Fock 理论的坐标空间修正--量子库仑问题中的调和张量

Coordinate Space Modification of Fock's Theory-Harmonic Tensors in the Quantum Coulomb Problem

Fock 理论的坐标空间修正--量子库仑问题中的调和张量

https://arxiv.org/pdf/2501.00010

我们考虑氢原子在动量空间中的福克（Fock）基本理论，该理论实现了此前预测的四维（4D）空间中三维（3D）球面的旋转群。随后，我们对福克理论进行了修正，并放弃了动量空间的描述。为了转换并简化该理论，我们采用了三维和四维空间中静电学的不变张量方法。我们找到了一个四维坐标空间，使得薛定谔方程转化为四维拉普拉斯方程。从四维调和多项式到原始三维物理空间的过渡是代数的，涉及对一个被解释为时间的坐标的求导。我们得到了动量空间中本征函数的微分方程，并求出了其解。文中还给出了二次斯塔克效应的简洁计算。利用调和多项式方法推导了施温格（Schwinger）预解式，并讨论了矢量升降算符。

关键词：福克理论，量子库仑问题，调和多项式，傅里叶变换，升降算符

I 引言

A. 问题的本质

量子库仑问题可用于计算两个异号电荷系统的能谱，在量子理论中至今仍具有基础性地位 [1-4]。这一问题与二十世纪物理学奠基者的名字紧密相连：N. 玻尔（Bohr）、A. 索末菲（Sommerfeld）、W. 泡利（Pauly）、E. 薛定谔（Schrodinger）和 V. 福克（Fock）。原子光谱理论的引入通常从它开始，且已通过特殊函数理论的方法得到了深入研究。由于其形式简洁，以及内在的对称性——即四维空间中旋转群 SO(4)——它成为理论物理中构建各种概念的极为有用且精巧的工具 [5-7]。

尽管量子库仑问题看似已被彻底研究，但仍存在一些尚未完全阐明的问题。特别是，二次斯塔克效应的计算复杂性令人难以理解，即使所用的微扰方法在物理学中堪称最为简单 [1, 2]。福克的结果也令人惊讶：为什么 SO(4) 对称性是在动量空间中实现的，且该动量空间被“包裹”成一个嵌入四维空间中的三维（3D）球面，从而需要进入四维空间？

让我们回顾福克取得成就之前的背景。在经典力学中，有两个矢量守恒量：角动量和拉普拉斯-龙格-楞次（Laplace-Runge-Lenz）矢量。在量子力学中，它们对应于与能量算符（即哈密顿量）对易的矢量算符。文献 [8] 中对其对易子的分析表明，这些算符生成一个李代数（即具有对易运算的线性空间），该李代数恰好与四维空间中无穷小旋转算符的李代数相同 [1,3]。对于物理学家而言，这种对应关系意味着：通过某种变量和算符的变换，原始的量子库仑问题可以映射为一个粒子在嵌入四维空间中的三维球面上自由运动的问题。此时，能量算符在三维球面的旋转下保持不变。这令人联想到刘易斯·卡罗尔笔下柴郡猫那神奇漂浮的微笑所产生的奇妙效应。

福克的方法令同时代人印象深刻 [3, 9-11]。他理论的出发点是动量空间中的积分形式薛定谔方程（SE）。该动量空间可被视为四维空间中的一个三维平面。福克随后通过立体投影（stereographic projection）——一种自古以来就用于将球面地图投影为平面地图的便捷变换 [12,13]——将这个三维平面“包裹”成一个三维球面（福克所处理的“球面”和“地图”都是三维的）。与此同时，福克还假设了波函数（即方程的解）的一个因子，使得原来的积分方程转化为三维球面上球函数的方程（注意，这不同于二维球面上的球函数）。

这个方程在物理学中很少使用，但在特殊函数理论中却广为人知，且在四维空间的旋转下保持不变。然而，福克并未解释他所发现的这种变换的物理意义 [9-11]。因此，一些根本性问题仍然悬而未决：为什么 SO(4) 对称性是在被“包裹”的动量空间中实现，而不是在坐标空间中实现？电子又是如何“知道”立体投影的？

本文通过逆四维傅里叶变换对福克的方法进行了修正，该变换适用于被调和延拓至四维动量空间的本征函数²。这是一种向新的坐标空间的转换，因为福克将薛定谔方程变换到了四维动量空间。在四维坐标空间中，修正后的薛定谔方程退化为四维拉普拉斯方程，其本征函数为调和的四维张量，即齐次多项式。现在，本征函数是调和张量，也就是齐次多项式。它们的投影（即与数值张量的缩并）构成实心的四维球函数。

最终回到福克理论中原始薛定谔方程解的过渡，通过微分运算变得极为简单。因此，SO(4) 对称性在某种意义上“更贴近我们”的坐标空间中得以实现，而不再像福克所发现的空间那样遥远。尽管函数的结构得以保留，但逆变换却异常简洁，这对于理论概念的构建具有重要意义。

在物理学中，电偶极矩和电四极矩之所以常见，是因为物理学的基本概念与它们密切相关。然而，如近期多项研究所示，在笛卡尔坐标系中使用不变的多项式张量更为优越，能够简化基本的计算方案 [25-31]。在第3节中，我们将展示使用调和对称张量的规则，这些规则直接源于其自身性质。这些规则自然地体现在特殊函数理论中，但由于群的性质具有普适性，有时并不明显 [32]。无论如何，我们回顾调和张量的一个主要性质：对任意一对指标求迹的结果为零 [23, 33]。

我们在此选取张量的若干性质，这些性质不仅能使解析计算更加紧凑、减少“阶乘的数量”，而且还能正确地表述理论中某些基本问题。在第4节和第9节中，我们将通过计算二次斯塔克效应和推导施温格预解式，展示这类张量在微扰理论中的优势。在第7节中，我们将借助三维和四维空间的静电学方法，并结合特殊函数理论，推导福克所得到的积分方程。在第8节中，我们将推导库仑问题中的矢量升降算符，并揭示其与球面反演之间的关系。

为了修正福克理论，使用调和张量过渡到四维坐标空间是较为方便的，因为如下文所示，这些张量的形式在相当复杂的变换下仍保持不变。当然，SO(4) 对称性本质上就蕴含于这些不变的四维张量之中。最终向物理空间的代数过渡会突出一个特定的坐标，该坐标可被称为复时间。随后，该坐标乘以虚数单位 i（从而转变为实时间），并令其等于径向矢量的长度 r，从而被公式“吸收”。因此，SO(4) 对称性在原始薛定谔方程的解中被隐藏了起来。

严格来说，本文所发现的变换并不完全等同于福克的理论。其中有三个根本性的变化简化了所使用的变换过程。第一，是从福克的球面扩展到四维空间，从而得到调和张量。第二，是使用四维空间中的空间反演，取代了球面的立体投影。第三，是在最终变换中舍弃了δ函数。每次变换都保持了 SO(4) 对称性，从而得到了理想的结果：薛定谔方程的本征函数在代数上与四维调和张量相关联。

我们注意到，本文所发现的态对应关系源于问题本身的物理对称性，而在拉盖尔（Laguerre）多项式和盖根鲍尔（Gegenbauer）多项式的理论中尚未被知晓 [32]。

B. 用调和多项式代替球函数

这里的数 k 是公式 (7) 中第二个因子的次数，因此整个多项式的次数为 n-1。此处及以下的归一化并不重要，除非特别说明。

如果没有优先方向，且谱与量子数 m 无关，则可以同时考虑所有不同 m 值的本征函数集合。对于下文所讨论的变换，使用在旋转群 SO(3) 下不变的、秩为 l 的张量是较为方便的，这类张量在静电学中已有发展。特别地，对于四极态，其解的形式为：

II. 福克理论
当变换到动量表象时，薛定谔方程（2）（取 ℏ = 1）

III. 调和张量与多极张量
A. 三维静电学中的多极张量

B. 静电学中幂律等效矩定理

设 ρ(x) 为电荷分布。在计算多极势时，可以使用幂律矩来代替球函数（或代替公式（19）中的调和张量）：

四维张量在结构上比三维张量更简单。但薛定谔方程要求本征函数乘以一个三维张量。这迫使我们不能直接使用四维张量本身，而必须使用其一种特殊投影，这种投影在将四维指标替换为三维指标时失去了四维不变性。

E. 多项式按调和函数的分解

在微扰理论中，有必要将源项按球函数展开。如果源项是一个多项式，例如在计算斯塔克效应时，相应的积分虽然是标准的，但计算过程繁琐。而借助不变张量进行计算时，展开系数得以简化，从而不再需要进行积分。正如我们将要展示的，只需计算张量的缩并（即降低所考虑张量的秩）即可。

我们用对张量的两个指标求迹的运算 来代替积分。以下的降秩公式非常有用。⁸

我们注意到，通过积分球函数来推导分量形式的方程（37）和（41）相当繁琐。而利用对两个指标的缩并方法来分解高次幂，则并不更加困难。

V. 二次斯塔克效应
A. 一阶修正方法

为了展示使用多项式（以及调和张量）进行计算的有效性，我们考虑线性效应不存在情况下的二次斯塔克效应。相应的公式在文献 [34-38] 中通过引入抛物线坐标而得到。现代的表述可见于文献 [1, 39, 40]。此时，薛定谔方程可分离变量，从而产生两组正交函数。微扰矩阵自动变为对角形式，立即得到熟知的结果：电偶极矩正比于抛物线量子数之差 。

这里，我们考虑使用物理学中已知的一种技术来计算二次斯塔克效应，该技术利用对称性性质（例如散射矩阵的幺正性），使得可以在前一级近似的基础上通过代数方法直接得到下一级近似 [25]。该方法无需计算矩阵元。将原始薛定谔方程按电场 E的幂次展开，针对态 的一级修正，其形式为：

V. 动量空间中薛定谔方程的微分形式
A. 推导与求解

我们将调和张量方法应用于动量空间中的薛定谔方程（SE）。在传统方法中，通常只考虑薛定谔方程的积分形式 [1-4, 39, 40]，即方程（40）或福克方程（16）。此时，本征函数包含一个以修正变量表示的盖根鲍尔（Gegenbauer）多项式因子 [39]，另一个因子则是动量空间中的三维张量（或实心球函数）。直接应用傅里叶变换会转化为汉克尔（Hankel）变换 [40]，虽然这在原则上并无根本困难，但具体计算可能较为繁琐。下文将证明，存在一个微分形式的方程，且其推导过程相当简单。该方程的解可通过形式类似于方程（7）中“原始”多项式的多项式求得。

我们从方程（2）出发，将轨道半径（乘以量子数 n 后）归一化为 1。将方程（2）两边同时乘以径向坐标模长 r，并对两边的算符进行平方：

VI. 修改福克理论

A. 扩展至 4D 动量空间

已知调和张量（或实心球函数）的方法，我们考虑从动量空间中的 4D 球函数到物理空间中薛定谔方程（SE）的逆变换（其中轨道半径被归一化为 1），而不重复其推导过程。每次变换的主要要点是保持 SO(4) 对称性。福克理论的第一个修改是从球函数过渡到球体内部的 4D 实心球函数。它们在表面
上重合。因此，该理论的出发点由 4D 实心球函数给出。

D. 从四维调和多项式到氢原子的态

傅里叶变换必须在广义函数（分布）的意义下理解，因为方程（62）的分子包含一个多项式。其结果是δ函数的组合，这些δ函数必须被舍弃。为此，我们将在下半复平面中闭合积分路径，因为在该区域指数函数衰减，且存在极点 τ=−ir：

VII. 通过静电学方法推导福克方程

A. 在三维静电学中

我们考虑单位球面上电荷分布 σ(x)的势能，其中电荷密度是一个带有指标 l的球函数（或齐次调和多项式，其阶数为 l）：

按照 J. 施温格（Schwinger）的方法，我们考虑在四维坐标空间的球面上，对福克方程（16）施加微扰的情形，其中使用单位四维向量 x和 y。当微扰项为球面上的δ函数时，其解称为预解式 G(x,y)。于是，福克方程转化为关于预解式的方程：

其中，原本的量子数 n被替换为一个连续参数 λ。

J. 施温格将整个积分微扰理论的级数应用于方程（86）的求解，以证明量子电动力学（QED）中的某些级数是可求和的 [50]。这一假设在某些情况下得到了证实 [56]。对于库仑问题，其解可以用初等函数表示。

该问题的解可以通过一个简单的计算得到 [3]，即利用附录 E [51-53] 所列出性质的盖根鲍尔（Gegenbauer）多项式。我们寻求方程（86）的解，形式为多项式的和。我们使用以下明显的展开式：

原文链接：https://arxiv.org/pdf/2501.00010