定向范畴论 Oriented Category Theory（第一章）

定向范畴论 Oriented Category Theory

https://arxiv.org/pdf/2510.10504

摘要
我们为定向范畴论（oriented category theory）建立基础，这是对 (∞,∞)-范畴论的一种扩展，通过系统性地使用 Gray 张量积，以研究高阶范畴论中的 lax 现象。随着范畴维度的增加，经典的范畴论概念通常显得过于刚性，甚至完全失效，必须被其定向版本所取代；这些定向版本允许更灵活的自然性与相干性概念。定向范畴论为此类问题提供了一个框架。主要研究对象是定向范畴及其共轭的反定向（antioriented）范畴，它们是 (∞,∞)-范畴的形变，其中各种复合运算仅在满足一个相干的（反）定向交换律的意义下交换。我们给出了（反）定向范畴的一个几何描述：它们是定义在一个单形范畴 Δ的形变上的层，其中线性图被（反）定向立方体加权。

为展示我们理论的实用性，我们证明了同伦论中一些基本构造（如柱对象与路径对象、连接与切片、悬垂与环路）的范畴类比并非 (∞,∞)-范畴的函子，而仅仅是（反）定向范畴的函子，从而推广了 Ara、Guetta 与 Maltsiniotis 在严格情形下的工作。作为主要的结构性结果，我们构造了 (∞,∞)-范畴论到（反）定向范畴论中的嵌入，并刻画了其像，我们称之为（反）定向空间。

我们给出了（反）定向空间的代数描述：即满足严格（反）定向交换律的（反）定向范畴；同时也给出了其几何描述：即定义在适当的（反）定向多面体范畴上的层，这将 Grothendieck 关于测试范畴（test categories）的哲学推广至更高范畴维度，并改进了 Campion 关于 lax 立方体与适当景（sites）的工作。作为（反）定向范畴，（反）定向空间可刻画为在（反）定向余极限下点对象的自由余完备化。这是如下事实的一个精细化版本：(∞,n+1)-范畴构成的 (∞,n+1)-范畴是点对象在范畴意义下 n-截断的（op）lax 余极限下的自由余完备化。

1. 引言

1.1 几何与范畴论中的定向。在几何中，一个定向描述了一个对象所朝向的方向，或其顶点的排序，从而决定它是“右手系”还是“左手系”。定向提供了一层额外的结构，因而也带来了一种对偶性，这种对偶性通过反转定向获得。这层额外的结构常常导致显著更高的复杂性：例如，定向配边环 π∗MSO比其任一相关物 π∗MO或 π∗MU都要微妙得多。

高阶范畴论中也存在类似的定向概念。例如，Thom 谱 MSO本身即作为定向配边 ∞-范畴的群胚完备化而出现。¹ 带框配边 ∞-范畴是自由对称幺半 ∞-范畴，带有对偶，并承载着由对偶的存在性所产生的典范 O-作用。定向配边 ∞-范畴是带框配边模去 SO-作用的商，且承载着剩余的 C2=O/SO-作用，该作用将一个态射映射到其对偶。

即使在对称幺半范畴的语境之外，这类对合在高阶范畴论中也扮演着关键角色。Barwick 和 Schommer-Pries [19] 证明，任何 \infty)Cat 的自同构都是若干对合的复合，这些对合在某些固定的维度 0

Street 的定向单纯形有正定向和负定向两种版本，在二维情形下它们是 2-范畴。

正如立方体和“定向体”（orientals，这是目前对定向立方体和定向单纯形的标准术语）一样，圆盘也以一个无穷族的形式出现，每个维度都有一个圆盘 。然而，反圆盘（antidisk）同构于圆盘。这种自对偶性质也为立方体所共有，如我们在推论 A.1.5 中所示，但定向体却不具备这一性质。

1.2 定向空间。Grothendieck 的同伦假设断言，拓扑空间的范畴是 ∞-群胚范畴的一个模型。² 我们通常会简化术语，将 ∞-群胚简称为“空间”，但我们要强调，在此语境下，“空间”并不指代拓扑空间，而是指同伦类型（homotopy type）或 anima。非正式地讲，从范畴论的视角³来看，空间只不过是配备了内部对称性的集合——这些内部结构层次反映在 Postnikov 塔中，而对称群本身即是同伦群。该范畴（连同其严格类比物，即集合范畴）构成了本文所考虑的所有弱（相应地，严格）高阶范畴结构的基础。

非正式地，我们或许可以把 ∞-范畴⁴ 视为路径及其高维类似物不再必然可逆的空间，而是被定向于某个特定方向，从源流向目标。遵循之前的类比，我们甚至可以把 ∞-范畴视为仅配备了内部范畴对称性的集合，意指那些未必可逆、且由不可逆高阶态射的存在所编码的对称性。

从更几何化的角度来看，如果 ∞-群胚应被视为“空间”，而未必可逆的高阶态射应被视为源于某种定向的方向性，那么我们或许可以非正式地将 ∞-范畴视为“定向空间”。我们可以通过将定向空间定义为某个合适的定向基本形状（如某些正则多面体）范畴上的“层”来使这一观点精确化。“层”的条件是一个更高阶的 Segal 条件，它反映了这些基本空间的几何性质。从这个观点出发，一个定向空间恰好就是 ∞-范畴的数据，但定向空间的范畴本身实际上并不构成一个 ∞-范畴：虽然定向空间范畴中的态射对象是 ∞-范畴，但它们的复合是 lax 的。⁵

下表描述了各种基本概念如何从经典数学延伸至高阶数学。最左列列出经典、严格世界中的某些基本结构，中间列列出它们在群胚化、同伦世界的推广，最右列则列出它们在高阶范畴世界的推广。

本文的目的是从定向空间的几何视角研究 ∞-范畴的范畴，该范畴是关于 Gray 张量积的幺半范畴，并发展在此结构上丰富化的范畴理论。我们将定向空间引入为定义在合适的定向多面体范畴上的空间的预层，这是通常将范畴表示为满足 Segal 条件的单纯空间这一概念在高维情形下的类比。存在许多这样的索引范畴，令人联想到众多 Grothendieck 测试范畴，它们可用于以坐标无关的方式呈现 ∞-群胚。⁷ 特别地，我们建立了若干关于定向空间的几何公式，这些公式具有重要的范畴论推论。

此外，我们发展了一种双定向范畴（bioriented categories）的理论，即同时携带相容的定向与反定向的范畴。该理论建立在文献 [61] 中发展的双丰富化（bienrichment）范畴理论之上。双丰富化是通常丰富化概念在非对称情境下的一种变体，其目的在于同时追踪幺半结构及其反向幺半结构中的丰富化信息。

双定向范畴的一个基本例子是配备有定向和反定向 Gray 张量丰富化的 ∞-范畴范畴。这种双定向结构的稳定类比是双定向的范畴谱（categorical spectra）范畴。它的双定向源于（带基点的）∞-范畴上的双定向，以及约化悬垂函子与其伴随——定向环路函子——的双定向。此外，为了用双定向排中函子（bioriented excisive functors）[63, Proposition 3.57] 来表述范畴谱的泛性质，范畴谱的双定向是必需的。需要特别指出的是，它本身不是一个 ∞-范畴，因为悬垂运算与笛卡尔丰富化不相容。本文中出现的各种范畴层级由以下完全忠实包含的图表所描绘：

我们证明了（反）定向空间构成一个（反）定向范畴，并通过一个泛性质刻画了该（反）定向范畴。（在后续工作中，我们将发展定向范畴内定向与极限的理论。特别是，我们将建立 ∞-范畴的定向余极限理论。在此，获得 Gray 张量积作为定向余极限的一个实例是一个关键结果。我们使用嵌入定理作为证明此结果的关键要素。）

1.3 范畴维度 范畴维度的概念仅在高阶范畴语境中才变得有意义。集合显然是 0 维几何对象，∞-群胚也是如此，因为 0 维对象的余极限仍保持为 0 维。然而，更高维度的范畴可以由较低维度的范畴构建而成，前提是使用一种与范畴维度相容的余极限版本。在双范畴理论中，这可以通过通常的 lax 和 oplax 余极限理论实现，但在更高维度时情况更为微妙。⁸ 我们在此仅提供此类理论的初步内容，除了相当有用的定向推出和拉回概念外，基本不超出定义范围。⁹

该极限沿核心函子取，这些函子会遗忘最高维度的态射。人们也可以沿截断函子取极限，这些函子将最高维度的态射反转，但这会导致 ∞Cat 的一个满子范畴，该子范畴由 Postnikov 完备对象组成。这个满子范畴不适合我们的目的，因为例如无限配边 ∞-范畴及其分类空间具有等价的 Postnikov 完备化。

当 n 趋于无穷时，n-范畴的形式理论表现得更好，且 n-范畴可完全忠实嵌入到 ∞-范畴中，作为那些在维度 n 以上无非退化胞的 ∞-范畴。因此，将关注点转移到 ∞-范畴的极限情形上，既无损失，又大有收获。

1.4 作为链复形的严格 ∞-范畴

在所有大于 m 的维度中（图示为 n=2 且 m=1 的情形）。

在另一极端，我们有单值 ∞-范畴的满子范畴，即那些在任意维度下每个等价都等同于恒等态射的 ∞-范畴 C。这些也被称为完备 ∞-范畴（按 Rezk [88] 的意义），它们通过强制完全忠实且本质上满的函子成为等价而从 ∞-范畴中产生。我们通常不假设我们的 ∞-范畴是单值的；然而，为了获得单值陈述，我们总可以限制到这种情况。严格 ∞-范畴与单值 ∞-范畴的交集恰好是“gaunt” ∞-范畴的类，即拉回。

根据定义，一个 ∞-范畴若在其任何维度上都没有非平凡的自同构，则称为“gaunt”。已有文献 [19] 证明，gaunt ∞-范畴在余极限下生成所有 ∞-范畴；然而，这仍然是一个过于庞大且复杂的类。这促使人们去寻找更简单的 ∞-范畴类，它们由更高维的图自由生成。

若一个严格 ∞-范畴的底层 n-范畴是通过沿其边界粘贴 n-圆盘从其底层 (n−1)-范畴得到的，则称该严格 ∞-范畴为“polygraph”。

这些 n-胞是维度为 n 的多图的生成元，并且是唯一确定的。多图类似于胞复形，其中 n-骨架是从 (n−1)-骨架通过粘贴 n-胞得到的。这种类比可以精确化，即在拓扑学中，严格 ∞-范畴可以用多图逼近。¹²

我们说一个多图是原子生成的（atomically generated），如果对于任意 n-胞，其 m 维源胞和靶胞（0 ≤ m < n）没有公共因子。类似地，我们说一个多图是无环的（loopfree），如果在生成态射集合上定义的自反传递关系（对 y 为生成 m-胞、z 为生成 n-胞，定义 y ≤ z 当且仅当 y 是 ∂₋ⁿ⁻ᵐz 的一个因子，或 z 是 ∂₊ᵐ⁻ⁿy 的一个因子）是一个偏序。无环性条件禁止非平凡自同态的存在。

最后，一个严格 ∞-范畴是施泰纳 ∞-范畴（Steiner ∞-category），当且仅当它是一个原子生成且无环的多图。¹³ 施泰纳 ∞-范畴的满子范畴具有一个显著特征：它等价于所谓施泰纳复形——即增广定向整链复形的一个满子范畴。事实上，若 X 是一个施泰纳 ∞-范畴，则其胞链复形 C•(X) 是由 X 的生成 n-胞所生成的自由阿贝尔群；而施泰纳 ∞-范畴的一个函子，是由保持定向性的增广链复形态射的数据所构成，这个定向性条件即为取向条件。

1.5 稠密子范畴与生成子范畴。n-盘在小余极限下生成 nCat，其含义是：nCat ⊂ ∞Cat 是包含 Dⁿ 且在余极限下封闭的最小满子范畴。然而，这并不令人满意，因为不存在一种规范的方式将一般的 n-范畴表示为盘的余极限。

相反，我们希望找到小的满子范畴 D ⊂ ∞Cat，使得限制后的Yoneda嵌入

由定向单纯形表示，但仅限于它们之间的原子映射。通常的余单纯形范畴 Δ 位于 Δ 内，作为原子态射的子范畴，即那些不分解为非退化 n-胞腔的复合体的 n-胞腔。

不幸的是，Street 神经不是完全忠实的。为了纠正这一缺陷，Verity 和其他人 [100] [101] 引入了复杂集的模型，这些模型是配备了一组合适的标记单纯形的单纯形集，称为薄单纯形，这些单纯形对应于那些顶点被发送到等价关系的定向单纯形。然而，在这个模型中，单纯形本身实际上并不是复杂集，并且必须纤维化替换以获得定向的 Street 神经 [80]。从复杂集的角度来看，已经进行了许多关于 ∞-范畴理论的基础工作。

我们证明了 的一个密集的全子范畴（定理 3.4.8），并且对于许多目的来说，直接使用定向单纯形神经可能更好。

1.6 定向多面体。多面体在经典意义上是特殊的细胞复合体，因此具有相关的细胞链复合体。同样，定向多面体具有基础的细胞复合体，其中零胞是顶点，一胞是边等，但这些复合体自然地是Steiner复合体，其中微分中出现的符号由细胞的方向计算。因此，我们可以将定向多面体视为某种Steiner ∞-范畴。忘记这些方向基本上会失去所有有趣的信息，因为作为普通拓扑空间的底层多面体是可缩的，或者作为非定向细胞链复合体是无环的。特别是，一个定向空间有一个底层的无向空间，它是一个 ∞-群胚，或者在同伦类型意义上是动物。

定向正交多面体更难构造，可能部分原因是我们不知道由定向正交多面体编码的关联二元运算。然而，正交几何确实建议了一种称为定向双锥的一元运算，它沿着它们的公共交点将一个反定向的锥体粘合到一个定向锥体上。就像定向连接和张量运算一样，定向双锥表示一种有用的运算，我们称之为双锥运算。

从这个角度来看，我们看到 Gray 张量积可以被视为笛卡尔积的一种松弛形式，这种形式与范畴维度相容。请注意，这种现象在维度一中是不可见的，这表明从普通范畴论获得的直觉在高维情况下常常失效。

一个相关的问题可以在悬垂和态射伴随中看到。如果 X 是一个配备了一对基点 s 和 t 的空间，则从 s 到 t 的路径空间被计算为同伦拉回。

1.8 定向范畴。定向范畴是在定向空间中充实的范畴，或者等价地说，是相对于 lax Gray 张量积在 ∞Cat 中充实的范畴。类似地，还有反定向范畴，它们是相对于 oplax Gray 张量积在 ∞Cat 中充实的范畴。存在定向范畴和反定向范畴的 2-范畴，分别记作

锥是联结（join）的一个实例。因此，左锥和右反锥是定向函子，而右锥和左反锥是反定向函子。还存在双锥（bicone）运算。具体而言，反定向双锥由以下公式给出：

并且是一个反定向函子。其对偶版本，即定向双锥，是一个定向函子。

我们对定向范畴的方法使我们能够在不显式引用 ∞Cat 上的 Gray 张量积的情况下，对定向范畴的范畴进行建模，只要我们通过某种组合工具（例如 Steiner 理论）输入立方体的组合结构即可。这也使我们能够通过一个简单的泛性质来刻画定向空间的定向范畴：即，它是点的定向余完备化（oriented cocompletion）。我们将在后续论文中讨论定向余极限（oriented colimits）的一般理论。

1.9 双定向范畴。正如我们所见，Gray 张量积既有定向版本，也有反定向版本（也分别称为 oplax 和 lax 版本），这表明我们实际上应将 ∞Cat 视为在其自身上双充实（bienriched）的范畴。双充实范畴是对充实范畴的一种精细化，它允许在一个范畴中同时关于两个幺半范畴进行双边充实。当我们在一个未必对称的幺半范畴中进行充实时，这一概念至关重要，因为我们可同时在该幺半范畴及其反向幺半范畴结构中进行充实。

按照我们对（反）定向范畴范畴的记号 ⊠Cat 和 Cat⊠，我们将双定向范畴的范畴记作 ⊠Cat⊠。充实的一般理论给出了一个交换方图：

1.10 主要结果。在下文中，我们呈现本工作的主要结果。我们证明了关于定向与反定向范畴的两个主要结果：第一个结果给出了（反）定向范畴的一种几何表述，第二个结果将∞-范畴理论嵌入到（反）定向范畴理论中。

定向范畴是在 lax Gray 张量积中左充实的范畴，或在 oplax Gray 张量积中右充实的范畴。对偶地，反定向范畴是在 oplax Gray 张量积中左充实的范畴，或在 lax Gray 张量积中右充实的范畴。在整篇论文中，除非另有说明，充实均指左充实；我们同样可以合理地选择另一种约定，在那种情况下，系统性地用 lax Gray 张量积 ⊡ 替换 oplax Gray 张量积 ⊠。或许本文中最令人困惑的事情就是跟踪所有出现的对合（involutions）！

定理 1.10.3 在我们拥有足够丰富的定向多面体稠密族时非常有用。Campion [27] 证明了定向立方体构成一个定向多面体的稠密族。基于这一结果，Campion 得到了 ∞-范畴的 oplax Gray 张量积的一个与模型无关的构造 [29]。我们证明了定向单形也构成一个定向多面体的稠密族，这蕴含了 Campion 的结果，因为任意定向单形都是同维定向立方体的一个收缩（retract）（定理 3.5.11）。由定向单形的稠密性，我们得到了 ∞-范畴的联结（join）的一个与模型无关的构造。

将定理 1.10.3 应用于定向单形这一稠密族时，其形式如下，此时我们可以简化边界条件：

1.11 与其他工作的关联。在过去的几十年里，高阶范畴理论得到了广泛的发展。第一个主要进展是同伦理论与范畴理论的融合。参见例如 [23]、[25]、[68]、[75]、[88]、[92]、[99] 等该领域的一些奠基性工作。¹⁷

我们的定向空间理论将 ∞-范畴研究为一个在 Gray 单子结构中充实的范畴。∞-范畴的基本理论——包括 Gray 张量积、纤维化以及极限与余极限——最近已在各种模型中得到发展。值得注意的是，在严格设置下，Verity 发展了复形集（complicial sets）的模型 [101]，而 Ara-Guetta [7] 研究了 lax 切片构造及其函子性。在同伦背景下，Loubaton 将 Verity 的方法推广至弱 ∞-范畴 [73]，并从这一视角撰写了大量关于基础理论的文章 [71]。

我们的方法受到 Campion [27] 工作的影响，他使用 ∞-范畴的立方体模型在同伦环境中实现了 Gray 张量积。我们期望定向范畴理论不仅在高阶范畴理论内部具有应用，也在外部如数学物理、表示论和非交换代数等领域具有应用。例如，Johnson-Freyd-Reutter [66] 应用 Gray 张量积，在辫子幺半范畴中构造 Hopf 代数，其特例是从具有对偶对象和纤维函子的幺半范畴出发的经典 Tannakian 重构。

同伦理论在高阶范畴语境下的逐步适应，推动了范畴谱（categorical spectra）理论版本的发展，这些理论本质上利用了 Gray 充实结构。范畴谱理论的不同版本已在 [63]、[81]、[95] 中被研究。

Baez–Dolan 协 bordism 假说建立了拓扑量子场论与 n-范畴理论之间的桥梁。Lurie 对协 bordism 假说的草图证明 [77] 表明，高阶范畴理论在场论与范畴对称性的研究中至关重要。其他沿此方向的工作，以及高阶范畴理论在数学物理与表示论中的更广泛的应用，已在 [15]、[16]、[36]、[39]、[70] 等文献中开展，并且还有许多其他相关工作。

如果没有 Gray 张量积，上述所有发展都不可能发生，Gray 张量积在本文中始终扮演着基础性的角色。认为应当存在一种笛卡尔积的精化形式，且这种形式在高阶范畴语境中发挥类似作用的观点，可追溯至 Gray 的工作 [46]。¹⁸

1.12 符号与术语。我们固定一个集合论宇宙的层级，其对象我们称之为小的、大的、非常大的等等。若对于任意基点选择和自然数 n，空间（等价地，∞-群胚）X 的同伦群 πₙX 是小的、大的等等，则称该空间为小的、大的等等。若一个 ∞-范畴的最大子空间及其所有映射空间均为小的、大的等等，则称该 ∞-范畴为小的、大的等等。

我们将 (不必然是单值的) 弱 (∞, n)-范畴（0 ≤ n ≤ ∞）简称为 n-范畴；将 (不必然是单值的) 弱 (n, n)-范畴称为 (n, n)-范畴。特别地，我们将 (不必然是单值的) (∞, 1)-范畴称为 1-范畴，或简称为范畴。有时我们希望严格处理，这可以看作是沿着保余极限的对称幺半函子 S → Set 进行基变换。在这种情况下，我们将严格的 (n, n)-范畴简单称为严格 n-范畴。¹⁹ 因此，我们得到了 (n, n)-范畴的自然例子，甚至包括非严格的 (n, 0)-范畴。

符号 1.12.1。在讨论范畴时（此处范畴指在 ∞-群胚的幺半范畴关于笛卡尔积所充实的范畴），我们将使用以下符号与术语。

原文链接：https://arxiv.org/pdf/2510.10504