三道计算函数的导数练习题及详细过程A2

三道计算函数的导数练习题及详细过程

1.y=ln(12x²+2x+2)的导数计算

主要内容：

通过对数函数导数公式、导数定义以及函数乘积和函数商的求导法则，介绍y=ln(12x²+2x+2)的一阶、二阶和三阶导数的主要计算步骤。

一阶导数：

※.对数导数计算

∵y=ln(12x²+2x+2),

∴dy/dx=(12x²+2x+2)'/(12x²+2x+2)

=(24x+2)/(12x²+2x+2)。

※.导数定义法计算

∵y=ln(12x²+2x+2),

∴dy/dx

=lim(t→0){ln[12(x+t)²+2(x+t)+2]-ln(12x²+2x+2)}/t,

=lim(t→0)ln{[12(x+t)²+2(x+t)+2]/(12x²+2x+2)}/t,

=lim(t→0)ln[(12x²+2x+2+24xt+12t²+2t)/(12x²+2x+2)]/t,

=lim(t→0)ln{1+[(24xt+12t²+2t)/(12x²+2x+2)]^(1/t),

=lim(t→0){ln[1+[(24xt+12t²+2t)/(12x²+2x+2)]^[(12x²+2x+2)/(24xt+12t²+2t)]}^[(24xt+12t²+2t)/(12x²+2x+2)t],

=lne^lim(t→0)[(24xt+12t²+2t)/(12x²+2x+2)t],

=lim(t→0)[(24x+12t+2)/(12x²+2x+2)]

=(24x+2)/(12x²+2x+2)。

二阶导数计算

※.函数商的求导

∵dy/dx=(24x+2)/(12x²+2x+2)，

∴d²y/dx²=[24(12x²+2x+2)-(24x+2)(24x+2)]/(12x²+2x+2)²,

=(288x²+48x+48-576x²-96x-4)/(12x²+2x+2)²,

=(-288x²-48x+48-4)/(12x²+2x+2)²,

=-(288x²+48x-44)/(12x²+2x+2)²。

※.函数乘积的求导

∵y'=(24x+2)/(12x²+2x+2)

∴(12x²+2x+2)y'=24x+2,两边同时对x求导，有：

(24x+2)y'+(12x²+2x+2)y''=24,

将y'代入上式得：

(24x+2)²/(12x²+2x+2)+(12x²+2x+2)y''=24,

(12x²+2x+2)y''=24-(24x+2)²/(12x²+2x+2),

y''=[24(12x²+2x+2)-(24x+2)²]/(12x²+2x+2)²,

=-(288x²+48x-44)/(12x²+2x+2)²。

三阶导数计算：

∵d²y/dx²=-(288x²+48x-44)/(12x²+2x+2)²，

∴d³y/dx³=-[(576x+48)(12x²+2x+2)²-2(288x²+48x-44)(12x²+2x+2)(24x+2)]/(12x²+2x+2)⁴,

=2[(288x²+48x-44)(24x+2)-(288x+24)(12x²+2x+2)]/(12x²+2x+2)³,

=16(432x³+108x²-198x-17)/(12x²+2x+2)³.

2.函数z=f(x,y)由方程sin(x+y-z)=x+y+7z所确定，求z对x和y的偏导数。

主要内容：

通过全微分法、直接求偏导法和构造函数求偏导数法，来求函数z对x和y的偏导数。

一、全微分法：

∵sin(x+y-z)=x+y+7z，

∴cos(x+y-z)*(dx+dy-dz)=x+y+7z,

化简得：

[cos(x+y-z)-1]dx+[cos(x+y-z)-1]dy

=[7+cos(x+y-z)]dz，即：

∂z/∂x=[cos(x+y-z)-1]/[7+cos(x+y-z)];

∂z/∂y=[cos(x+y-z)-1]/[7+cos(x+y-z)]。

二、直接求偏导数法

sin(x+y-z)=x+y+7z

两边同时对x求偏导数，则：

cos(x+y-z)*(dx-dz)=dx+7dz,即：

cos(x+y-z)dx-dx=7dz+cos(x+y-z)dz

[7+cos(x+y-z)]dz=[cos(x+y-z)-1]dx,

所以:∂z/∂x=[cos(x+y-z)-1]/[7+cos(x+y-z)];

同理，方程两边同时对y求偏导数，则：

cos(x+y-z)*(dy-dz)=dy+7dz,

cos(x+y-z)dy-1dy=7dz+cos(x+y-z)dz,

[7+cos(x+y-z)]dz=[cos(x+y-z)-1]dy,

所以:∂z/∂y=[cos(x+y-z)-1]/[7+cos(x+y-z)]。

三、构造函数求偏导数

设F(x,y,z)=sin(x+y-z)-(x+y+7z),则：

F´x=cos(x+y-z)-1,

F´y=cos(x+y-z)-1,

F´z=-cos(x+y-z)-7,

∂z/∂x=-F´x/ F´z

=[cos(x+y-z)-1]/[7+cos(x+y-z)];

∂z/∂y=-F´y/ F´z

=[cos(x+y-z)-1]/[7+cos(x+y-z)]。

3.求z=f(23x+10y,6x-15y),求z对x,y的所有三阶偏导数

主要内容：

本文通过全微分法、直接求导法、链式求导法等，介绍计算抽象函数z=f(23x+10y,6x-15y)的所有一阶、二阶和三阶偏导数的主要步骤。

一阶偏导数：

△.全微分求法：

对z=f(23x+10y,6x-15y)求全微分有：

dz=f1'(23x+10y)+f2'(6x-15y)

=23f1'dx+10f1'dy+6f2'dx-15f2'dy

=(23f1'+6f2')dx+(10f1'-15f2')dy,则：

z对x的一阶偏导数∂z/∂x=23f1'+6f2',

z对y的一阶偏导数∂z/∂y=10f1'-15f2'。

△.直接求导法：

∂z/∂x=f1'*(23x+10y)'x-f2'(6x-15y)'x=23f1'+6f2';

∂z/∂y=f1'*(23x+10y)'y-f2'(6x-15y)'y=10f1'-15f2'。

二阶偏导数：

∂^2z/∂x^2=23(23f11''+6f12'')+6(23f21''+6f22'')=529f11''+276f12''+36f22'';

∂^2z/∂y^2=10(10f11''-15f12'')-15(10f21''-15f22'')=100f11'-300f12''+225f22'';

∂^2z/∂x∂y=∂^2z/∂y∂x=23(10f11''-15f12'')+6(10f21''-15f22'')=230f11''-285f12''-90f22''.

三阶偏导数：

∂^3/∂x^3

=529(23f111'''+6f112''')+276(23f121'''+6f122''')+36(23f221'''+6f222''')

=12167f111'''+3174f112'''+6348f121'''+1656f122'''+828f221'''+216f222''',

=12167f111'''+9522f112'''+2484f122'''+216f222''';

∂^3z/∂y^3

=100(10f111'''-15f112''')-300(10f121'''-15f122''')+225(10f221'''-15f222''')

=1000f111'''-1500f112'''-3000f121'''+3000f122'''+2250f221'''-3375f222''',

=1000f111'''-4500f112'''+6750f122'''-3375f222''';

∂^3z/∂x^2∂y

=529(10f111'''-15f112''')+276(10f121'''-15f122''')+36(10f221'''-15f222''')

=5290f111'''-7935f112'''+2760f121'''-4140f122'''+360f221'''-540f222''',

=5290f111'''-5175f112'''-3780f122'''-540f222''';

∂^3z/∂y^2∂x

=100(23f111'''+6f112''')-300(23f121'''+6f122''')+225(23f221'''+6f222''')

=2300f111'''+600f112'''-6900f121'''-1800f122'''+5175f221'''+1350f222'''

=2300f111'''-6300f112'''+3375f122'''+1350f222'''.