矩阵力学与波力学的等价性问题（上）

|作 者：曹则贤

(中国科学院物理研究所)

本文选自《物理》2025年第10期

每一个逆境都隐藏着一粒等价优势的种子1).

摘要1925年9月，玻恩和约当构造了矩阵力学，量子力学有了一种分立的形式；当年底兰佐施构造了积分方程形式的量子力学，提出了量子力学形式的等价性问题。1926年薛定谔构造了微分方程形式的量子力学——波力学，在分四部分的论文发表一半时专门发文讨论了矩阵力学与波力学的等价问题。其后，泡利(文稿1973年才被发现)、艾卡特、狄拉克以及狄拉克的导师福勒等人都有关于两种量子力学等价性的论述。基于严谨数学的等价性探讨见于冯·诺伊曼自1927年起的系列论文，最终体现于《量子力学的数学基础》一书中的系统阐述。矩阵力学与波力学都是本征值问题，最后归为抽象希尔伯特空间内在结构的不同实现。矩阵形式、积分方程形式和微分方程形式都是量子力学发展过程中的必然形态，(状态)函数、矩阵、算符都是一个统一的量子力学的要素。

关键词矩阵力学，波力学，等价性，积分方程形式，微分方程形式，本征值问题，量子条件，正则对易关系，外尔关系，抽象希尔伯特空间，同构

0 引 子

在发表了分四部分的“量子化作为本征值问题”一文的第一、第二部分后(收稿日期分别为1926年1月27日和1926年2月23日)，薛定谔急忙提交了题为“论海森堡—玻恩—约当的量子力学与我的量子力学之间的关系”的论文(收稿日期为1926年3月18日)，以下简称“论关系”，由此量子力学两种表示的等价性证明成了量子力学研究的热点问题。

薛定谔的微分方程形式与此前玻恩—约当的矩阵形式截然不同，甚至表现出分立性与连续性的对立，自然会生发出这两种理论是否等价的疑问。实际上在薛定谔的波力学之前，兰佐施(Cornelius/Kornel Lanczos，1893—1974)给出过积分方程形式的量子力学，并提出了基于分立性和连续性表示的不同量子力学之间的等价性问题，可惜兰佐施的量子力学在一般量子力学文献中被忽视了，原因不明。其实，所谓的微分方程形式量子力学与矩阵形式的量子力学的等价性证明，到底还是冯·诺伊曼用积分核理论收官的，由此可见积分方程版的量子力学的价值。

系统地研究两种量子力学等价性的原始论文有助于理解量子力学的思想基础和数学基础。此外，仔细研读这个量子力学初创阶段的原始论文，大约还可以看清玻恩、约当创造的矩阵力学是怎么被安到海森堡头上的过程。量子力学是玻恩1924年创立的。量子力学及其矩阵形式(Born—Jordan)、积分方程形式(Lanczos)与微分方程形式(Schrödinger)，至少就概念、构建过程与内容来看，有所不同至少是各有侧重才是合理的。今天我们学习的量子力学可以看作是冯·诺伊曼公理化以后具有坚实数学基础的统一的量子力学(unified quantum mechanics)，这或许才是1923/1924年玻恩期待的超越原子力学(Atommechanik)的那个新力学，矩阵力学、波力学以及积分方程形式的量子力学，还有后来的路径积分版的量子力学，都是量子力学的不同形态或不同方面。

1兰佐施的量子力学与等价性问题

兰佐施是匈牙利人，数学家、物理学家，被誉为火星人。1921年，兰佐施以相对论研究在匈牙利获得博士学位，他把学位论文作为致敬爱因斯坦之作，爱因斯坦欣然接受，称赞其含有充分的、原创的脑力劳动。兰佐施1921—1924年间在德国弗莱堡大学任教，1924—1931年间在德国法兰克福大学任教，1928—1929年间在柏林大学做过爱因斯坦的助手。后来，兰佐施移居美国，1931—1946年间在普渡大学任教。兰佐施是一个对经典力学格外通透的人，故而对相对论和量子力学都有卓越的贡献，前者是指他第一个给出了柱对称下的爱因斯坦场方程的解，后者是指他第一个构造了积分方程形式的量子力学。

在玻恩—约当发表了矩阵力学之后仅仅三个月，兰佐施就在1925年底构造了积分方程版的量子力学[Kornel Lanczos，Über eine feldmäßige Darstellung der neuen Quantenmechanik(新量子力学的场表达),

Zeitschrift für Physik

35, 812—830(1926)]。这篇文章的收稿日期为1925年12月22日，在薛定谔的波力学论文之前。这篇文章构造了新量子力学的连续形式，证明了矩阵版与连续形式的量子力学的等价性。可惜的是，兰佐施用的是线性积分方程的形式，这当然不是缺乏数学物理功底的普通物理教授能接受的，故而兰佐施的量子力学鲜为人知。所幸，当时还有狄拉克这样的博士生(1926年狄拉克才拿到博士学位)能读懂兰佐施的论文，Wikipedia “The principle of quantum mechanics”词条云：“狄拉克从一篇兰佐施的用线性积分方程理论表示量子力学的论文中得到了启发[He (Dirac) was also inspired by a paper published by Cornelius Lanczos presenting quantum mechanics in terms of the theory of linear integral equations]”。兰佐施上世纪30年代在普渡大学教授矩阵力学和张量分析，算是世界上不多的教授矩阵力学的实践。

[内容摘录]

海森堡—玻恩—约当的新量子力学理论与积分方程有密切的关系。运动方程和量子条件可以用积分方程的形式写下来。可以得出一个与非连续表述等效的连续表述，因为两者之间存在唯一的对应。就理论的原理性诠释而言(für die principielle Deutung der Theorie)积分表述更优，其与物理学的场表示形式直接相契合。

§1 导言

海森堡的影响深远的思考过程对量子研究具有划时代的意义。在接下来的对新思想的拓展中，玻恩和约当成功地将海森堡的理念在更广泛的意义上赋予了恰当的数学表达，并为新理论提供了一般性的形式基础{这才是科学研究的高境界}。由此得到了一个逻辑地构造的非连续理论，对此经典概念只有与之相对应的以及作为启发式路标的意义。新理论从一开始就是走自己的路，其与旧符号在崭新的意义上相联系(mit den alten Symbolen einen vollständig neuen Sinn verknüpft){知道这一点对我们学习量子力学很重要}。量子论的原理性基础由此得到了难以想象的深化。

在海森堡—玻恩—约当理论和积分方程理论之间可以建立起格外简单、漂亮的联系。我们会看到，所有的新理论的结果可以用积分方程的形式表示，而对于习惯于用分析工具工作的物理学家来说后者比矩阵表述更显亲近。同时我们还会建立起一个连续的表述，那是描述事实所关切的，其与非连续表述之间有唯一的对应。但是，就对事实的诠释而言，这是量子的实质所关切的，不排除积分表述超越矩阵表述。前者具有同场表述直接相契合——干脆就是建立于其上——的优点，而场的概念明显与非连续表述有些距离。

设想有一个任意大小、任意维度的有限闭合区域，我们将此区域中的任何一点的所有坐标简短地用一个字母，比如“

s

”表示。在这个区域中，存在一个完备正交本征函数集

i (

)，其属于一个非简并的对称的(积分)核

K(s

K

s

)。

f

s

)是一个依赖于两个点

s

的至少 是分段连续的函数，具有所谓核函数的特征。我们考察这个函数对

s

的依赖关系，为此保持

不变，可以根据本征函数

i(

)展开，所得的展开系数仍依赖于

，展开式为

a

i (

)也按照本征函数展开：

这样就得到了如下的函数表示：

其中的每一个

a

ik 都可由在这个区域上的二重积分得到：

可以把

a

ik 写成无穷矩阵的形式。矩阵a可以看作是函数

f

s

) 的完全表示，因为给定了矩阵

a

ik，函数

f

s

) 可以在公式(A3)的意义上构建出来。另一方面，函数

f

s

)也可以看作是矩阵a的表示，因为通过在公式(A4)意义上的积分可以直接计算出矩阵元

a

ik 。

§2 对应场积分的矩阵操作

在矩阵的非连续图像与至少一般来说是连续的函数

f

s

) 之间存在一个唯一确定的对应。进一步地，可以为对理论有意义的全部矩阵操作安排相应的针对函数的操作。

(a)矩阵的对角元之和。构造如下的积分：

可见全域上的场积分

对应对角元之和{即矩阵的迹}。

(b)矩阵积。由函数

f

s

) 和

g

s

) 通过积分构造如下函数：

此为两个函数的场积(Feldprodukt)，可简记为

也就是

为矩阵乘法。

(c)符号微分。任意多个因子的场积简记为

构造积分：

这个式子是循环的，可以记为

现在构造积分(A11)的变分，改变其中的一个函数，比如

r

另一方面，我们想将变化

r

所引起的积分的变分写成如下形式：

与(A14)式比较，得：

若多个因子相等，则(做变分时)我们要对每一个单独的因子构造对应的积，并求和。

比较这里的微商构造与玻恩—约当论文{M. Born, P. Jordan, Zur Quantenmechanik(走向量子力学)，

Zeitschrift für Physik

, 34, 858—888(1925)}中相应的矩阵的规则，可以直接看到两者完全吻合。

(d)对时间的导数。表征动力学的矩阵p,q在玻恩—约当那里是当作时间函数处理的，每一个矩阵元都包含一个因子e2πi

ik

t

{绝大部分量子力学书籍都不知道这一点，因为玻恩—约当那里为了简记把这项省略了。各位读者如果不信，可以拿出手边的量子力学书比对一下。补充一句，因为这个因子来自傅里叶分析，矩阵元的指标须从(00)开始！}。对于接下来的非连续理论，引入一个连续变换的参数以及连续依赖于这个参数的函数显然不是有意的。实际上在后来的理论构造中没用到这个时间依赖，引入这个时间依赖只有一个目的，即为了能将哈密顿运动方程的左侧诠释为时间导数。实在来说，这个运动方程根本不是关于字面意义 上的任何运动的(In Wirklichkeit handelt es sich aber bei diesen “ Bewegungsgleichungen ” gar nicht um irgend eine “ Bewegung ” in dem Sinne des Wortes …)——即将某个量确定为时间的函数——它更多地是表达两个其元素仅仅是数的矩阵的支配方程(Bestimmungsgleichung)。从一开始用“时间”一词，以及看起来很合逻辑地根据定义安排“时间导数”，可不是故意的。取代“时间导数”的说法，我们宁愿说“点导数”，因为我们将用上面加点来表示。当我们给矩阵元

a

ik乘上

ik

ik是量子论的频率，就得到了“加点的矩阵” 。在玻恩—约当那里还有一个2πi因子，因此会有让人不舒服的、多余的虚的量，看不出有什么内在必要性(innere Notwendigkeit){这个观点可错到家啦}。为了丢掉这个因子，我们定义“加点”为对2πi

t

而非对

t

的导数。

现在，

ik 表示两项之差：

“加点的矩阵”可分解成两个矩阵之差：第一个的每一行乘上，第二个的每一列乘上。这个操作在泛函表示那里对应什么？

由函数

f

s

) 和属于本征函数 的对称核函数

K

s

) 构造如下的积：

将顺序颠倒，如下的结果成立：

可见函数“加点”简单地意味着如下操作：

“加点”又回归同对称核函数

K

s

) 之间的乘积。由此直接得到本征值

i同能级

W

i之间的关系：

即能级

W

i 除以

h

脱壳而出(sich entpuppen)对称核函数

K

s

)的本征值之倒数。

在为所有的基本矩阵操作找到了对应的积分表示的操作——每次都是执行一个场积分——以后，我们可以着手建立动力学基本方程了。

§3 积分方程作为动力学基本方程

因为矩阵形式的运动方程是从变分原理推导出来，这对于确定相应的函数

p

s

)和

q

s

)也成立。设想有一哈密顿函数：

写出如下的函数：

或者在方程(A2)的意义下写成：

构造如下的场积分：

期望此积分随函数

p

s

)和

q

s

) 的自由变分会达到极值，即对于每一个

δp

δq

有：

先对

p

变分，

再看对

q

的变分，为此要在前两项进行循环交换，得：

δI

对于任意的

δp

δq

为0，则积分符号里的因子应恒为0，可得到确定函数

p

s

)和

q

s

)的方程为如下的积分方程：

§4 量子条件

新理论的实质性构成部分，除了动力学基本方程外，还有量子条件，根据玻恩—约当此条件为
。为了表示成积分形式，只需要为单位矩阵1找到对应的函数

E

s

此被称为单位核。

玻恩—约当量子化条件对应如下的积分方程：

因子2πi因为此前我们关于“加点”函数的定义去掉了。

单位核有如下值得关注的行为。对于

s

，其为0；而在点

s

上为无穷大{这个函数后来被称为狄拉克

-函数，是理解量子力学的关键}，且有:

{似应为
}。

对于函数(

pq-qp

)有：

我们看到函数

p

q

不能在整个区域内到处都是有限的，否则积

pq

qp

就到处是有限的。如果函数

p

s

q

s

)到处都是有限的，则玻恩—约当量子条件就不能完全精准地而只能是任意近似地成立(nicht mit voller Schärfe, sondern nur mit beliebiger Annäherung gültig sein)。

方程(A31)的论断可以实际上等价地用如下论断替代。考察函数(

pq-qp

s

)对点

的依赖关系，而将点

s

固定。这个函数应该在除了绕点

的一个小球之外皆为0。在这个小球内可以取常数值

h

是小球的体积。这个表述中，玻恩—约当的量子条件近似地得到满足，但函数

p

q

无需增长至无穷大。

此外，“精准的”玻恩—约当量子条件也可以这样表达，绕过单位核的奇异行为。为此要引入同核

K

s

)的乘积，得到积分形式的量子条件：

§5 场表示与矩阵表示的比较

因为矩阵与我们的表示所用的核函数之间的清晰关系，把基本方程写成积分方程的形式还是对应的矩阵方程形式，这对问题的形式处理来说是等效的。针对具体的数学问题的种类，某个表示形式可能更优。可是，对于量子理论的原理性理解来说，我们注意到了两种表示方式的区别。在矩阵表示那里，当哈密顿量给定时，问题是完全确定的。这足以计算

p

q

的矩阵，此外还有

W

i 的值。借助量子条件这些也能确定下来。在场表示那里，我们同样可以从哈密顿原理出发。在此原理中，除了哈密顿函数以外，作为实质上的组成部分还有一个对称核函数

K

s

) 。这个核函数可以从外部代入问题中，哈密顿原理和由其而来的动力学方程只能用于确定函数

p

q

，它们在执行变分时被当作未知函数，而核函数

K

s

) 必须事先给定。除了哈密顿函数以外还要给定

K

s

) ，问题才是确定的。在矩阵表述中只出现这个核的本征值，相关联的正交本征函数集可以是不定的。这是由于所得积分方程的如下特性，即若使用另一个具有不同本征函数但本征值不变的核，积分方程是不变的。将正交函数集

i(

s

)当作核的某种坐标，则可以说我们的方程对于任意正交坐标变换是不变的。从矩阵方程就无法关于构造函数

i(

s

)说点儿什么。

由此就两种表示方式的原则性评价产生了如下景象。如果所有的物理事实原则上只能提供矩阵元，则矩阵表示为佳(至少从实证主义观点看来)，它不为事实的描述带入原则上不可到达的元素(prinzipiel unerreichbares Element)。但是，当核(函数)具有物理意义时，场表示是更合适的，而矩阵表述因为只能给出核的本征值而本征函数集却悬而未决，故能提供的会少一些。

如果使用第二个方案，核函数必须比如通过一个微分方程事先给定，不光是指本征函数，还有本征值。动力学方程用于决定函数

p

q

, 问题就算解决了。将解塞入量子条件不过是得到一个恒等式。在这种表示中，量子条件不是作为对动力学方程的补充，而是作为核的一个内在性质出现的。这说的是本征值的一个性质，即此关系可以用来计算本征值，尽管这关系是从一个别的也许事先未知的方面定义的。

从以下可知这个表示不是没理由的。运动方程构成了一个用以确定

p

q

矩阵的二阶无穷流形，对应矩阵的∞ 2 矩阵元，其中出现的矩阵值

i

(或与其紧密联系的量

W

i

)构成一个一阶无穷的数列。某种意义上得到的是作为

i函数的

p

ik,

q

ik。利用量子条件来敲定量

i。实际上量子条件只意味着是 一个一阶无穷的方程序列，因为根据运动方程矩阵pq

qp是对角的，它只决定对角元的值。

在新力学的场表示中出现了一个标量场积分(skalares Feldintegral)作为最高作用原理(oberstes Wirkungsprinzip)，在此关系中完全对应我们在场论中习惯的那些内容。核函数

K

s

)的出现也不应看作原则上新的、不能找到天然诠释的现象。设想由作用原理出发决定电磁场中的电荷分布及电流分布，电磁四矢量也进入其中。这个势必须借助一个由电荷分布作为源的对称核来表示。核可通过场方程构造，其将矢量势与电荷分布相联系{有意者参阅该作者的Zum Wirkungsprinzip der allgemeinen Relativitätstheorie (广义相对论的作用原理)，

Zeitschrift für Physik

32, 163—172(1925)一文}。

然而，这里关切的不是一个标量的而是一个张量的核，其以张量的形式依赖于区域内的两个点

s, σ

。在电磁学问题中，类似地关切的是一个矢量核。此处表示的理论的一般边界可以延伸，直接地移植到矢量核或者任意张量核的情形，只是所求的

p, q

函数须是同样性质的核。

以矢量核为例，用

K

α (

s

) β 表示，指标

α, β

分属点

s, σ

，以说明对点的依赖是矢量的。对称性条件为

关于这样的核有一个无限的本征矢量集，任何一个“矢量核函数(vectorielle Kernfunktion)”

f

α(

s

)β 可用本征矢量展开，

在矩阵与核函数之间存在明确的对应。所谓的对角和对应如下的场积分：

其中

g

μν 是度规基本张量，对指标

μ, ν

要进行求和。两个函数的场积可如此构造：

{此公式里的两个

g

是不同的东西}动力学基本方程和量子条件也用积分方程的形式给出，不过现在归于“矢量的”一类，或者一般地属于“张量的积分方程”{可参见该作者的Über tensorielle Integralgleichungen(论张量积分方程)，

Mathematische Annalen

95,143—153(1925)}。一般性理论都可以毫无困难地拓展到矢量或张量场。

新理论里的由作用原理所确定的函数不是普通意义上的函数，而是依赖于区域内两个点的核函数。如何物理地理解这个，事先没啥好说的，而是问题的进展为我们提供关于形式理论与物理现象之间的对应的靠谱结论。从让整个理论与我们的场表示完全一致的可能性，我们相信应该得出结论，我们为了完全理解量子问题而对经典观点的修正必须走一条完全不同的路线，而非好象它是由连续性与非连续性之间的矛盾所表征的且量子奥秘的解答应该与几何或者微积分的量子转义没啥关系似的(Soviel glauben wir aber doch aus der Möglichkeit, die ganze Theorie mit unseren feldmäßigen Vorstellungen in volle Übereinstimmung zu bringen, folgern zu dürfen, daß die Modifikationen, die wir an unseren klassischen Anschauungen vorzunehmen haben, um zum Verständnis der Quantenprobleme zu gelangen, auf einer ganz anderen Linie liegen müssen, als daß sie etwa durch den Gegensatz zwischen Kontinuum und Diskontinuum zu charakterisieren wären und daß die Lösung des Quantengeheimnisses kaum irgend etwas mit einer quantenmäßigen Umdeutung der Geometrie oder der Infinitesimalrechnung zu tun haben dürfte)。{阅读这些德语的量子论/量子力学原文献，真的是一种享受与折磨的叠加态。以上述这么长长的一句为例，不要指望别的什么工具能帮上忙。}

补充部分

I.矩阵与核函数的一般关系。矩阵a和核函数

f

s, σ

)之间关系已通过正交函数集在公式(A3)的意义上建立起来。该理论可以实质性地推广，使其看起来适合深度窥视支配关系，此外还有可消除对称核特殊地位的优点。对称核的特别性质 可以移植到一般的核(函数)上面。

除了函数集

i (

s

)以外，再引入第二个函数集

i(

s

)(后面会看到为什么这里是下标)。将矩阵元记为

a

ik，定义从属于矩阵的函数

f

s, σ

)为

函数

i (

s

)和

i(

s

)此时无需是正交的。为了使矩阵操作对应同样的场积分,两个函数集必须这样耦合：

若两个函数集是同一个，则这个方程就是

i (

s

)的正交关系和归一化。

推广是从对称核的本征函数理论到对应的一般非对称核的理论。设有一个核

K

s, σ

)，不满足对称条件

K

s, σ

K

σ, s

)，则除了通过方程

定义的本征函数集

i (

s

)以外，还可以构造一个属于转置的核

K

s

K

σ, s

)的第二个函数集：

本征值

i 在这两种情形中是相同的。容易看到，对应两个不同本征值

i，

k的函数

i，

k由相联系。尚未确定的归一化按方程进行，不过两个归一化因子中的一个还是可自由选择的。其实，函数集

i(

s

i(

s

)就是属于一般性核

K

s, σ

)的两个本征函数序列。

前面我们已经指出，不管是基于对称核

K

s, σ

)的哪个本征函数集构造的，因为只有本征值

i

对于表示是有意义的，故理论的矩阵表述都是等效的。关于一般性的核也可以这么说。可以从函数集

i(

s

)到一个新的函数集变换，

与此同时，同样地变换：

为了使得正交关系和归一化条件(A40)在新的函数集下成立，如下关于量

α, β

的条件方程必须成立：

由此可见表达式
是变换不变量，

这个结果可以表达如下：当我们从(非对称核的)一个本征函数集通过线性变换变到另一个本征函数集时，其一个系列如无穷多维空间上矢量的协变分量那样变换，另一个系列如逆变分量那样变换。

现在看来有理由把函数集

i (

s

i(

s

)分别用上标和下标表示，且把

i当作逆变的而把

i当作协变的。相应地，矩阵

a

ik的矩阵元可看作是一个无穷多维空间中的二阶张量的混合分量{原文如此。似应是“二阶混合张量的分量”}。

通过过渡到非对称核我们不再单单地绑定一个正交变换(这里区别协变和逆变没有意义)，而是有更多的一般线性变换可用，我们可用一个“主轴变换(Hauptschsentransformation)”将非对称核弄成正交形式。核的本征函数对此会起作用。作为对对称核那里成立的双线性公式(Bilinearformel)的推广有如下关系：

将某个函数

f

s

)根据一个非对称核的逆变函数展开——前提是这个展开确实可能——如下公式成立：

根据协变函数展开的公式与此类似。

在量子力学中出现的函数

p

s, σ

q

s, σ

)具有若将

s, σ

调换会变为相应的复共轭的性质。对于这些核，协变函数简单地就是为取复共轭值的逆变函数。这样的核的本征值始终是实的。

II.走向量子条件。积分方程理论的方法从一开始就指明了特征的独特之处(charakteristische Eigentümlichkeit)，将无穷维矩阵看作有限维矩阵的极限，可以借此逐次逼近。如果核

K

s, σ

)的双线性展开中从某一高

n

项算起可忽略，对我们的理论也可采用这样的有限近似。若双线性级数一致收敛，这总是可以的。这就要求

n

从某个足够 大的

n

开始一致地趋近无穷大。因为

i的倒数(不考虑共有的因子)就是量子态的能级，这意思也就是说对于足够大的量子数，项

W

i 必须趋于0。在谱线系那里，

W

n是 量级的，事实上是满足的。在海森堡以及玻恩—约当处理过的谐振子例子当中，出现的则是另一种行为。这里能级随量子数趋于无穷。在这种情形下无法构造可用其全体(in seiner Gesamtheit)表征体系的核

K

s, σ

)。这里挑明的数学困难不可归于方法的不恰当，其也指向从物理观点看来也是有道理的不可理解(gerechtfertigte Unzugänglichkeit)。无穷大的能级总是物理无意义的(Unendlich große Energieniveaus sind jedenfalls auch physikalisch sinnlos)。这里，任意趋于无穷大的能级也必须排除。在何处为系统设置一个边界，无法先验地预知，实践上也无意义。这是新量子力学的特点，单个的量子态不能独立于其他的状态被确定，而是作为整体建立起动力学的系统(das dynamische System als Ganzes festzulegt)。量子态某种意义上是互相耦合的(Die Quantenzustände sind gewissermaßen “gekoppelt” untereinander)。不过可以假设，最终量子数离得越远，耦合就越弱。高量子数的量子态对低量子数的状态不再有实质性的影响(die Quantenzustände mit hohen Quantenzahlen die Zustände niedriger Ordnung nicht mehr wesentlich beeinflussen)。当我们将非常高的量子态的特征量忽略，可以得到系统的一个渐近表示。

运动方程不以矩阵有限还是无限为前提。但是，如果论及量子条件的表述，就会遭遇一个困难。前已指明，“精准的”玻恩—约当条件与各处有限的

p

q

-函数不相容。用有限维pn ，qn矩阵写下如下形式的量子条件：

马上就产生矛盾，因为通过主轴变换可以将矩阵qn对角化，则等式左边的对角线上为0，而右侧却要求是1。

实际上这个矛盾无从避免。文章接下来讨论如何避免这个矛盾，但结论是暂时没有好的方案(略)。

2薛定谔的等价性证明

薛定谔的“论关系”一文我倒是宁愿解读为对波力学算子代数的使用说明。在正经大学的正经物理系正经地学习过量子力学的人大部分都知道

p

x =-i

ℏ∂

x，但是能在方程=0中把它用对了也不是那么容易。薛定谔“论关系”一文中的大部分内容是一般的量子力学教科书不提的；至于玻恩—约当，玻恩—海森堡—约当，狄拉克，泡利的四篇矩阵力学经典论文的内容(参见本系列的“矩阵力学”一篇)，一般量子力学教科书更是懒得提及。教学的要求低到泥地，却指望受教育者未来是科学领域开疆拓土的巨擘，确实有点儿强人所难。

薛定谔的“论关系”一文是他的波理论的重要组成部分。

[内容摘录]

§1引言与摘要

就海森堡{薛定谔此处有脚注，此为对玻恩—海森堡—约当的简记}的量子力学与波力学或曰物理力学(undulatorische oder physikalische Mechanik)在出发点与表述范围的巨大差别来看，它们至今已知的结果就同老量子论的偏离而言是一致的，这确属罕见。一个特别的例子是(得出)振子和转子问题里的半整数量子数。容易注意到两种力学在出发点、表示(方式)、方法以及全部的数学工具都那么不同，它们同经典力学的偏离也是南辕北辙。在海森堡那里，经典力学变量被分立的数字体系(矩阵)所取代，该矩阵用整数指标标记，由代数方程确定。该理论的作者们说那是真正的非连续理论(wahre Diskontinuumstheorie)。波力学则从经典力学往连续理论方向又迈出去一步。用有限多独立变量通过有限多全微分方程可描述的事件被一个在构型空间上的连续的、类场的事件(kontinuierliches feldmäßiges Geschehen)所取代，其可由一个由作用量原理导出的偏微分方程所支配。这个作用量原理和偏微分方程替代老经典量子论(ältere klassische Quantentheorie)里的运动方程和量子条件。{在这里，薛定谔加了一个惹出故事的注:“我的理论受德布罗意的学位论文和爱因斯坦的简短但有无限深意的论文(

Berl. Ber.

1925, S. 9ff.)的启发(引文似乎有误)。同海森堡理论的出身上的联系我根本无感。我当然懂他的理论，但它的在我看来很困难的超越代数方法以及缺乏直观性(Mangel an Anschaulichkeit)让我感到丧气，如果不是排斥”。 海森堡估计读到了这句话。他在6月8日给泡利的明信片上写道：薛定谔所说的Anschaulichkeit就是屎。}

接下来是对海森堡量子力学和波力学之间的非常亲密的内在联系(der sehr intime innere Zusammenhang)的发现之旅。从形式数学的观点来看，可以说这个关系可视作等同(als Identität zu bezeichnen)。

海森堡的理论将量子问题的解系于求解一个无穷代数方程组，其变量，即无穷维矩阵，会被赋予力学系统的经典坐标、动量及它们的函数，遵从独有的运算法则(eigenartige Rechengesetze befolgen)。先看看如何赋予(Zuordnen,分派)每一个坐标、动量的函数一个矩阵，使其总是遵从玻恩—海森堡的形式运算法则(包括量子条件和交换规则)。这个为函数赋予矩阵的操作是一般性的，与具体的力学系统无关。这个分派又是高度不确定的，其借助于任意的、定义在整个构型空间上的完备正交函数集。

求解表征特定问题的特定代数方程组——其将位置和动量的矩阵同哈密顿函数的矩阵相联系，作者们称为运动方程——只需将中介的角色赋予指定的正交系，也即构成我的波力学之基础的偏微分方程的本征函数，即可完全做到。这个微分方程的自然边界问题的解与海森堡的代数问题的解完全等价。所有海森堡的矩阵元，据信其可以确立跃迁概率或谱线强度，只要边界问题可解，确实可以通过微分和二次型算出来。这些矩阵元，在波力学里有一个完全直观的意义，即原子的电偶极矩的分振动振幅。发射光的强度与偏振可在麦克斯韦—洛伦兹理论的基础上加以理解。

§2 给良序函数符号分派算符与矩阵，建立乘法规则

构造矩阵的出发点为，关于两组

n

个量

q

1 ,

q

2, …

q

n

p

1,

p

2, …

p

n

的函数的海森堡运算规则，根据常规的数学分析，适用于在单一一组变量

q

1,

q

2, …

q

n

上的线性微分算符。在函数中将每一个

p

l用算符∂/∂

q

l替代。对于任何

m

l

，∂/∂

q

l替与

q

m是对易的。对于任何

m

l

，对易式

作用到

q

k 的任意函数上重现该函数，也即该算符为恒等算符。

现在开始系统的构造。因为前述的“非总是可对易性(Nichtimmervertauschbarkeit)”，一个给定的算符不是唯一地对应通常意义上的一个

q

k ,

p

k的函数，而是以明确的方式写下的函数符号(Funktionssymbol)。此外，因为对算符∂/∂

q

k我们只有加法和乘法，因此

q

k,

p

k的函数至少可写成

p

k

的规则幂级数，这样才可以用算符∂/∂

q

k替代

p

k。只需考虑幂级数中的一项，即对如下构造的函数：

我们将之当作良序的函数符号(Wohlgeordnete Funktionssymbole)，并分派如下的算符：

这意思是用算符

K

∂/∂

q

r 替代

p

r,

K

应是个普适常数。将自良序函数

F

而来的算符简记为[

F

, *]，[

F

u

]是将该算符作用到通常意义上的函数

u

q

1, …

q

n

)上所得的通常意义上的函数。若

G

是另一个良序函数，则[

GF

u

]是算符

GF

作用到函数

u

上。一般来说，函数[

GF

u

]与函数[

FG

u

]不同。

现在为一个良序函数

F

，通过其相应的算符(B3)以及任意一个定义在整个

q

-空间上的完备正交集，分派一个矩阵。将坐标

q

1, …

q

n

简记为

。函数

是一个完备的、归一的正交集，即有：

进一步会假设，这些函数在

q

-空间的自然边界上充分快地趋于0，这样可以使得后面出现的分步积分过程中作为副产品出现的边界积分为0。

函数

F

通过算符(B3)可被分派矩阵：

不难证明，良序函数及其对应的算符的加与乘会造成所属矩阵的矩阵和与矩阵积。记

G

为任一其他的良序函数：

在求积矩阵(

FG

) km 之前，先要对

F

kl定义里的[

F

, *]对函数

u

l(

)的作用通过一系列的分步积分加以转圜(wälzen)，变成对

u

k(

)的作用。此过程中作为副产品出现的边界积分都为0。转圜后的算符记为，以(B3)式为例，

其中

是微分的次数。这样有：

最后一个等式用到的是正交集的完备性关系{原文(B8)式写成了

略有不妥}。现在对(B8)中的算符[Fˉ,*]通过分步积分从ρ(x)uk(x)转圜到[G,um(x)]上，得：

§3 海森堡量子条件与偏微分规则

因为(B1)式中的操作是恒等，故对应良序函数：

根据分派规律，所得算符还应乘上普适常数

K

。对应(B10)的矩阵为

这就是海森堡量子关系{式(B12)的右侧，薛定谔早在1922年就写下了。注意，-1的意思是同时等于±i。参阅拙著《云端脚下》}。

当然，如果给

q

l ，

p

l函数分派的矩阵为

也能得到关系(B11)。

现在转向“偏微分规则”。一个良序函数对

q

l 的微分，是指不改变

q

l 出现的位置上的因子(Faktor)的顺序对

q

l微分并求和。容易证明如下方程

成立。证明思路如下。代替实际对

q

l 微分，可以简单地将

p

l 前置，其过渡到算符时反正要用代替。再者，当将总算符{应该是指

p

l

F

Fp

l}作用到函数

u

上时，算符不仅会作用到

F

q

l 的地方(这是应该的)，而且也错误地作用到被总算符影响了的函数

u

上。这个错误我马上纠正，把操作[

Fp

l, *]减去。

现在考察关于

p

l 的偏微分。设想将每一个

p

l 的 幂分解为单个因子，比如写成

p

l

p

l

p

l 而非

p

l3 的形式，因此可以说对

p

l的 偏微分乃是将函数

F

中出现的每一个

p

l 抹掉一回，所得结果相加。那么 算符(B3)如何作用呢？每一个抹掉一次，结果相加。

我断言如下算符方程成立：

在符号[

Fq

l , *]中将

q

l平推过

F

以得到[

q

l

F

, *]，每当

q

l 遭遇到 时，在算符内要用

{原文如此。应是
}。

这个由“1”提供的交换副产品构造了期待的“偏微商”(partiellen Differentialquotienten)。平推以后留下的[

q

l

F

, *]是多余的，在(B15)式中显式地被减去了。这样(B15)式就得到了证明。被当作算符证明了的等式(B14)(B15)，也对分别对应左侧和右侧的矩阵成立，因为根据(B6)有且只有一个矩阵对应一个线性算符(我们没有证明，对于任一矩阵总存在一个线性算符)。

§4 海森堡运动方程的解

现在考察一个由确定的哈密顿函数

所表征的特定的力学问题。量子力学的作者们{Die Authoren der Quantenmechanik，指玻恩、约当、海森堡}从普通力学中移植了这个函数，当然不是以“良序的”形式，因为在常规的数学分析中因子的顺序无关紧要。他们为了量子力学的目的以确定的方式“规则化(normalisieren)”或者说“对称化(symmetrisieren)”了因子，比如将普通的力学函数

q

k

p

k2用或者又或者代替，根据(B11)这都是一样的。此函数可看作是良序的。一句话，良序函数应该使得

H

ki是对角化的，对称化的函数在其他方面与原来的函数相同。我们接下来会直接满足这些要求。

玻恩他们要求矩阵
满足一个称为运动方程的无穷方程组：

右侧的偏微商的意义是解释过了的。至于左侧的，存在一个数列

赋予如下意义，给每个指标为(

ik

)的矩阵元乘上，其满足上述方程。特别地，

数列(B19)不是事先确定的，而是和
一样是方程(B18)的未知数。考虑(B20)式，加上(B14)(B15)式里的计算规则，计及(B12)式，方程(B18)变成：

这些方程应该被满足，而我们也没有其他可用的办法，除了选择合适的构造矩阵的完备正交集。我{薛定谔}断言：

(1)若如下偏微分方程

的自然边界问题的本征函数被选作正交集，其中

q

1 ,

q

2, …

q

n的函数，

E

是本征值参数，方程(B18')可得到满足。密度函数

)自然会出现在同式(B21)相乘使得其具有自伴随性质的

q

1,

q

2, …

q

n的函数中。量

i 就是本征值

E

i 除以

h

H

ik是对角矩阵，

H

kk=

E

k。

(2)若函数

H

的对称化已以恰当的方式实现了——我的观点是，对称化过程当前未被唯一地定义——则(B21)式与作为波力学之基础的波方程同。

如果暂且不理会如下的问题，即方程(B21)是否导致一个理性的

q

-空间上的边界值问题，是否 总能通过同一个合适的函数的乘积弄成自伴随的形式，等等，论断1几乎是显然的。这些问题很大程度上在论断2中解决了。根据方程(B21)以及本征值、本征函数的定义：

根据(B6)：

举例来说，

这样方程(B18')的第一个的右侧的值为

第二个结果类似。这样论断1得到证明。

现在考察论断2，即(恰当对称化了的)哈密顿函数的加负号的算符与波力学中的波算符是一致的。借助一个简单的例子说明，为什么对称化过程在我看来不是唯一的。设有单自由度的哈密顿函数：

这个函数可以直接当作良序的纳入量子力学，也可以应用良序函数：

其中

f

q

)是边界在远处的任意函数，在此情形可以当作密度函数

)。(B26)式显然是(B27)式的特例。那么问题来了，是否有可能以及如何将特例同一般的情形，即针对复杂哈密顿函数，区分开来。将问题限制在

q

k 的幂函数的情形，就在最重要的应用情形中也不方便。此外，我相信，这不会导致正确的对称化。

为了便于读者理解，我以对于当前目的合适的形式重复一遍波方程的简短推导。为此只考虑经典力学的情形(无相对论效应，无磁场)。设想，

其中

T

p

k 的二次型，波方程可通过变分问题得到：

辅助条件为
，其中是

T

二次型的矩阵值(diskriminante)的平方根的倒数。这个因子不应该忽略，因为否则的话整个过程针对

q

k 的点变换不是不变的。

T

pk 表示

T

p

k

的微分，

欧拉的变分方程为

容易看出这个方程有形态(B21)，为此要记起算符排序规则以及对齐次方程的欧拉方程，将其应用到二次型

T

上，且

将(B31)式左侧的
用

p

k 代替，则从(B32)就得到了负哈密顿函数(B28)。由此变分过程就自动得到算符的唯一确定的对称化，其将算符(直到一个因子)弄成自伴随的，针对点变换是不变的。

这样，整个的海森堡—玻恩—约当的矩阵方程就归结为一个线性偏微分方程的边界值问题。求解了这个边界值问题，就可以根据(B6)式通过微分与二次型构造(Quadraturen)计算每一个感兴趣的矩阵元。

为了解释什么是自然边界问题(构型空间的自然边界)，我以计算过的例子来说明。自然的无穷远边界常常构成微分方程的奇点，且唯一允许的是“保持有界的”的边界条件。如果位置坐标是人为地限制了的，比如处于一个“箱子”里的分子，此限制可以通过引入一个合适的势能项来处理。本征函数在边界上为0一般来说也是满足的，即便在某些积分(B6)之间存在需要关注的关系(说的是开普勒问题中出现的矩阵元，根据海森堡其对应从双曲轨道到双曲轨道的跃迁)。

我仅限于讨论无磁场的经典力学情形。关于涉及相对论—磁性的推广时两种新量子论也会表现出完全的平行，这一点毋庸置疑。

就2—4节中用到的形式工具，再泛泛地略评几句。在所有公式中，作为基础的正交集都是当作完全分立的函数集看待的。在重要的应用场景中可不是这样的。不只是对于氢原子，而是对于高原子序数的原子波方程(B31)除了有线谱(Linienspektrum)以外还有连续本征值谱，后者会表现出挨着线系极限的连续光谱。本文的目的是说清楚两种理论的关系，连续谱的出现不会带来本质上的改变。一个重要提醒：(我们的结论)不以根据本征函数的展开的收敛性为前提，但我们始终是这样认为的。对在有限值上(在系列的极限处)的分立本征值的聚集要特别注意，其与连续谱的出现紧密联系。

§5 两种理论的比较。对辐射之强度与偏振的经典理解的预期

如果处于当前形式的两种理论是立得住的，意思是已证明是在复杂系统上的正确推广，那么谈论一者对另一者的优越就只有表观目标(Scheinobjekt)。从纯数学的角度看它们是完全等价的，只能谈论计算方便性这种次要问题。

今天有不少的物理学家，如基尔霍夫和马赫那样，认为物理理论的任务只是用尽可能简约的数学描述可观测量之间的经验关系，这样的描述尽可能不借助不可观测的元素而再现关系。对于这样的观点，数学等价与物理等价几乎是一回事儿。在前述情形中，最多可看到对矩阵表述的某种偏爱在于其因为完全的非直观性而不会导致形成原子现象的空间—时间图像，而这原则上可能是不可控的。在这个关系中，接下来的对等价性证明的补充无论如何是有益的：若确实存在等价，则其也存在于相反的方向(Die Äquivalenz besteht wirklich, sie besteht auch in umgehehrter Richtung)。不只是由本征函数构造矩阵，而是反过来由数值给定的矩阵也能构造本征函数。后者不是要为那个光秃秃的矩阵骨架构建一个任意的、特别的、对直观性需求友好的肉身(fleischliche Umkleidung des kahlen Matrizenskeletts)，事实上是为后者的认识论上的被偏爱找理由。设想方程：

左侧的数值已给定，要找出函数

u

i (

)(此处略去

)，假设

u

i(

)已构成正交函数集)。通过矩阵乘积，为此要做分步积分，计算如下的积分：

其中

P

)是

q

l 的任意一个幂函数。固定

i

k

构造这个积分的全体，称为函数

u

i(

u

k(

)的矩(Momente)的全体。在一般性前提下，一个函数可由它的矩唯一地确定{但不具备可行性。这一点被批评者所诟病}。全部的积

u

i(

u

k(

)被唯一地确定，由此二次型

u

i(

)2以及

u

i(

)自身可唯一地被确定。唯一的任意性在于反过来密度函数

)的分离。这里不用担心任何认识论上的禁忌(keinen erkenntnistheoretischen faut pas)。

数学等价与物理等价具有相同的意义，此论断绝对是在一定条件下才成立。比如，考虑带电导体系统的静电能的两种表达，作为空间积分
的以及关于导体上的求和的