数学家用奇妙数列求解古老的代数问题

古老难题的由来

多项式方程是现代科学的基础工具。这类方程由变量的幂次项组成，例如二次方程 x² + 4x - 3 = 0。在天体运动、工程计算、计算机程序设计等多个领域，它们都发挥着不可或缺的作用。

早在四千多年前，巴比伦人就已经通过“配方法”掌握了求解二次方程的方法，这一方法后来演化成现代学生熟知的二次求根公式。到了16世纪，数学家们用类似方法，进一步找到了三次方程和四次方程的求解方式，只不过涉及其中的求根公式愈发复杂，包含平方根和立方根。

1832年，数学家伽罗瓦（Évariste Galois）证明了对于五次及更高次的一般多项式方程，不存在像低次多项式方程那样的根式通解。这一突破性工作，催生了伽罗瓦理论，也使得“求根公式”这一设想止步于四次方程。

自此之后，对高次多项式的求解主要转向近似解，这类方法虽然在实际应用中被广泛采用，但本质上脱离了“纯代数”范畴。

而如今，在一项新的研究中，数学教授Norman Wildberger与计算机科学家Dean Rubine家提出了一种基于数列的新方法，来解决代数中最古老的挑战——求解高次多项式。

无理数与根号带来的困扰

Wildberger指出，传统方法之所以在求解高次多项式方程时面临困难，是因为这些方法依赖于根式的表达，这些根式往往对应的是无理数，也就是说：这些数的小数部分无限延伸、没有重复，也不能用分数准确表示。例如√2、∛7等都是无理数。这意味着，如果我们在公式中写∛7，实际上我们是假定这个无限的小数是某种“完整的对象”，这在逻辑上是值得怀疑的。

因此，Wildberger提出了“不要相信无理数”的口号。他认为，无理数依赖于一个不精确的“无限”概念，会导致诸多数学中的逻辑问题。这一数学哲学后来激发他发展出“有理三角学”、“通用双曲几何”等理论体系，这些理论依赖的是加法、平方等可计算函数，而非无理数、根号、三角函数等。

在这项研究中，他延续了这一思路：与其接受根式那种永无止境、无法精确表示的计算方式，不如另辟蹊径，用一种更直接的“不断求和”方法来应对高次多项式的求解。

为了绕开根号与无理数，Wildberger和Rubine采用了多项式的扩展——幂级数。幂级数是一个由无穷多个幂次项组成的表达式，常见于组合数学与几何问题中。通过对幂级数进行适当“截断”，他们可以获得近似的数值解，从而验证方法的有效性。

“晶洞”：来自卡塔兰数的灵感

这项新研究的核心突破来自对卡塔兰数这一组合学中的经典数列的重新审视。在数学中，卡塔兰数描述的是将一个多边形划分为不重叠的三角形的方式数量。它们被广泛应用于算法设计、RNA折叠计算等领域。

数学上已知，卡塔兰数本质上与二次方程密切相关。受此启发，数学家Wildberger和Rubine想了一个大胆的问题：如果我们不仅切成三角形，还允许切成四边形、五边形呢？能不能找到一种更通用的方法来数这些可能性？

他们的最新研究将卡塔兰数从传统的一维数列推广为一个多维数组，用来描述将多边形划分为任意形状组合的各种方式。更重要的是，他们发现这些组合所对应的“生成级数”竟然可以构造出一个解决任意一元多项式方程的新框架。这意味着，即便是代数学上被认为无法通过根式求解的五次方程，也可能在这种新方法中获得解的表达。

在这个过程中，研究者还发现了一个出人意料的新结构，并称之为“晶洞”（Geode）。它像是一张隐藏在卡塔兰数背后的结构蓝图，揭示了卡塔兰数及其高阶扩展之间深层的数学联系。

Wildberger 认为，他们只是揭开了“晶洞”这个结构的冰山一角。晶洞不仅可以在逻辑上为探索多项式方程的通解方法提供了新路径，而且它们本身也成为组合数学领域中亟待探索的新对象。

#参考来源：

https://www.unsw.edu.au/newsroom/news/2025/05/mathematician-solves-algebras-oldest-problem-using-intriguing-new-number-sequences

https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00029890.2025.2460966

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封面图&首图：WaveGenerics / Pixabay