名著“哥德尔、艾舍尔、巴赫(GEB)”中的谬误（一）公理系统的可证性与真理性

美国科普作家 D. R. Hofstadter （侯世达）于1979年出版了一本题为“Godel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid – A Metaphorical Fugue on Minds and Machines in the Spirit of Lewis Carroll,”，通常被简称为“GEB”的科普著作[1]。该书自出版之日起，因其涉猎广泛和风格独特，从各种意义上来说，都获得了众多关注（褒贬不一），在若干领域都产生了影响（褒贬不一），并在1980年获得普利策图书奖(一般非小说类部门)(Pulitzer Prizes(General Nonfiction))。

实话实说，从科普的角度来说，笔者本人并不很欣赏 GEB 这本书，不认为该书是一本通俗易懂、准确严谨（笔者本人认为好科普的两个必要条件）的科普著作。这主要是因为侯世达的写作风格实在是很奇特，在一部涉及严格的数理逻辑形式化理论[参见下文]的科普著作中，不是使用最通俗易懂的自然语言表达来给读者展示出清楚明白的逻辑链条，而是使用大量的文字游戏、极其跨界的比喻比拟、隐喻的“自指”（斯坦福大学麦卡锡教授就认为“作者过分热衷于这种‘自指’”[马希文教授语]）来给读者们讲故事，并且还很随意地展开作者本人的未必合乎逻辑的“臆想”。记得当年北大马希文教授（该书中文译本的组织者之一，另一位是北大吴允曾教授）借在东京短期出差之机到我当时工作的九州福冈来访问，我们谈及该书，马教授对中文翻译工作之难大倒苦水时，也对侯氏的写作风格及翻译要求颇有微词。

侯世达在 GEB 书中写道：“一个深刻的哲学问题:文字和思想是否遵循形式规则？这个问题就是这本书的问题。 在本章和下一章，我们将研究几个新的形式系统。这将使我们对形式系统的概念有一个更广阔的视角。在这两章结束的时候，你应该对形式系统的能力有一个很好的了解，以及为什么数学家和逻辑学家对它们感兴趣。(a deep philosophical problem: Do words and thoughts follow formal rules, or do they not? That problem is the problem of this book. In this Chapter and the next, we will look at several new formal systems. This will giveus a much wider perspective on the concept of formal system. By the end of these two Chapters, you should have quite a good idea of the power of formal systems, and why they are of interest to mathematicians and logicians.)”

可见，形式系统应该是 GEB 一书的核心论题。本文指出 GEB 一书中关于形式系统的一些谬误。

公理系统的可证性与真理性

侯世达在 GEB 中陈述道：“简而言之，哥德尔展示了，无论涉及到什么公理系统，可证性总是比真理性弱的概念(In short, Godel showed that provability is a weaker notion than truth, no matter what axiomatic system is involved)。”这个陈述当然是完全错误的，是关于公理系统性质的一个非常离谱的谬误，哥德尔当然没有展示侯世达所说。

首先，对于可证性与真理性之关系，“无论涉及到什么公理系统(no matter what axiomatic system is involved)”这个刻意排除任何前提条件的陈述，是个非常严重的错误，实在不应该是以形式系统为核心论题的 GEB 这样一本书应该出现的失误。[该书的中文译本，也没有指出这一错误。]

众所周知（在任何一本像样点的数理逻辑教科书中都有），经典命题演算和经典一阶谓词演算这两个经典数理逻辑中最基本的公理系统，都具备健全性及完全性（经典一阶谓词演算完全性是哥德尔博士论文所证明的）。亦即，基于在经典数理逻辑的基本假设前提下建立起来的模型论，任何在经典命题演算和经典一阶谓词演算可证的形式定理都是恒真的逻辑定理；任何经典命题演算和经典一阶谓词演算的恒真逻辑定理，在经典命题演算和经典一阶谓词演算都可证。也就是说，在经典命题演算和经典一阶谓词演算中，可证性和真理性是完全相互等价的。

其次，任何有穷模型一阶形式理论，如果是完全的且可判定的，那么可证性和真理性是完全相互等价的。普雷斯伯格算术作为一阶形式理论，是完全的且可判定的，可证性和真理性是完全相互等价的。实数闭域一阶形式理论，是完全的且可判定的，可证性和真理性是完全相互等价的（塔斯基证明）。

再次，如果放宽前提条件（就像侯世达在 GEB 中错误陈述的那样），那么任何不具备健全性的形式理论，可证的形式定理未必是真的，亦即，真理性弱于可证性！

可以这么说，对于侯世达在 GEB 中的上述错误陈述，如果举反例，那么要多少就可以举出多少。[微笑]

参考文献

[1] D. R. Hofstadter, “Godel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid – A Metaphorical Fugue on Minds and Machines in the Spirit of Lewis Carroll,” Basic Books, 1979, 1999. 中译：郭维德等，“哥德尔、艾舍尔、巴赫 -- 集异壁之大成”，商务印书馆，1996年。