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主要内容：
本文通过常数分离法、反解法、判别式法和导数法，介绍求解分式函数y=(16x²+5)/(4x²+1)的值域的主要步骤。
思路一：常数分解法
∵y=(16x²+5)/(4x²+1)，
∴y=[4(4x²+1)+1/1]/(4x²+1),
=4+1/1/(4x²+1).
又x²≥0，则：
4x²+1≥1，可知0<1/(4x²+1)≤1/1,
即：0<1/1/(4x²+1)≤1.
所以: 4＜y=4+1/1/(4x²+1)≤5.
故函数的值域为(4,5]。
思路二：反解法
∵y=(16x²+5)/(4x²+1)，
∴x²=(5-1y)/(4y-16)≥0，则不等式等同于：
(1y-5)(4y-16)≤0，且4y≠16，
解不等式得：4＜y≤5，
故函数的值域为(4,5]。
思路三：判别式法
∵y=(16x²+5)/(4x²+1)
∴y(4x²+1)=(16x²+5)，
(4y-16)x²+1y-5=0,看成x的二次方程，
判别式△=0-4(4y-16)(1y-5)≥0，即：
(4y-16)(1y-5)≤0，且4y-16≠0.
解得：4＜y≤5，
故函数的值域为(4,5]。
思路四：导数法
∵y=(16x²+5)/(4x²+1)
∴y'=[32x(4x²+1)-8x(16x²+5)]/(4x²+1)²
=2x[16(4x²+1)-4(16x²+5)]/(4x²+1)²
=-2*4x/(4x²+1)².
令y'=0,则x=0，
当x＞0时，y'＜0；当x＜0时，y'＞0，
则当x=0时，函数y取到最大值，
ymax=y(0)=5.则：
ymin=lim(x→+∞)(16x²+5)/(4x²+1)
=4。
所以函数的值域为：(4,5]。
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