《人类科学技术史-104》印度古代后期的数学

印度古代后期的数学

古代印度也是世界文明的发源地之一，曾对人类文明作出过不可磨灭的贡献。在古代后期，印度文明进一步发展，在数学上的突出成就是对数码的完善和阿耶波多第一对三角学的卓越贡献。

1.印度数码的完善

现代国际上通用的阿拉伯数码最早是由印度人发明的，它的发明有一段漫长而复杂的历史。

最初印度人用梵文(印度古代文字）的字头表示数码，即早在公元前2500年前后出现的"哈拉巴数码"。

公元前后，古印度则通行起卡罗什奇数码和婆罗门数码。

公元5世纪后印度数码中已明确出现了零的符号，使记数逐渐演变为十进位值制。

8世纪以后，则演变为"德温那格利"(Devanagri)数码，零号是印度人的卓越发明，没有零号，就没有完整的位值制记数法，这种记数法能用简单的几个数码表示一切数。世界上也有不少民族懂得零的道理，然而进行系统地研究、处理和介绍零，还是以印度人的功劳最大。

公元773年，巴格达城的印度天文学家，开始把印度的天文学及数学书籍译成阿拉伯文，使印度的数码传到中亚细亚和西亚。当时印刷术还没有发明，书籍全用手抄，字体因人因地而异，出入很大。

12世纪之初，欧洲开始将大量阿拉伯文的数学书籍译成拉丁文。意大利的斐波那契是当时最出色的学者，他用拉丁文写成《算盘书》，将印度的阿拉伯数码和记数制度介绍给欧洲人，书的开头说："印度的九个数目字是9、8、7、6、5、4、3、2、1，用这九个数字以及阿拉伯人叫做Sift(零）的记号0，任何数都可以表示出来"。当时这些数码和现代的写法仍然有很大的差别。

印度数码传入中亚细亚时，梵文的空(Sunya)被译成阿拉伯文Sifr，传入欧洲后变成拉丁文Zephirum，以后再变成英文的零字Cipher和Zero。欧洲人只知道这些数码从阿拉伯人传来，故称之为"阿拉伯数码"。以后，中国的印刷术传到欧洲，在1480年英国的卡克斯敦(1422-1491)出版的印刷本书籍中，数码已相当接近于现代的写法。

到1522年，英国同斯托(1474-1559)的书才和现在的写法基本上一致，以后逐渐固定下来。

阿拉伯数码传入中国，最早是在13、14世纪，但迟迟不被采用。到1859年伟烈亚力和李善兰合译《代微积拾级》一书中，将常数A、B、C、D译成甲、乙、丙、丁；X、Y译成天、地；阿拉伯数码译成一、二、三、四等。

中国迟迟不采用阿拉伯数码，主要原因可能是中国自古以来使用筹算式数码记数法，也是十进位制，汉字数码和阿拉伯数码相比，后者并未先进多少。而欧洲中世纪用的是罗马字母非位值制记数法，冗长笨拙，和阿拉伯数字相比则落后许多，故容易接收。

2.阿耶波多第一

阿耶波多第一(约公元476-550年）是我们知道的印度最早的数学家，生于恒河南岸的巴连弗邑，在今印度东北部比哈尔邦的巴特那市。公元494年写成《阿耶波多文集》，是对自己一生成就的总结，该书已失传。近年来又发现《阿耶波多历数书》，包括《天文表集》、《算术》、《时间的度量》、《球》等部分，共有诗121行，其中两篇论数学，分别论述了记数法、整数的运算法则、自然数平方、立方和公式、分数的约分和通分法则、三率法、算术数列、三角垛等算术问题、假设法、逆形法和特殊的线性方程组解法及一次不定方程(组）的解法。

阿耶波多指出圆周率之值为："100加4再乘8，再加62000，就得到直径是20000的圆周长近似值。"及π=(104*8+62000)/20000。

阿耶波多对三角学的贡献很大。他制作成一个正弦表，依照巴比伦和希腊人的习惯，将圆周分为360度，每度分为60分，整个圆周分为21600分。再由2πr＝21600，可得半径r＝3437.746，略去小数部分，取近似值r＝3438，依次计算第一象限内每隔3°45＇的正弦长。如sin30°＝1719，sin45°＝2431等。这和希腊的托勒密明显不同。阿耶波多默认曲线与直线可用同一单位来度量。托勒密对这一点则犹豫不决，他定半径为60个单位，是沿用60进位制的习惯，和圆周长没有关系，也就是说，量弧长和量弦长、量半径的单位是不同的。但印度人则认为圆弧与弦长应用同一单位来度量。整个圆周是21600个单位(分），那么半径就应该是3438个单位。这里包含着弧度制的思想。弧度制的精髓，就是统一度量弧长与半径的单位。

印度人和希腊人另一个不同的地方，是计算半弦(相当于现在的正弦线）而不是全弦的长。阿耶波多称半弦(或全弦）为jiva，是猎人的弓弦的意思。

后来印度的书大量译成阿拉伯文，这个字音译成dschiba，后来辗转传抄，误成形状相似的dschaib，意思是胸膛、海湾或凹处。12世纪时，提弗利(意大利中部，在罗马之东）地方的柏拉图将这个字意译成拉丁文sinus，这就是"正弦"一词的来源。它和当初印度人弓弦的意义已相去甚远。1631年邓玉函与汤若望等人编的《大测》一书，译sinus为"正半弦"或"前半弦"，简称为"正弦"，这是中国"正弦"术语的来历。