新定义“关联角度”——磨刀不误砍柴工

新定义“关联角度”

磨刀不误砍柴工

2022版新课标对于数学核心素养“三会”内涵的描述中，明确指出了数学思维的主要表现为：运算意识、推理能力和推理意识。通过经历独立的数学思维过程，学生能够理解数学基本概念和法则的发生与发展，数学基本概念之间、数学与现实世界之间的联系；我们平时的数学课堂上，对于概念教学是否重视，决定了学生的数学思维发展的上限。

在新定义型压轴题中，通常情况下对于概念的解读是解题的重中之重，一般而言，正确理解了概念，解题就十分顺利，甚至可以秒杀，否则解题过程处处受困，难以为继。

2025年北京中考数学第28题，以圆的切线为背景构建新定义”关联点“及”关联角度“，只要正确解读出概念，本题便可称为简单。

题目

在平面直角坐标系xOy中，对于点A和圆C给出如下定义：若圆C上存在两个不同的点M，N，对于圆C上任意满足AP=AQ的两个不同的点P，Q，都有∠PAQ≤∠MAN，则称点A是圆C的关联点，称∠MAN的大小为点A与圆C的关联角度(本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角)

(1)如图，圆O的半径为1.

①在点A1(1/2,0)，A2(4/3,0)，A3(2,0)中，点_____是圆O的关联点且其与圆O的关联角度小于90°，该点与圆O的关联角度为_________°；

②点B(1,m)在第一象限，若对于任意长度小于1的线段BD，BD上所有的点都是圆O的关联点，则m的最小值为___________；

(2)已知点E(1,3)，F(4,3)，T(t,0)，圆T经过原点，线段EF上所有的点都是圆T的关联点，记这些点与圆T的关联角度的最大值为α.若90°≤α≤180°，直接写出t的取值范围.

解析：

01

(1)首先逐字解读新定义关联点、关联角度，平面直角坐标系中的点A的圆C，并未给出具体坐标，而我们知道点和圆有三种位置关系，点A在圆C外，点A在圆C上，点A在圆C内，因此我们可先在草稿纸上作出点A与圆C，如下图：

然后在第一种情况下继续解读，圆C上存在两点M，N，不妨先任意找两点，根据后续条件来进行调整，如下图：

连接AC，由于圆的轴对称性，经过圆心的任意一条直线都可以作为其对称轴，显然AC所在直线即圆C对称轴，因此圆C上任意满足AP=AQ的两个不同的点P和Q，一定关于直线AC对称；

接下来是关键条件∠PAQ≤∠MAN，当点A在圆C外，圆C上任意满足AP=AQ的点P和点Q，形成的∠PAQ要达到最大值∠MAN，只有一种情况，即AM和AN分别是圆C的切线，如下图：

于是当点A在圆C外时，关联点和关联角度的意义就很明确了；

当点A在圆C上时，切点M，N会重合，与题目条件中“存在两个不同的点M，N”矛盾，因此点A不可能在圆C上；

当点A在圆C内时，如下图：

此时M，A，N必须共线，∠MAN=180°，而∠PAQ最大值也是180°，所以∠PAQ≤∠MAN才能对于任意满足条件AP=AQ的点P，Q都成立.

简单小结一下新定义：点A与圆C，在位置关系上只有两种情况，点A在圆C外，点A在圆C内，当点A在圆C外时，过点A作圆C的两条切线，切点M，N与点A形成的∠MAN即关联角度，随着点A与圆心C的距离缩小，∠MAN随之变大；当点A在圆C内时，M，A，N共线，此时∠MAN始终是180°；

现在我们可以秒掉①和②了.

①显然A1虽然是圆O关联点，但关联角度是180°，不符合；

对于点A2，我们作切线后连接切点，如下图：

在Rt△OMA2中，OM=1，OA2=4/3，则可求出sin∠MA2O=3/4，可知∠MA2O>45°，于是∠MA2N>90°，也不符合；

对于点A3，如下图：

在Rt△OMA3中，可求出sin∠MA3O=1/2，即∠MA3O=30°，则∠MA3N=60°；

②对于任意长度小于1的线段BD，BD上所有点恰好构成以点B为圆心，半径为1的圆内部(不含边界)，这个区域不可能全部位于圆O内，根据新定义，它必须全部位于圆O外，当点B位于第一象限时，如下图：

连接BO，在Rt△AOB中，OB=2，OA=1，求得AB=√3，因此m的最小值为√3；

02

(2)根据关联点定义，当关联点在圆外时，距离圆心越近时，关联角度越大，当关联点在圆内时，关联角度始终是180°，我们不妨先找到临界点，即关联角为90°时的关联点位置；

若当t>0时，先找到线段EF上距离圆心T最近的点，过点T作EF的垂线，垂足为A，如下图：

我们很容易证明四边形AMTN是正方形，其中AT=3，则TM=3√2/2，此时t=3√2/2，而当t=3时，圆T与EF相切，所以3√2/2≤t＜3；

何时圆T将整个线段EF“包裹”起来呢？如下图：

当圆T经过点E时，连接OE，ET，过EG⊥x轴，在Rt△ETG中EF=t，TG=t-1，EG=3，可求得t=5，所以t>5；

当t<0时，端点E距离圆心T最近，过点E作圆T的切线EM，EN，如下图：

过点E作EG⊥x轴，在Rt△ETG中，TE=-√2t，TG=1-t，EG=3，可求得t=-1-√11，此时面临最后一个难题，t究竟是大于等于-1-√11呢？还是小于等于？

我们必须讨论Rt△EMT中，∠MET与TM:ET之间的关系，即sin∠MET的值，是随t的变化如何变化的；

我们知道TM=-t，EF=1-t，则sin∠MET=-t/(1-t)=1-1/(1-t)，在t<0的前提下，t越小，1-t越大，则sin∠MET越大，所以t≤-1-√11；

综上，t≤-1-√11或3√2/2≤t＜3或t>5.

解题思考

在学生读懂新定义之后，本题的确不算难，但对于最后一个t值范围的讨论，涉及到了三角函数，关于三角函数的概念，北师大版教材明确提到了三角函数值随角度变化的趋势，而人教版教材只提到了有变化，如下图：

北师大版九年级下册

人教版九年级下册

其实我们在这一部分内容的教学中，是可以提供机会让学生感受角的正弦值随角度变化是如何变化的，用函数观念来理解本题中t值变化，思维上更顺畅；要知道在高中阶段，三角函数的“函数味儿”更浓一些.

从初中数学角度来看，普遍一线老师并没有把它作为函数看待，多数情况下用特殊三角函数值比较多，更多解题场景下三角函数和相似又互通，更冲淡了它的函数味道，个人认为可以适当让学生感受，至少不要造成三角函数就是几个特殊值的印象.

当然，本题并非一定要用三角函数确定t的取值范围，用几何直观同样可行.

于是问题又绕回来了，如何让学生读懂新定义？

我们在前面的解读过程中，逐字解读，涉及到点和圆的位置关系，圆的切线概念，圆的对称性等，学生在考场上是没有几何画板等工具的，他们需要在草稿纸上作图，或者在脑子里构图，这就要求所有作图的步骤，平时应该经历过，而且还要明确其作图原理，2022版新课标中也明确标明了这一要求(*号部分)

例76关于作法部分

在尺规作图基础上，才有高效作草图的可能，所谓作图功夫在平时，一点都没错.

归根到底，无论是解题时对新定义的解读，还是平时课堂教学中对基本技能的培养，都说明一个道理——磨刀不误砍柴工.