山西
一、题目
如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，D是BC上一点，连接AD，∠BAD=15°，过点A作AE⊥AD且AE=AD，连接BE交AC于点F.则CF的长为______
二、分析与解答
∠CAD=30°，CD=AC/√3=√3
解法一：双全等
△ACD≌△EGA，AG=CD=√3，CG=AC-AG=3-√3
△BCF≌△EGF，CF=GF=1/2CG=(3-√3)/2
解法二：手拉手全等+中位线
由手拉手模型，知 △ABD≌△AGE，EG⊥BD，BD=EG=3-√3
CF//EG，由平行线分线段成比例，得 BF/EF=BC/CG=1，BF=EF
CF是中位线，CF=1/2EG=(3-√3)/2
解法三：三垂直全等+中位线
△ACD≌△AGE，AG=AC=3，CD=GE=√3
四边形ACHG是正方形，CH=AG=3=BC，AC=GH=3，EH=3-√3
CF是中位线，CF=1/2EH=(3-√3)/2
三、小结
1、三垂直模型：长直角边、短直角边、斜边互相垂直的两个直角三角形相似，如果有一组对应边相等，那么这两个直角三角形全等.
2、手拉手模型：由两个顶角相等且共顶点的等腰三角形构成，常见结论有4个.
如图，∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，则
①BD=CE 拉手线等长
②△ABD≌△ACE 与腰构全等
③∠BFC=∠BAC 夹角为顶角
④FA平分∠BFE 连线分夹角
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