《用初等方法研究数论文选集》连载 002

《用初等方法研究数论文选集》连载 002

001.初等数论理论的最基本概念

1、无中生有0和1

正整数1、2、3……大家再熟悉不过了，从懂事起就学会了。然而，要真正理解它们并非易事。仅仅像八哥学舌般停留在表面是不够的，只有做到真正深刻理解，并在自己的大脑中构建起一种数学思维方式，才是我们学习数学的基础。

“无中生有”，若要理解“1”的概念，就必须先理解“0”。那么，“0”究竟是什么呢？

我们不妨先引入一个方程式：y = 1/x，其中x的定义域为除x = 0之外的所有实数。

x可以朝着两个方向变化，即x趋近于无穷大（x→∞）和x趋近于零（x→0）。当x趋近于无穷大时，y趋近于0，但永远不会等于0；而当x趋近于0时，y趋近于无穷大。

“无”并非绝对，它隐含于“有”之中。也就是说，我们所处的宇宙是有限的，但其外部却是无限的；一个物体能够被分割完毕，但不会被“分割至无”。我们所有的“从无到有”本质上都是由“有”所决定的。就如同我们的电脑程序，未开启电脑时它处于“无”的状态，打开电脑后它便呈现为“有”，然而决定这一切的皆是“程序”，按照道家理论，这便是“道”。

道就是一，是“无中生有”，是从 0 到 1。

什么是1？假设我们从“空虚”状态出发，要在虚无之中创造自然数。首先，我们借助单位长度 1 开辟出一个空间，即一条无限长的数轴。在这条数轴上，每一个 1 都有其自身的位置，该位置可以用两个参数来表示。

一个量是顺序，即 0、1、2、3……（为何从 0 开始，我后面会讲），它代表的是顺序号；另一个量是该位置上包含数量 1 的多少，即1、2、3…，它代表的是数量。

我们在分析压力容器的钢板强度时，会从钢板中选取“一个单位体积”，再运用微积分展开分析。在数学领域，我们同样会借助“单位元”或“单位正方形”进行分析。而在物理学中，也是利用“单位”元素，即一个单位的“量”来开展分析。

上述例子充分说明了“1”的重要性。

在天文学里，地球到太阳的距离被定义为1个天文单位，光传播一年的距离则被称作1光年。

“1”代表着一个整体，是一个单位。在数学思维中，理解“0”和“1”极为关键，这是我们在大脑中构建“数学思维”的最基础要素，也是数学的根基所在。

2、特殊形式的等差数列

等差数列这种形式的WN+A公式也是等差数列，比如2N+2,3N+2,6N+5等等。

2N+2 N=1，2，3 …… 有数列 4,6,8……

3N+2 N=1，2，3 …… 有数列 5,8,11……

6N+5 N=1，2，3 …… 有数列 11,17,23……

像2N+2 这种出现都是偶数的数列，我们叫它为偶数数列；

像3N+2 这种出现即有偶数也有奇数的数列，我们叫它为奇偶混合数列；

像6N+5 这种出现都是奇数的数列，我们叫它为奇数数列；

我们发现他们进入不同的空间后，等差数列的形式还可以细分。

古代一些一流数学家早已发现以下问题：

1. 有些等差数列能够表示素数（“等差数列含有素数”这种表述有误），但不清楚这些素数的数量是有限还是无限，也不明白这些等差数列中包含素数有何规律。

2. 这些等差数列的形式与代数式相同，即初等函数的直线方程。然而，不能直接用其表示“正整数”，因为不同的等差数列可能表示同一个正整数，情况不确定且混乱。

3. 是否存在方法在等差数列与函数之间搭建桥梁，直接将等差数列组转化为函数方程组？

以上三个问题的价值远超孪生素数猜想和哥德巴赫猜想，却被数学家们忽视，他们将重点放在了孪生素数猜想、哥德巴赫猜想和黎曼猜想上。

3、Ltg-空间理论

由等差数列组构成正整数的空间结构理论，简称Ltg-空间理论。

Ltg-空间理论的定义：

所有正整数1,2,3,…均可由一组等差数列表示，这些等差数列按序1,2,3,…构成无限空间。选定特定等差数列空间后，这个空间与其他空间自动屏蔽，其他数列不再进入这个空间，全部正整数（包括素数及合数）均获得固定位置，并对应唯一项数N。因此，素数及合数的出现均遵循特定规律而非随机离散发生。

设Zk为全体正整数空间，则有公式：

Zn=wN+A

其中：w表示维度，w=1,2,3…

N为各正整数对应的项数，N=0,1,2,3…

A为特定空间内等差数列的顺序号，A=1,2,3…

用代数式可以这样表示：

N+1

2N+1,2N+2

3N+1,3N+2,3N+3

4N+1,4N+2,4N+3,4N+4

5N+1，5N+2,5N+3,5N+4,5N+5

许许多多……

在上述的每一组横向等差数列（空间）中，每一个都可代表所有整数。一旦选定特定的空间，其他空间内的等差数列将不会进入该空间，从而实现了空间的隔离。

如下图表示，

这个理论把等差数列与函数相连接，是等差数列与函数之间的一座桥梁。

4、简介不同空间的分类和性质

1）初始空间

初始空间，L(1)空间，公式：Z(1)=N+1（A=1）

表格如下，

它的坐标表示法就是数轴。

它的意义在于是数量和顺序的最原始概念，是素数与合数产生的原因，也就是说它就是研究0、1、2、3……的。

这个空间我们叫它：初始空间。

为何项数N从0项开始？因为自然数的初始结构就是这样的，我们人力无法改变。这也是我与以往数学家们的思维方式的不同之处。

初始空间里的合数项数列：

通过项数N，我们可以构建出一个按顺序排列的、数量无限的合数项数列，如下所示：

1n+0

2n+1

3n+2

5n+4

7n+6……

Sn+K……

这些合数项数列公式可以写成，N(S) =Sn+K 的形式。

注意：这个数列得到的都是合数项，代入公式Z(1)=N+1 后才会形成“合数数列”。

这种方法是便于理论研究。

合数项公式， Nh = a(b+1)+b ,

其中 a≥1，b≥1 他们都是项数。

这是一个二元一次的曲面方程，他的解是Sn+K的直线族。

素数项公式， Ns = N-Nh 这是一个素数数量的表达式。

素数的生成公式， S =N+1 且 N ∈ P

合数素数判定式， C = ( N-b)/(b+1)

其中，C必须是整数，所对应的项数N就是一个合数，否则就是一个素数。

素数在正整数中的密度，P=Ns/N

注意：其它空间都具备这些性质，都有这些公式，仅仅是表达复杂了一些。

2） L(O)空间，即偶数空间，公式 Z(O)=ON+A 。

比如，2N+A(A=1、2)，4N+A( A=1、2、3、4) 等等，就是那些空间维数k是偶数的空间。

它的表格表示法，

比如 2N+A (A=1,2)空间，

又比如 4N+A空间，

还有6N+A、8N+A、10N+A空间等等无穷多的偶数空间。

在偶数空间里面有两类等差数列，奇数等差数列和偶数等差数列。

3）素数空间，公式Z(S)=SN+A，

比如，3N+A(A=1,2,3)空间如下图，

其它素数和素数形成的合数是，

5k+5=5、10、15、20、25……

7k+7=7、14、21、28……

11k+11=11、22、33、44……

可以总结为：Sk+S=S(k+1)

其中，S是正整数中的全部素数，k+1是全部正整数1、2、3、4……

我们给它起个名称叫：素数合数公式，用 R(s)表示，

即 R(s)=S（k+1） （公式 .3.6）

结论：所有由素数合数形成的数列都是奇偶数列。

4） L(J)空间，即奇数空间

像9N+A(A=1,2,3……9)，21N+A(A=1,2,3……21)等等空间。

这类空间包含了合数空间，去掉合数空间可以留下全部含素数数列。

对这部《用初等方法研究数论文选集》的说明：

以上内容便是运用初等方法对数论当中一些基础概念所做的简单介绍。在后续的文章里，将会针对这些概念进行更为详尽、细致的分析。不过需要说明的是，我并非数学专业出身，所以无法以专业论文那种严谨、规范的形式来表达相关内容，因此后面所写的文章都属于科普性质的文章。

这些文章里面既包含了数论方面的知识内容，也融入了我个人在接触和学习数论过程中的经历。其中可能会有一些内容让部分读者感觉不太舒服，如果出现这种情况，还请大家多多包涵。要是您觉得自己不喜欢这类内容，那么就可以选择不去看，也不必发表什么评论，直接离开就好。这本《数论文集选》的目的就在于普及数论方面的知识，让更多的人能够了解数论这一数学领域的内容。

李铁钢 2025年于 保定市