新吉布斯统计能量学及其在非平衡细胞系统中的应用

Neo-Gibbsian Statistical Energetics with Applications to Nonequilibrium Cells 新吉布斯统计能量学及其在非平衡细胞系统中的应用

https://arxiv.org/pdf/2508.17548

摘要

1引言

统计热力学能量学已成功作为蛋白质生物物理学的理论基础 [1]。J. W. 吉布斯负责建立了包含化学分子的理论；该理论包括他提出的现代热力学方法 [2] 和统计力学方法 [3]。当前，人们正日益认识到细胞生物能量学的重要性，并对其研究充满热情 [4]；而作为生命体的细胞属于非平衡系统 [5, 6]。然而，吉布斯数学理论中仍存在尚未完全揭示的隐藏结构；下文所揭示的内容将扩展其适用范围至生物细胞。

在蛋白质研究中，J. Wyman 发展了一种数学方法，用结合多项式描述配体在具有多个结合位点的蛋白质上的统计结合 [7]，并进一步建立了“结合势”概念，用以捕捉位点之间以及结合与构象转变之间的热力学关联或“作用力” [8]。这一方法是著名的 Monod-Wyman-Changeux 模型的基础 [9, 10]。J. A. Schellman 进一步从统计化学和热力学角度讨论了蛋白质与共溶剂分子之间弱相互作用的模型 [11, 12]。他认识到其生物物理化学理论与广义等压巨正则系综之间存在深刻联系；但后者自吉布斯时代起就被认为在宏观热力学中是奇异且不存在的，因此一些学者曾将统计热力学视为认识论上的矛盾修辞 [1]。得益于现代数学将勒让德变换精炼为勒让德–芬切尔变换（LFT）[13]，我们现在可以合法地将欧拉齐次函数的 LFT 表示为所有强度共轭变量的函数，并具有对偶性（见公式 A5 和 16）。这正是 T. L. Hill 在其小系统热力学中提出的“细分势”概念所必需的（见公式 A6 和图 2）。

在当前正规热力学教学中，熵的概念要么源于 R. 克劳修斯对卡诺循环的分析，要么源于 C. 卡拉西奥多里的不可达性原理 [15]，抑或干脆作为一种基本公设，即熵作为内能函数的存在性 [16]。吉布斯在统计热力学中的一个深刻思想是：通过勒让德变换，作为内能凹函数的熵 S(E) 的存在性，与作为温度凹函数的自由能 F(T) 的存在性在数学上是等价的。凸性定义了热力学相及其相律。进一步探索这一思想促使 T. L. Hill 在 1960 年代迈出了“关键一步”，建立了不含随机性的其小系统热力学 [17, 18]。

勒让德变换，或按现代术语称为勒让德–芬切尔（LF）对偶关系 [13]，在经典热力学中占据重要地位，但在当前统计力学教学中却明显缺失；LF 对偶对称性被完全忽略。在本工作中，我们将 LF 对偶对称性提升为热力学平衡的定义性特征；对偶对称性的破缺则意味着非平衡态 [19]。

正如蛋白质科学部分建立在吉布斯理论之上 [21, 22, 29]，活细胞科学也无法回避统计物理。Landau 和 Lifshitz 的著作 [30] 开篇段落（仅作轻微修改，如文中标记所示）非常准确地概括了我们工作的总体思想：

“统计物理学，通常简称为统计学，研究的是支配大量微观粒子（即原子、分子或数据）构成的宏观物体行为和性质的特殊规律。这些规律在很大程度上不依赖于描述物体中单个粒子运动的力学（经典或量子），也不依赖于数据背后的机制，但它们的具体实现则需要在三种情况中分别加以论证。”

对于经典力学系统，吉布斯所表述的规律被归纳为下文公式 (1)，其起点是一个给定的机械能 U(x)和一个温度 T。有关细胞数据的规律，从概率论出发，可无限延伸，详见文献 [24, 25]。

II. 通过变分原理以 推导经典热力学

如图 1 所总结，我们从玻尔兹曼熵函数出发：

III. 介观热力学熵 −dF/dT

公式 (4) 中的最后一个关系将经典热力学熵推导为自由能对温度 T 的导数。若交换公式 (6) 中的运算顺序，可能会得到不同的结果。在凝聚态物理中众所周知，这种差异定义了“涌现现象”[33, 35]。对公式 (1b) 中的 F(T) 关于 T 求导，可得：

IV. 不可逆热力学势

在经典热力学平衡中，熵 S(E)与自由能 F(T)之间存在勒让德–芬切尔（LF）对偶对称关系。然而，如上所述，公式 (2) 和 (3) 右侧括号 {⋯}内的表达式实际上分别是给定温度 T和给定能量 E下的宏观不可逆热力学势函数。将这两个表达式结合，可得到一个单一不等式，即著名的芬歇尔-杨不等式 [13]：

其中等号成立当且仅当公式 (4) 中的平衡关系成立：在平衡态下，温度 T 与能量 E 之间存在一一对应关系；在实验室中，任一变量均可用于指定宏观平衡态——等温过程或恒定能量过程。当系统的 T 与 E 不满足公式 (4) 时，则意味着系统处于非平衡态。因此，自然引入相对于平衡态的“不可逆热力学势”概念 [19]：

ψ = 0 表示一个平衡态，而 ψ > 0 表示一个非平衡态。事实上，不等式 ψ > 0 是热力学第二定律的一种形式，它不依赖于“时间之箭”[15, 24]，也不涉及动力学过程 [40]。这是一个纯粹的统计规律，是在热力学极限下自然涌现出来的。公式 (10a) 和 (10b) 传统上被分别讨论，例如作为固定温度 T 的正则系综和固定能量 E 的微正则系综。将非平衡自由能与非平衡熵统一为一个整体表述，是布鲁塞尔不可逆热力学学派通过熵产生理论所获得的重要洞见 [41]。

对于具有显著涨落的介观系统，ψ(T, E) = 0 所代表的温度与能量之间的宏观平衡不再有意义。此时，系统在温度 T 下的统计分布细节变得至关重要。当将公式 (1b) 中 F(T) 的统计表达式代入，并结合介观熵和能量的定义时：

V. 单细胞高维数据

VI. 讨论

让我们首先模仿 J. A. Schellman [1] 的说法：“热力学研究的是可测量量的实测平均值或总和之间的关系，是一门不显式依赖于系统机械层面性质的科学。” 第 II 节和图 1 中的数学过程，仅形式上识别出 SB(E)和 F(T)对温度 T和机械能函数 U(x)的依赖关系，而无需进一步阐明任何具体的力学细节，从而推导出统计热力学。然而，第 (7a) 式中引入的介观信息熵函数及其在 (7b,c) 中的两种等价表达式，则需要明确给出 U(x)，无论其多么粗糙。整个蛋白质科学的艺术，实际上是一种在实验室测量（主要以不同构象态的浓度，即计数）与粗粒化能量函数构建（以统计权重或平衡常数的形式）之间不断迭代的二重奏，其中还包括对状态空间 S本身的抽象概念化 [44, 45]。

吉布斯的理论，基于 U(x)和温度 T构建的统计自由能，催生了“现代”经典热力学能量学，其核心是成对的对偶变分原理，甚至将不可逆热力学势的概念作为数学极限来定义。这一过程可以形式化为 kB→0。大学课堂中所教授的所有平衡热力学关系，用多元微积分表述，都是这些变分原理及其对偶性的结果。完全平行地，现代概率论结合大偏差理论，为任意具有概率分布和累积量生成函数的随机变量推导出一个欧拉型一阶齐次熵函数，如公式 1 所示 [25]。新吉布斯理论已超越独立同分布（i.i.d.）的统计数据 [26]，甚至延伸至经典力学本身 [46]。这种对偶对称性使该理论具有内在的真实性和真诚性 [47]；它是一件真正的艺术杰作。

原文链接：https://arxiv.org/pdf/2508.17548