0.99999...=1 ？数学史上最让人难以接受的等式，原来一个定义就能解决！

在无限的森林里，存在太多超出我们直觉的、奇妙的，甚至自相矛盾的实物。那是因为我们本身就是有限的存在，所以还不习惯用直觉去理解无限的事物。对于有限的我们来说，需要借助数学的语言来正确理解无限。

著名理论物理学家大栗博司先生写给女儿的数学启蒙书，就帮助我们理解许许多多的数学概念。

书中以用“数学语言”解读自然为线索，突破传统数学教育的顺序和教学方式，用历史事件、生动故事以及比喻直接讲解数学核心概念的原理与相关体系，并且讲解了把数学作为一门“语言”、用数学探索自然不可见结构的思维方式，是重新认识和理解数学的科普佳作。

来源 | 《用数学的语言看世界（增订版）》

作者：[日] 大栗博司

译者：尤斌斌

01

康托尔的连续统假设

我们的脑细胞是有限的，生存时间是有限的，按理说本来只能思考有限的事物。但是，我们却能在数学中讨论无限。其中一位先驱者就是 19 世纪德国的数学家格奥尔格·康托尔。康托尔发明了我们在学校曾经学过的“集合”概念，还提出了比较集合大小的方法。如果集合的要素（即元素）的数量是有限的，那么只要数清楚元素的数量，就能比较集合的大小。不过，如果集合的元素是无限的，该怎么比较呢？

康托尔认为，只要将 2 个集合中的元素一一对应，就能发现 2 个集合的大小相同。如果是有限集合，只有元素数量相等，才能做到一一对应。这同样也能运用于无限集合中。

例如，自然数集合和偶数集合之间也存在一一对应。如下所示：

只要像这样对应即可。也就是说，让自然数 n 与偶数 2 × n 相对应。之前说过加州旅馆客满时，让已入住的客人全部搬到偶数房间，这个时候使用的就是上述对应。

而且，自然数集合和分数集合之间也存在一一对应。该对应出现在给有理数旅行团的客人们发放自然数的号码牌时。虽然这个过程中会出现重复现象，不过只要填满重复的部分，也能做到一一对应。

但是，康托尔发现了自然数集合和实数集合之间无法做到一一对应。例如，假设存在

等对应关系，还是能找出与箭头右边数字完全不同的新数字，比如说0.781。寻找新数字时，先依次圈出以下几个数字，

然后再随意挑选除 2、5、3 以外的数，例如 7、8、1。将这选出的三个数组合在一起，就得到新数字 0.781。我们发现对应表中并没有出现0.781。所以，不管如何对应自然数和实数，总是有一些实数会被遗漏。这种排列实数，斜向观察小数点后数字的议论方法被称作“对角线论法”。

也就说，自然数集合和分数集合的大小差不多，不过二者都比实数集合小。那么无限集合之间也存在大小关系。康托尔甚至还发现存在比实数集合更大的集合，以及无限集合中有无限的阶层。

康托尔的研究引起了很大的争论，其中大多数的数学家持批判态度。特别是德国数学界的权威人士、柏林大学的教授克罗内克，当时他是批判康托尔的急先锋。克罗内克有句名言“上帝创造了整数，其余都是人做的工作”，所以他所认为的数学是处理类似自然数等数字的有限存在。在克罗内克看来，康托尔的数学远已超出研究实数这种“人做的工作”，他把所有自然数和实数看作无限集合，而且对其比较大小，克罗内克非常讨厌这种人为的数学。

面对克罗内克的批判，康托尔用了一句名言来反驳，“数学的本质是自由”（Das Wensen der Mathematik ist ihre Freiheit）。在古巴比伦和古埃及，人类为了测量土地而发明了几何学，牛顿为了确立力学定律而发明了微积分，可以说数学是为了理解这个世界而不断得到发展。

但是，到了 19 世纪，出现了一种为了数学本身而研究数学的想法。只要理论上符合逻辑，任何方面都可以作为研究对象。于是数学脱离了外部世界，成为一个独立的个体，进而发展成一门凭借学者思想的翅膀自由飞翔的“自由”学科。在现在的纯粹数学中，康托尔的想法再正常不过了，然而在 19 世纪却被视为异端。

德国哥廷根大学的教授戴维·希尔伯特高度赞扬了康托尔的功绩，并宣称：“康托尔创建的数学天堂，不会驱逐我们任何一个人。”

1900 年国际数学家大会于巴黎召开，希尔伯特在大会上提出了 23个问题，其中的大多数问题给 20 世纪的数学发展带来了巨大的影响。特别是第一问题，即证明或否定康托尔的猜想“不存在大于自然数集且小于实数集的集合”。康托尔的这个猜想也是著名的“连续统假设”。

希尔伯特的第一个问题以一种意想不到的方式得到了解决。20 世纪初期出生于奥匈帝国的库尔特·哥德尔在 1931 年证明了“不完备性定理”而闻名于世。不过，他在第二次世界大战期间逃离了纳粹德国，移民到了美国。1940 年，在他刚刚任职于普林斯顿高等研究院时，指出康托尔的“连续统假设”与现在数学所使用的标准框架并不矛盾。然而在 1963 年，斯坦福大学的保罗·寇恩在否定连续统假设的情况下证明了其与数学所使用的标准框架并不矛盾。

我们发现，结合哥德尔定理和寇恩定理都无法证明连续统假设是否正确。不管是肯定还是否定，在数学的世界里都不会产生悖论。也就是说，我们可以认为存在“大于自然数集且小于实数集的集合”，也可以认为不存在“大于自然数集且小于实数集的集合”。就像在前面提到的“加州旅馆”的世界里，就存在“大于自然数集且小于实数集的集合”

02

1 = 0.99999…让人难以接受？

用小数表示数字时，经常会出现小数点后排列着无穷个数字的情况。例如 1 除以 3，得到

0. 后面跟着无穷个 3。接下来，我们来思考一下“无限小数”。在第 2 章中，我们已经说过除法运算是乘法运算的逆运算。除以 3就是乘以 3 的逆运算。那么，

然后计算等号的右边，

因为等号左右两边相等，所以

成立。上述等式是由“除法运算是乘法运算的逆运算”的定义中推导而出，按理说应该是正确的。不过，很多人无法接受这个等式。左边的 1 和右边的 0.99999 ··· 看起来就不一样，竟然能画上等号，真是太不可思议了。

既然无法接受 1 = 0.99999 ···，那么这两个数的差又等于多少呢？使用加法运算和减法运算的基本法则，如果 a − b = 0 的话，那么 a = b。假设 1 − 0.99999 ··· = 0，那么必须承认 1 = 0.99999 ···。不过，如果假设 1 − 0.99999 ··· 不等于 0 的话，结果又会是什么样呢？这个时候，问题就变成了 1 和 0.99999 ··· 之间的差到底等于多少？

0.99999 ··· 这个无限小数的表示方法有点太麻烦了。“···”到底指的是什么？作为有限存在的我们当然无法一次性理解带有无穷个数字的无限小数。那么，我们先来理解一下有关 0.9、0.99、0.999、0.9999等有限小数。这种数字排列方式成为“数列”。接下来计算以上数列和1 的差。

我们可以发现，数列的数字越长，右边的数值就越趋近于 0。也就是说，1 和 0.99999 ··· 的差小于任何数。

数列越长，其数值就越趋近 1，而且和 1 的差就越小。例如，这个数列的第 4 位数不管取哪个数，该数列和 1 的差都会小于 1/1000。要想提高精确度，使其和 1 的差小于 1/1 000 000 的话，只要关注第 7 位数即可。不管要求的精确度有多高，从第某位数起取任意数都能满足所要求的精确度。

在数学中，定义非常重要。特别是在思考我们直觉无法理解的无限时，定义显得尤其重要。进入 19 世纪以后，数学家们深入研究无限时，发现有必要正式给“极限”下一个定义。假设已知数列 a1、a2、a3、··· 不断趋近某个数 A。此时，不管要求的精确度有多高，从第某位数起取任意数都能满足所要求的精确度，这就叫作“这个数列的极限是 A”。这就是极限的定义。

例如数列 0.9、0.99、0.999、··· 看起来不断趋近于 1。不管要求的精确度有多高，n 以后的数··· 和 1 的差都满足所要求的精确度。所以 0.9、0.99、0.999、··· 的极限是 1。这就是算式“0.99999 ··· = 1”中包含的意思。

《用数学的语言看世界（增订版）》

作者：[日] 大栗博司

译者：尤斌斌

美国加州理工学院理论物理研究所所长，日本东京大学Kavli数学物理学联合宇宙研究机构研究主任 大栗博司 教授

突破传统数学教育教学顺序、方式 / 以“语言思维”讲解数学核心概念、原理 / 回归“基本原理”重新认识数学本质