精准操控量子态，量子计算的关键技术

Steering an Eigenstate to a Destination

精准操控量子态，量子计算的关键技术

https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.85.1626

在量子力学中，精密测量和应用通常依赖于对量子态的精心制备和受控演化 [1]。一种常用的相干控制方法是通过施加精确设计的交流脉冲来实现的 [2]，此外，也有大量关于量子态最优控制的理论研究文献 [3]。绝热跟随原则上是另一种通用的相干控制方法 [4]，最近已被用于将超冷原子制备在特定的布洛赫能带中 [5]。这种方法的关键在于哈密顿量的时间演化必须足够缓慢，并且可能会因为非绝热跃迁而产生一些损耗 [6]。

在本论文中，我们展示了如何实现这样一个目标：在没有任何非绝热跃迁的情况下完成量子态的绝热切换——初始本征态在哈密顿量演化结束时仍然保持为最终时刻的本征态。为了表述简洁以及广泛的应用前景 [7,8]，我们将问题放在一个两能级系统或等效地一个自旋-1/2在磁场中的背景下进行讨论。我们证明，即使磁场被限制在一个平面内，也可以始终实现绝热切换；并且当某一磁场分量从 -∞ 到 +∞ 扫过，而其他分量保持不变时，可以通过类似Zener型的哈密顿量实现完全的自旋反转。我们还讨论了如何在实际中应用我们的结果。我们认为“本征态操控”这一概念不应局限于两能级系统，但将其推广到三个或更多能级的情况将留待未来的论文中进行。

基础讨论部分 —— 我们从一些基本方面入手，对两能级系统的控制问题进行一般性的讨论，以设定我们方法的范围和策略。我们将采用逆解薛定谔方程或海森堡运动方程的方法，同时在后续逐步加入哈密顿量的各种物理约束条件。此前使用这种方法的研究已取得了丰硕成果，例如发现了广义旋转波态的精确解 [9] 和演化环 [10]。一种密切相关的方法被称为“追踪法”（tracking）[11]。

两能级哈密顿量的最一般形式可以写成 [12]

其中 1 是 2×2 的单位矩阵，σ 是泡利矩阵，而 B 是时间的实函数。态的时间演化可以完全由一个与时间有关的么正矩阵 U 来描述，并且人们可以逆向求解薛定谔方程，以找出能够产生这种演化的哈密顿量。

这个故事似乎用一行就讲完了。然而，对于许多应用来说，人们只关心对单个态的控制，甚至可能并不在意该态的整体相位。这将为哈密顿量的选择留下一些设计自由度，从而可以用来满足装置的物理约束条件，或实现某些优化目标 [13]。

一个态的两个分量一般可以写成 [12]

其中 a 、b 和 g 是时间的三个实函数。在物理上，a 和 b 分别是平均自旋矢量（布洛赫矢量）的极角和方位角 [12]

而 g 是整体相位。显然，哈密顿量的四个参数无法由波函数的三个参数唯一确定。人们可以任意设定一个与时间有关的 B₀ ，而哈密顿量的其余参数则由以下方式给出：

对自旋角度 a 和 b 的控制可以不涉及整体相位 g 以及哈密顿量的标量部分 B₀ 。利用海森堡运动方程，可以得到 [12]

其中 B = (B₁, B₂, B₃) 是磁场（力矩矢量），该方程也被称为布洛赫方程。
运动方程的一个守恒量是平均自旋的大小 r ，实际上，对于纯态来说，这个值等于 1 [14]。
如果人们感兴趣的是由同一磁场驱动的两个自旋矢量（两个态）的同时运动，那么自旋之间的夹角也是运动方程的一个守恒量。
这种刚体转动可以完全由三个欧拉角来描述，这三个欧拉角也应该完全决定磁场的三个分量 [9]。
然而，在这里我们关注的是对单个态的控制，此时磁场 B 的一个通解可以写为：

其中涉及一个与时间有关的自由参数 f 。那么，f 的物理意义是什么？

如果观察者在一个以角速度 Ω 旋转的参考系中观察 r 的运动，则等效场会变为 B' = B + Ω [15]。
如果选择的参考系由正交轴 r 、ṙ 和 r × ṙ 张成，则角速度为 Ω = r × ṙ ，此时等效场为 B' = f r 。

换句话说，在随自旋矢量一起运动的参考系中，等效场完全沿着自旋方向，其大小和符号由 f 给出。

那么，当 f = 0 时，场的解（7）具有什么样的物理意义？
它的物理意义是：这种场可以被理解为在旋转参考系中由惯性力所模拟出的一种场。

这样的场必须满足什么样的约束条件？

由于 B = ṙ × r 和 Ḃ = −̈r × r 都垂直于 r ，所以向量 B × Ḃ 必须与 r 平行。
因此，如果我们计算 B × Ḃ 的单位向量的时间导数，其结果的大小必须等于 |ṙ| = B ，即：

其中 y = |ṅ| 是沿单位矢量 n(t) 曲线的运动速度，而s = ∫ dt y 是该曲线的弧长变量。上述条件意味着：场 B 的大小必须等于其方向单位矢量所形成的曲线的速度与测地曲率的乘积。

平面场（Planar fields） —— 自由参数 f 可用于满足实验中的物理约束。一个在实际中非常有趣的情况是：磁场被限制在一个平面内 [7,8]。不失一般性，我们设该平面为 x-y 平面 。在 Eq. (7) 中，条件 B₃ = 0 确定了参数 f = −ḃ sin a tan a 。
此时，磁场的另外两个分量则被确定为：

这些表达式在除了赤道 a = π/2 以外的任何地方都是光滑的。因此，任何完全局限于北半球或南半球内的自旋运动都可以由一个完全位于赤道平面上的磁场生成。这一结果可能对双势阱中动力学局域化问题有一定的启示意义，这类问题通常被建模为一个两能级系统（每个势阱对应一个能级）[16]。

在有限平面场作用下，自旋的运动必然受到一定限制：当它穿过赤道面 a = π/2 时，ḃ 必须为零。这意味着，如果自旋以一个有限速率穿过赤道（即 ȧ ≠ 0 ），那么其轨迹在赤道处必须是垂直的（即 da/db = ȧ / ḃ = ±∞ ）。然而，如果自旋以趋于零的速率接近赤道（即 ȧ = 0 ），则轨迹不必是垂直的，甚至可以与赤道相切。

无论如何，如果人们只关心从某个特定初始态到达一个目标末态，那么使用平面场已经足够。有一个普遍定理 [17] 表明，几乎所有的态旋转都可以通过依次施加两个不同方向的场来实现，而我们的解表明，仅用两个分量随时间光滑变化的场也可以实现同样的效果。

接下来，我们希望寻找一些控制问题的解，这些解对初始和末态的场方向有额外的要求。

假设自旋最初固定在一个方向上，且此时磁场也指向该方向。是否有可能在磁场逐渐旋转到另一个方向的过程中，将自旋引导到该方向上？根据绝热定理，只要磁场旋转的速度始终远小于其大小（该大小给出了两个绝热本征态之间的能量差 [4,6]），那么这种引导是可以实现的，误差最多是指数小的。然而，也有可能设计出没有任何非绝热修正、且磁场旋转速度不一定很慢的解。

为了实现这一点，可以简单地指定一种在初始和末态时刻满足 ṙ = 0 的自旋运动，并利用 Eq. (7) 中的逆解法求得所需的时变磁场。然而，当存在对磁场的约束时，这种方法并不奏效。对于磁场被限制在某一平面上的情况，文献 [7] 的 Eq. (4.49) 给出了具有所需性质的一个精确解。在这里，我们展示一种获得此类解的一般方法，该方法要求在初始和末态时刻满足 a → π/2，b → u ，其中 u 是磁场相对于 x 轴的角度。

为了使这些条件更加简洁，我们将 Eq. (10) 用磁场的极坐标形式重新写出：

其中 a₀ = da/db 。Eq. (12) 中时间导数的消失表明，磁场的角度是轨迹的一个几何性质：即只要知道 a 作为 b 的函数，就可以知道 u 作为 b 的函数，而无需考虑 b 如何随时间变化 [18]。

因此，“当 b → u ”这一条件可以表示为轨迹的一个几何条件：a₀ cot a → 0 ，当 b → u₇ （其中 u₇ 是初始和末态的磁场方向角度）时成立。

如果 |a − π/2| 在 |b − u₇| → 0 时以 |b − u₇|^p⁄² 的方式趋于零，则上述条件等价于 p⁄2 < 1/2 ，即 p < 1 。

在文献 [7] 所给的例子中，实际上对应了一种自旋轨迹形式：sin b tan a = 常数 ，这对应于 b₇ = 0, π ，并且 p = 1 。

类Zener模型（Zener-like models） ——
现在我们再对哈密顿量施加一个物理约束：只有一个磁场分量可以随时间变化。

在典型的绝热跃迁问题——Zener问题 [6] 中，哈密顿量的参数可以写成：

• B₁ = D
• B₂ = γ t
• B₃ = 0

此时磁场方向角为：u = tan⁻¹(γt / D) ，极角和方位角 a、b 可以用抛物柱函数表示。

如果初始时刻（t = −∞ ）自旋沿着磁场方向，则在终态时刻（t = +∞ ）它将偏离磁场方向一个角度：

2 sin⁻¹{exp(−πD² / 2ħγ)} ，

这表示存在有限的非绝热跃迁概率。

相比之下，我们将展示：构造一种类似的哈密顿量是可能的，并且其总的非绝热激发完全为零 [19]。

我们的模型哈密顿量具有如下形式：

• B₃ = 0
• B₁ = 常数（记作 D）
• B₂

  单调地从 −∞ 变化到 +∞ ，变化方式类似于 Zener 模型。

我们希望构造出满足以下条件的轨迹：

在初始和末态时刻，有 a → π/2 和 b → ±π/2 ，这表示自旋完全反转，与磁场方向相反。

例如，满足这些条件的一族轨迹（如图1所示）可以定义为：

sin a = exp[−ε cos(qb)] ，其中 ε > 0 ，q > 1 ，

这里 q > 1 的条件来自于前面提到的 p < 1 的要求。

接下来，磁场分量 B₂ 的行为就被唯一确定了。根据 B₁ = B cos u = D 以及 Eq. (11) 和 Eq. (12)，我们可以得到：

应用（Applications） ——
最后，我们讨论本研究可能的应用场景。

在量子信息领域，一个基本操作是量子比特（qubit）的旋转 [20]，也就是从一个量子态到另一个量子态，或者到达它们的某种叠加态的转变，这通常通过施加精确设计的交流脉冲来实现。

如果该量子比特在物理上是由一个自旋表示的，那么我们的方法直接展示了如何按照期望进行旋转，并且还有一个额外的优势：在初始和末态时刻，自旋与磁场方向对齐，从而在操作开始和结束时免受诸如噪声和耗散过程等小扰动的影响。

如果量子比特是由一个两能级原子表示的，则需要照射一个激光，其频率从远低于共振频率连续扫频到远高于共振频率，以实现我们提出的类似Zener的模型。

在旋转波参考系中，并在旋转波近似下，这个问题可以有效地简化为我们提出的自旋模型，其中磁场的一个分量由失谐量给出，另一个分量由偶极耦合振幅给出 [7]。

另一个应用方面，人们可以利用我们的方案来改进光晶格运动的设计，从而将冷原子加速到高速。

光加速方法已被用于将原子制备到合适的初始条件，并用于观察凝聚态物理中的一些经典量子效应 [5]。

在恒定加速度下，原子有一定的概率通过隧穿离开一个布洛赫能带。这种隧穿由两个能带之间避免交叉处的能隙主导，并且可以用Zener模型进行有效分析：其中 B₁ 为能隙，B₂ 随时间以与加速度成正比的恒定速率变化。

根据我们对 B₂(t) 的设计，通过随时间调整加速度，应该可以完全抑制这种隧穿过程。

https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.85.1626