当波动率无穷大时，期权该怎么定价？

在期权交易的世界里，波动率是一个极为关键的因素，它反映了标的资产价格的波动程度。当波动率变得无穷大时，期权的定价情况会变得十分特殊，下面我们就用通俗易懂的方式来聊聊这个问题。

一、借助BS公式思考

在期权定价领域，有一个著名的布莱克 - 斯科尔斯（BS）公式，它就像是一个神奇的“定价法宝”，能帮助我们计算期权的理论价格。当遇到波动率无穷大这种极端情况时，我们依然可以借助这个公式来寻找答案。

二、普通欧式期权在利率为0时的极端情况分析

我们先来考虑一种常见的普通欧式期权，假设它的执行价格（strike）是K，并且市场利率为0。因为波动率无穷大，这意味着标的资产（underlying，其价格为S）的价格变化范围会变得极其巨大，就像坐过山车一样，完全没有规律可循。为了方便理解，我们用一个简单的一步二叉树模型来分析，代表了标的资产价格可能出现的两种极端情况。

1.看涨期权（call）的价格情况

情况一：标的资产价格S = ∞

当标的资产价格涨到无穷大的时候，对于看涨期权来说，这简直就是“天上掉馅饼”的好事。因为看涨期权赋予了持有者在到期时以执行价格K买入标的资产的权利，当标的资产价格无限高时，这个权利就变得无比珍贵，所以此时看涨期权的价格也会无限大，也就是∞。

情况二：标的资产价格S = 0

反过来，如果标的资产价格跌到了0，那么看涨期权就变得毫无价值了。因为就算持有者有权利以执行价格K买入，但标的资产本身都不值钱了，这个权利也就一文不值，所以此时看涨期权的价格为0。

综合这两种极端情况，我们可以发现，无论标的资产价格怎么变化，看涨期权的价格总是和标的资产本身的价格S保持一致。这就好比一个随行就市的商品，它的价格完全跟着标的资产的价格走。

2.看跌期权（put）的价格推导

知道了看涨期权的价格情况后，我们还可以利用一个重要的期权定价关系——看跌 - 看涨期权平价关系（put - call parity）来推导看跌期权的价格。这个关系就像是一个数学等式，把看涨期权和看跌期权的价格联系在了一起。

根据这个关系，结合我们前面得到的看涨期权价格总是等于标的资产价格S的结论，经过一番简单的数学运算，就可以得出看跌期权的价格等于执行价格K。这就好比说，当波动率无穷大时，看跌期权的价格就像被固定在了执行价格这个“锚点”上。

三、特殊情况下的简单结论

在实际分析中，当波动率无穷大时，我们还可以得到一些更直观的结论。对于看涨期权来说，它的价格就等于远期合约的价格。远期合约就像是双方约定在未来某个时间以特定价格买卖标的资产的协议，而在这个极端波动情况下，看涨期权的价格和远期合约价格重合了。

对于看跌期权，它的价格就等于执行价格K的现在价值。因为市场利率为0，现在价值就等于K本身，这和我们前面通过看跌 - 看涨期权平价关系得到的结果是一致的。

当波动率无穷大时，期权定价会出现这些特殊情况。不过在实际的金融市场中，波动率几乎不可能真正达到无穷大，但了解这种极端情况有助于我们更深入地理解期权定价的原理和机制。