现代数学诞生的契机是什么？

一提到数学，人们往往只看到计算、分析等技术层面的内容，从而对数学敬而远之。其实，数学从古希腊时代、文艺复兴之后的近代发展到现代，一直与思想与哲学互为表里。

菲尔兹奖数学家广中平祐从自己的数学研究中总结出一种思考模式——“可变思考”。这一思维曾助力广中平祐解开过多个无人能解的难题，甚至还启发过企业经营领域的稻盛和夫。

面对棘手的难题时该怎么做？真正研究数学的人怎么把探索数学的能力迁移复制到别的领域？《可变思考：数学与创造性思维》带我们一起用数学的智慧探索创造力的本质。

《可变思考：数学与创造性思维》

撰文 | [日]广中平祐

译者 | 佟凡

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解释“剧变”“分岔”“反转”

业余的预测往往猜对了是撞大运，猜错了是理所当然。科学的预测则需要抓住基本规律，分析具体现状，进行有逻辑推断的预测。

举一个简单的例子，请大家思考将石头抛向空中的情况。知道“抛出的角度”“石头离手时的速度”这两个初始条件后，我们就能根据引力法则预测出几秒后石头的位置。也就是说，只要知道法则和初始条件就能完成预测，这就是“预测的原理”。

“预测的原理”可以用在更普遍的场合中。也就是即使没有充分了解法则和初始条件，只要知道足够精确的近似值，得出的推测就不会有太大偏差。

如果扩大解释后的预测原理完全不适用，即普遍的预测原理失效的情况就叫作“突变”。假设在赤道附近倒一杯水，在杯底开个洞。流出的水应该会形成旋涡，但究竟是右旋还是左旋，只有实际尝试过才会知道。

旋涡右旋还是左旋，是由一开始非常细微的区别决定的。只要一开始没有对洞的形状和方向做特殊处理，现实中就无法预测旋涡的朝向，因为这是由水极其细微的动向等初始条件决定的。

综上所述，自然界中同样存在法则和初始条件有一丁点改变，就能大幅改变结果，甚至带来完全相反的结果的现象。这种情况在社会现象和心理现象中同样随处可见。这种现象就是“突变”。

因此当我们发现一个现象有突变的迹象时，可以考虑它的三个特征。

第一个是“剧变”。一个不断被刁难、始终在忍受的人会在某个时间点突然爆发怒火。在这种情况下，剧变就是指这个人忍无可忍的状态。

第二个是“分岔”。水从杯子中流出后形成旋涡的朝向会由于细微的差别，呈现出完全相反的结果。有一句谚语就叫“一犬吠影 , 百犬吠声”。

第三个是“反转”。该特征指原本朝着某个方向前进，结果突然开始朝相反方向前进的状态，比如股票暴涨后暴跌就是很好的例子。涉及爱憎的心理现象中也有不少反转现象，比如“爱之深，恨之切”。

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能追溯到古希腊的“动态思考”

用来表现以上现象的数学模型叫作“突变理论”，它在日本还被翻译为“悲剧理论”。

“突变理论”是用来解释不流畅的变化，也就是不连续现象的理论。该理论或许可以发展成能够解释各种生命现象、社会现象等此前无法预测、变化复杂的现象的新线索。

如果用数学解释突变理论，就算使用完善的理论也过于深奥，所以我在此略过。简单来说，突变理论就是去除一种现象中“量的部分”，表现“质的部分”，即表现现象所呈现出的面貌的模型。

换句话说，突变理论会将拥有相同性质的现象合而为一，描述其“性质”，是一种笼统的模型。

直到最近，突变的思考方法才被总结成统一的数学理论，但其背景存在于伽利略和牛顿时代的数学界。

如果继续追溯，甚至可以在关注事物“变化”和“变动”的古希腊发现其思想源泉。从生卒年为约公元前 624 年～公元前 547 年的泰勒斯开始，古希腊在数学和自然科学方面就取得了飞跃式的发展。

泰勒斯以各种形式清晰地展现出了古代数学精神。

泰勒斯有两个特点，一个是做理论证明时会不断回归原理。另一个特点在于应用方面。有一个著名的故事：泰勒斯曾经把一根棍子插在地面上，测量棍子和金字塔的影子的长度，利用相似原理测出了金字塔的高度。

继泰勒斯之后，毕达哥拉斯、希波克拉底、柏拉图、亚里士多德等人纷纷出现，大约三百年后，《几何原本》的作者欧几里得登场。

我想强调的是，与古埃及的数学和自然观相比，古希腊的科学家和哲学家们对于变化和变动拥有更加强烈的好奇心和敏感度。

泰勒斯曾经说过：“水是万物本原。”水没有固定的形状，始终在流动，在植物、动物以及一切其他生物中承担重要作用。而且水会在空气中化为水蒸气消失，然后变成雨落下，形成河流汇入大海。泰勒斯从大自然的基本现象中，得出了水是万物本原的思想。

赫拉克利特也曾说过“万物流转”；亚里士多德写过关于出现和消亡以及力学问题的书，他在其中使用了“动态”的说法。古希腊文明虽然受到了埃及和美索不达米亚文明的影响，但埃及和美索不达米亚的数学将三角形、四边形、圆形等明确的形状，也就是静态事物作为考察和研究的对象，而古希腊则对更加模糊、更加动态的事物产生了好奇心，开始将它们作为研究的对象。

然而遗憾的是，古希腊的这种思考方法并没有形成能够作为数学这门学问的基础体系，所以没有得到真正的发展。

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现代数学诞生的契机：对变化的兴趣

这样的古希腊数学，以及在公元 400 年～公元 500 年引入了零和负数的概念，开始研究二次方程的解法，为代数学制定了原点的古印度数学，终于还是传到了阿拉伯。从 11 世纪开始，各种数学理论在欧洲逐渐传播开来。不久后，意大利开始了文艺复兴运动，影响到整个欧洲，伽利略、牛顿、莱布尼茨等人建立起现代科学中最基础的数学理论。

伽利略提出变化、变动的背后存在力的作用，还留下了一句名言：“大自然这本书是用数学语言写的。”他在《关于两门新科学的对话》一书中写下了发现自由落体定律的经过，清楚地展现出首先设定极限状态“真空”，然后在确立原理后回归现实进行研究的态度。牛顿的“万有引力定律”也继承了他的构想。

牛顿被认为是微积分的创立者，与他在同一时期单独建立微积分学的，是德国数学家莱布尼茨。莱布尼茨曾经说过：“静止是动态之间的平衡状态。”

动态之间的平衡，只要由于某种契机出现些许偏差，就会产生巨大的变化，从静转变为动。可以说与动态相关的思想必然会引出微积分学。

本文经授权摘选自图灵新知图书《可变思考：数学与创造性思维》。

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