新定义“不动点函数”——2025年江西省中考数学第22题

新定义“不动点函数”

2025年江西省中考数学第22题

在2022版新课标中，对函数概念的学业要求如下：

初中阶段函数的教学，要通过对现实问题中变量的分析，建立两个变量之间变化的依赖关系，让学生理解用函数表达变化关系的实际意义，因此， 设置适当情景，让学生从中发现变量及变量间的关系，从而建立函数模型，是考查函数概念的常见命题思路。

题目

问题背景：对于一个函数，如果存在自变量x0=m时，其对应的函数值y0=m，那么我们称该函数为“不动点函数”，点(m,m)为该函数图象上的一个不动点.例如：在函数y=x²中，当x=1时，y=1，则我们称函数y=x²为“不动点函数”，点(1,1)为该函数图象上的一个不动点.某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究.

探究1

(1)对一次函数y=kx+b(k≠0)进行探究后，得出下列结论：

①y=x+2是“不动点函数”，且只有一个不动点；

②y=-3x+2是“不动点函数”，且不动点是(1/2,0)；

③y=x是“不动点函数”，且有无数个不动点.

以上结论中，你认为正确的是__________(填写正确的序号).

(2)若一次函数y=kx+b(k≠0)是“不动点函数”，请直接写出k，b的应满足的条件.

探究2

(3)对二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答，若抛物线y=x²-2bx+c的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式.

探究3

(4)某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(12-x)件，获得利润y元，请写出y关于x的函数关系式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义.

解析：

01

(1)首先对“不动点函数”概念进行解读，根据描述，存在x=m时，y=m时，点(m,m)为该函数图象上的一个不动点，我们知道所有横纵坐标相等的点，均在直线y=x上，因此可以从代数、几何两个角度来理解：

代数角度：将函数表达式与y=x联立成二元一次方程组，只要这个方程组有解，包括有一个角或无数个解；

几何角度：函数图象与一次函数y=x有公共点，包括一个公共点或无数个公共点(重合)；

现在我们可以对这三个结论进行判断了，①显然错误；②中y=-3x+2与y=x联立之后有一个解，但这个解是(1/2,1/2)，而不是(1/2,0)，也错了；③与y=x重合，有无数个公共点，符合定义；

从图象上看，如下图：

故选③；

02

(2)联立方程组x=kx+b，化简得(1-k)x=b，当k≠1时，存在一个解，当k=1，b=0时，存在无数个解，因此k、b满足的条件为k≠1，b为任意实数，或者k=1，b=0；

03

(3)将这个二次函数解析式化为顶点式，以方便看出顶点坐标y=(x-b)²-b²+c，顶点坐标为(b,c-b²)，由于顶点是一个不动点，根据“不动点函数”的定义，其横纵坐标相等，得b=c-b²；

04

(4)列出利润与单价的函数关系式y=(x-6)(12-x)=-x²+18x-72，将它与y=x联立，得x=-x²+18x-72，解得x1=8，x2=9；

因此存在两个公共点(8,8)，(9,9)满足“不动点”概念，回到实际情景中，x=8时，y=8，即单价定为8元，总利润为8元；x=9，y=9，即单价定为9元，总利润为9元.

当单价为8元或9元的时候，总利润与单价相同.

解题思考

函数是一种具有普遍意义的数学模型，是刻画现实世界中数量关系和变化规律的重要模型，对函数的概念及其表达方式(解析式、表格、图象)、图象特征、思想方法的运用，以及对抽象能力、推理能力、模型观念、应用意识等核心素养的主要表现及其内涵的理解水平和程度，均是函数命题时必须考虑的基本问题.

函数概念的形成，必然依托于现实世界中的问题情境，反映实际问题情境中数量之间的对应关系，当这样的对应关系具有规律可循，可以用图象或者字母、符号语言表达时，便成为了一种函数关系.初中阶段主要是一次函数、二次函数、反比例函数.

本题通过构建“不动点函数”概念，安排三次探究，分别针对概念文字的数学解读、与所学一次函数和二次函数的对照、简单的实际应用.

将新定义的函数概念与已有的一次函数、二次函数结合起来，也是考查学生是否通过函数学习，掌握理解新的函数概念的能力，即学习函数方法的迁移；在理解“不动点函数”的过程中，可以从数和形两方面，尽管题目并未给出坐标系，但函数的表达本身就有图象方式，“不动点”既可以是方程组的解，也可以是公共点；公共点可以是一个，也可以是无数个，这也是定义描述中“存在”二字的含义.

对今后函数教学的指导意义在于，必须在数学化的过程中感受变量之间的对应关系，从现实世界中的情境抽象出函数概念，在新授课上帮助学生完成这个环节，即用数学眼光观察现实世界；

函数模型的建立，是让学生用数学语言描述现实世界，在课堂上需要帮助学生用数学符号完成逻辑论证，并形成推理能力，领悟核心素养的内涵.

在《从优秀试题研究中领悟初中数学教学》下册第369页，由张钦博士撰写的初中函数教学思考之一、之二，深刻阐述了在初中阶段如何有效进行函数教学，函数如何命题等主张，如下图：

通过对近年来全国各地中考数学函数压轴题的研究，进一步反思我们的初中数学课堂教学，提升教师专业素养，从而让尽可能多的学生在课堂上受益，本套丛书值得研究.