巧用相似求线段——2025年福建省中考数学第25题

巧用相似求线段

2025年福建省中考数学第25题

相似三角形在人教版九年级下册的重要内容，也是初中阶段学生学习的重要几何变换，在2022版新课标69页，对这部分课程内容提出了明确的教学要求：

了解

同类词：知道，初步认识

实例：知道轴对称图形的对称轴；结合具体情境，初步认识小数和分数，感悟分数单位.

掌握

同类词：能

实例：证明三角形的内角和定理；在实际情境中，综合应用比例尺、方向、位置、测量等知识，绘制校园平面简图，标明重要场所.

在2025年全国各省市数学卷中，涉及相似三角形的几何综合题通常难度不低，多数作为压轴题出现，要求学生能够从图形中找到符合推理思路的相似三角形，并能利用其性质完成推理演算，因此，这一类压轴题中，寻找相似三角形的必要性，是要突破的最大难点.

题目

如图，四边形ABCD内接于圆O，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点F，G是AB上一点，GD交AC于点H，且AB=AC，BG=DG.

(1)求证：∠ABC=∠DBE+∠E；

(2)求证：AH²=HF·HC；

(3)若tan∠ABC=√5，AD=2DE，CD=√6，求△AGH的周长.

解析：

01

(1)由条件AB=AC得∠ABC=∠ACB，其中∠ACB=∠CAE+∠E，而∠CAE作为圆周角，等于同弧所对的另一个圆周角，即∠CAE=∠DBE，所以∠ABC=∠DBE+∠E；

02

(2)由条件BG=DG得∠GBD=∠GDB，如下图：

∠GBD与∠HCD均为弧AD所对圆周角，所以∠GBD=∠HCD=∠GDB，再加上公共角∠DHF=∠CHD，可得△HDF∽△HCD，因此DH²=HF·HC，离我们的目标只差一步，即证明AH=DH；

仍然从∠ABC=∠ACB出发，∠ABC=∠GBD+∠DBC，∠ACB=ADB=∠ADH+∠GDB，可得∠GBD+∠DBC=∠ADH+∠GDB，于是∠DBC=∠ADH，而∠DBC与∠CAD均为弧CD所对圆周角，所以∠CAD=∠ADH，故AH=DH，完成最后一步推导，得到结论AH²=HF·HC；

03

(3)作为本题难点，△AGH的周长由三条线段AG，GH，AH构成，其中前一小题我们已经证明了AH=DH，所以AH+GH=DH+GH=DG，再加上BG=DG，因此△AGH的周长实际上是AG+BG=AB=AC，这样我们完成了将周长转化为求一条线段长的问题；

再由条件中的AD=2DE观察，它们都处于△ACD和△AEC中，猜测这两个三角形存在相似关系，并且也属于共边共角相似，下面我们来验证这个猜想：

∠ACB是△ACE外角，则∠AEC=∠ACB-∠CAE=∠ABC-∠CBD=∠GBD=∠ACD，再加上公共角∠DAC=∠CAE，可得△ACD∽△AEC，则AC²=AD·AE，不妨设DE=x，则AD=2x，AE=3x，于是AC=√6x；

由条件tan∠ABC=√5可知，我们需要构造直角三角形来“容纳”三角函数条件，而目前唯一可知长度的线段是CD=√6，因此我们过点C作AE的垂线，如下图：

根据圆外接四边形的外角等于它的内对角，可得∠ABC=∠CDM，因此在Rt△CDM中，tan∠CDM=√5，且CD=√6，可求出DM=1，CM=√5；

现在来到Rt△ACM中，AC=√6x，CM=√5，AM=2x+1，根据勾股定理列方程得6x²=5+(2x+1)²，解得x=3，所以AC=3√6，即△AGH周长为3√6.

解题思考

在解这道题的过程中，也曾误入歧途，当完成△AGH的周长转化成线段AB之后，结合CD=1，猜CD与AB之间存在数量关系，再加上AD=2DE“旁敲侧击”，因此走上另外一道路，试图证明CD∥AB，也就是证明△CDE∽△BAE，但推导失败，结论不足.

虽然在完成解答之后，顺便也证实了CD∥AB确实成立，但前面的推导过程中，没有有效利用CD=√6才是关键，换句话讲，CD=√6这个条件，保证了CD∥AB，只是后来的推导已经通过求出AC长完成了解答，实在没必要再去证明CD∥AB；

我用GGB重新作图来验证这个条件，首先作等腰△ABC，使tan∠ABC=√5，AB=3√6，然后作出它的外接圆O，再以点C为圆心，√6为半径作弧，交圆O于点D，再延长AD，BC交于点E，经过测量发现AD=2DE；

对于学生而言，寻找需要的相似三角形是解题关键，常见的A型、X型相似是基础，在这些基本结构上进行适当变化，即可得到更丰富的相似模型，例如本题中的共边共角型(子母型)相似，我们在章节复习过程中，通常会有这样一个教学环节，即将所有相似模型罗列出来，如下图：

作为教师，当然想通过这个设计帮助学生梳理各类相似模型，但实际上学生若仅仅只是看一眼，这个环节基本上会流于形式，我自已的复习课教学中，观察到效果并不理想，所以基于这个设想，改进了这个环节，这些图形由教师在黑板上画出来，不如让学生自已画，尽管学生不能画全，或者顺序错乱，但也充分暴露出学生对于相似模型的认知缺陷，而这，恰恰是复习课需要解决的问题.

学生的解题经验来自于解题后的思考，当我们从例题教学过渡到习题教学时，能否吃透例题，既是对学生的要求，也是对教师的要求，教材上的每一道例题，都是非常好的母题，它们的标高，也是中考的标高.