理解图形间的逻辑——新定义“位移点”

理解图形间的逻辑——新定义“位移点”

2022版新课标对于图形的变化学业要求如下：

理解轴对称、旋转、平移这三类基本的图形运动，知道三类运动的基本特征，会用图形的运动认识、理解和表达现实世界中相应的现象；理解几何图形的对称性，感悟现实世界中的对称美，知道可以用数学的语言表达对称。在这样的过程中，发展几何直观和空间观念.

在几何图形运动过程中，往往不会出现孤立的运动，各几何元素间存在相互关联，而这种关联背后的逻辑，则是理解新定义的关键因素，下面以2025年海淀区一模第28题为例.

题目

解析：

01

(1)先来理解新定义“位移点”，三个几何元素：点P、点Q和图形M，背景是平面直角坐标系xOy，不妨在草稿纸上作图理解，如下图：

我们以△ABC为图形M，则OQ相当于指示平移的方向和距离，按指示平移到△A'B'C'，且点P在△A'B'C'上；

①再来看问题，我们将这几个点分别标在图中，如下图：

按要求，线段OA指示平移方向和距离，则圆O平移到圆A位置，即图中虚线圆，显然答案是P1和P3；

②从定义中理解点C的作用是指示平移方向和距离，而点C在线段AB上，因此距离存在最大值和最小值，当点C位于端点A或B时，OC最大，当点C位于线段AB中点时，根据三线合一，此时OC为点O到线段AB的距离，故OC最短，如下图：

因为点P在圆C上，则OP最短时，点P在线段OC与圆C交点，此时OP=OC-1，而OP最长时，点P在线段OC的延长线与圆C交点，此时OP=OC+1，在等腰Rt△BOC中，OA=OB=2，则AB=2√2，所以OC最短为√2，最长为2，所以√2-1≤OP≤3；

多说一点，不妨将圆A的运动轨迹描出来，帮助学生理解OP最大值和最小值是如何得到的，如下图：

进一步简化为下图：

我们得到一个类似操场形状的范围，其中AB分别向左下或右上平移1个单位后，得到线段A'B'和A"B"，两头分别是半圆A和半圆B，半径为1，这便是所有可能的点P集合，再去理解OP的最值，对后面解题有帮助；

02

(2)本题难点在于图形众多，关联也较多，理清它们之间的逻辑极为重要，我们分步作图，首先来看点P可能在哪里，不妨让点T在原点，作半径为1的圆T，然后取圆T上一点E，连接OE，则线段OE指示了平移的方向和距离，如下图：

我们观察线段AB的端点A，按线段OE指示的方向和距离平移至点A'，连接后得平行四边形OAA'E，得AA'=1，由于点A是定点，则点A'到点A的距离始终为1，由圆的概念可知，点A'在以A为圆心，半径为1的圆上，同理点B'也在以点B为圆心，半径为1的圆上，推导出线段AB上所有的点平移后都在一个类似“操场”的范围内；

由这个判断我们还可以得到一个经验，平移只改变点A的位置；因此平移后的点A'与点E具有相同的“运动状态”；

在这个“操场”上，两端是两个半圆，圆心分别是点A和点B，两条线段距离点T最远和最近的时候，即OE⊥AB时，如下图：

接下来我们再来看圆心T的坐标(t,0)，意味着圆T的圆心在x轴上，当圆平移时，圆上的点E随之平移，前图中的“操场”会如何运动？

为研究“操场”如何运动，我们仍然采用特殊位置法，排除干扰，关注重点，如下图：

在图中，我们将点E放在x轴上，这样平移后的点A'也在x轴上，可知OE=AA'=t-1，又点E在圆T上，则ET=1，则点A'所在圆的圆心G到点A'距离为1，即A'G=1，可得AG=AA'+A'G=t，发现AG=OT，OA=TG；

由以上推导结果，我们可以判断当圆T在x轴上运动时，整个“操场”也沿x轴方向随之平移，点A向右平移t个单位后得到点G，同理点B也向右平移t个单位后得到点F，如下图：

在图中，“操场”及其内部的点，均为点P可能的位置，接下来我们再来看题目条件中对点D的描述，如下图：

点D在圆S上，△ODP为等腰直角三角形，当然这只是其中一种情况，在OD另一侧还有一个点P，稍后再说；

连接OS，以OS为边在右侧构造等腰Rt△OQS，如下图：

我们很容易得到一对相似三角形，△ODS∽△OPQ，由DS=√2可得PQ=1，再来看点Q，是否定点？不妨过点Q构造“一线三直角”模型，如下图：

易证△OQU≌△QSR，设Q(x,y)，则OU=RQ=x，QU=SR=y，显然有OU=2+SR，得x=2+y，而RQ+QU=6，得x+y=6，解得x=4，y=2，即Q(4,2)，它是定点，因此我们得到点P在以Q为圆心，半径为1的圆上，如下图：

还记得前面的我们得到的“操场”吗？结合点P也在圆Q上，只要“操场”和圆Q有公共点即可；

想像一下，随着t的变化，圆T的位置随之改变，“操场”的位置也随之改变，我们只需要观察它与圆Q何时有公共点即可，从特殊位置出发，如下图：

我们可通过上图发现，当“操场”上半部的圆F与圆Q相切时，为一种临界状态，由前面的分析可知点F是由点B向右平移t个单位得到，圆F的半径和圆Q半径均为1，因此可求出F(6,2)，此时t=6；

还记得前面我们的“操场”形成过程中的探究吗？如下图：

上图中，我们的点T在原点，但并不妨碍我们过点T作TR⊥HK，垂足为R，再延长RK交x轴于点U，得等腰Rt△TRU，可通过计算得到TR=TW+WR，其中TW=√2，而WR即平移距离，WR=OE=1，所以TR=√2+1，于是OU=√2TR=2+√2，因此对于任意点T而言，我们可知“操场”上距离点T最远的边HK，其距离为√2+1，这就足够了；

而对于点T的一般情况，如下图：

当圆Q与直线HK相切时，不妨令切点为V，再连接VQ，过点Q作x轴的垂线，取点Q'，构造等腰Rt△VQQ'，可求出V(4-√2/2，2-√2/2)，如下图：

将点V坐标代入到直线HK中，可求出t=4-2√2；

现在我们得到了t的一个范围，4-2√2≤t≤6，那回到前面“稍后再说”的部分，对于等腰Rt△ODP，点P只能在OD右侧吗？左侧应该还有一个点P，如下图：

此时的点Q'与点Q关于OS轴对称，因此易求点Q'(-2,4)，而点P'在圆Q'上，“操场”的上半部分与之相切时，t=-2；

综上所述，t=-2，4-2√2≤t≤6.

解题思考

这道题的复杂程度较高，涉及到直线与圆的位置关系、两圆位置关系等，综合性很强，一般情况下，学生需要理解“位移点”的概念描述，并且明确各几何元素间的关联，更重要的是，它们之间的逻辑.

本题基本上都是直接答出的形式，因此对思维要求很高，不再用解题格式进行要求，则学生可自由发挥的空间极大，更能体现出学生数学思维间的差异，优秀的学生和普通的学生在答题时间上可能相差很远，更不用提解答正确率.

所以由解这道题衍生出另外一个问题，我们如何让学生具备优秀的数学思维？

这个问题很大，不是片言只语可以说清楚，仅就此题所涉及到的范围来讲，我们需要学生能够迅速在脑子里构图，而在脑子里构图的前提，是在纸上构图，平时课堂上，学生手中并无几何画板、GGB这等工具，因此手中的绘图用具很关键，学会使用绘图用具，其实也是在训练构图能力，能将现实的图形变成脑子里的图形，离不开平时的“做一做”、“画一画”、“说一说”等课堂活动，教师如何组织这些活动，是课堂上培养学生能力的关键.

再由近期热门的高考数学话题说起，我非常赞同任正非的一句话，软件其实是卡不住脖子的，软件的精髓是数学，是符号、代码、算法，根子是数学层面的东西，而数学，需要一个(群)好脑子，现在再来看高考数学，是不是理解又不一样了？

本题作为模拟中考压轴题，充分体现以上思想，也给我们平时的教学提供了正确导向，落实学生数学能力的培养，或者说核心素养的提升，将课标“三会”内涵贯彻于每一节数学课，是每一位数学教师应该做到的事情.