维空间。

王志涵是一名优秀的青年数学家，他于2014年从山东省实验中学考入清华大学数学科学系，2018年本科毕业后赴普林斯顿大学攻读博士学位，师从著名微分几何学家费尔南多·科达·马奎斯。在2023年获得博士学位后，他先后于芝加哥大学、康奈尔大学从事博士后研究，主要研究方向为微分几何与几何分析。

团队在十一维空间中的证明面临独特挑战。曼图利迪斯指出：“高维空间中的奇点类型复杂多样，就像一个奇点动物园，任何成功的论证必须足够广泛以覆盖所有情况。”王志涵的专长正是处理高维奇点的分析，他与团队合作改进了名为“分离函数”的工具，通过量化奇点间距离，证明适当扰动边界可使奇点消失。这一方法克服了此前技术在十一维空间中对特定三维奇点无效的局限。

这项成果被学界视为几何分析领域的重要突破。斯坦福大学教授布莱恩·怀特评价：“他们将我们的理解拓展了几个维度，这真是太棒了。”该结论不仅解决了普拉托问题在高维情形的悬疑，更为其他数学领域提供了工具，例如广义相对论中的正质量定理——其证明曾依赖极小曲面的光滑性，此前仅适用于七维及以下空间。

在数学物理领域，这项突破具有深远意义。正能量定理是广义相对论中的核心结论，断言宇宙的总能量必为正。1970年代，Richard Schoen与丘成桐利用最小化曲面在七维及以下给出了证明；2017年，他们又把结果推广到所有维度。如今，关于普拉托问题的新进展为九、十、十一维提供了另一条验证正质量定理的途径，为理解宇宙的基本规律提供了新的数学工具。

尽管十一维空间的突破标志着巨大进步，但更高维度的普拉托问题仍待探索。舒尔茨坦言：“要进入十二维及以上空间，我们需要全新的数学工具和思路。”数学家们期待，这一突破性方法还能应用于材料科学、相变理论等更多领域，比如解释冰的融化过程或其他物理系统中的界面现象。

无论未来结果如何，这项研究已为数学与物理学的交叉领域打开新的可能性，展示了基础数学研究在解释自然现象中的持久生命力。

文章来源：水木TsinghuaCent。