采样的秘密

现实中的很多信号，例如温度、电流、声音等等都是连续的信号。但计算机只能处理离散的数字信号。因此，我们需要在前端对连续信号进行采样，即每隔一段时间提取一个信号点。采样密度越高，我们对连续信号的了解就越准确。信号处理领域有一个奈奎斯特采样定理，它告诉我们：如果要根据离散的采样点完全恢复一个连续信号，采样频率必须高于该信号中最快变化分量频率的两倍。

这一定理传达了两个关键信息：第一，通过离散的采样点，我们有可能无损地恢复出原始的连续信号。（这项技术叫做插值技术。）第二，要想无损地恢复有一个条件，就是要在采样时具有足够高的采样频率。并且该连续信号变化越快，那么这个采样频率就应该越高。

看看下面这张图，这张图就反映了我们用不同采样频率得到采样点，然后根据这些采样点恢复出来的连续信号和真实信号的区别。我们从左上角这张图说起。图中周期性变化的虚线代表真实的连续信号，而黑色的点则是采样点。我们可以看出，这个连续的信号变化较快，而这个采样点相对稀疏。右边这张图中的红色曲线，就是基于左侧离散的采样点，利用了信号处理中的“插值技术”恢复出的连续信号。这是一条缓慢变化的曲线，和真实的信号差别很大。中间两幅图展示了提高采样频率后的结果。随着采样点的增加，恢复出来的信号和原始信号更为接近，但仍有差距。最下面这两张图，是采样频率足够高的时候，根据这些采样点恢复出来的信号。这个信号就和真实的信号非常接近了。

那么，这个奈奎斯特定理对我们有什么启发呢？我们来看看如何研究历史。历史可以看作一个“连续信号”，因为每时每刻都有一些事情发生。因为研究历史的过程，就是从历史的长河中采样出一些关键事件。历史学家通过分析这些离散的关键事件，来理解历史的整体脉络，这实际上是一个将离散采样点恢复为连续信号的过程。将奈奎斯特定理转化到历史研究的语境中，它告诉我们：如果某段历史中的事件变化复杂且快速，而我们仅依靠少量的关键事件来还原历史，往往会导致认知的偏差。人类的大脑具有非常优秀的“插值”功能，会自动“脑补”孤立事件事件之间的空白和逻辑，让整个历史看起来自洽。然而，如果采样频率不够高，我们很容易简化甚至误解历史事件之间的因果关系，从而偏离真相。

我们来看看法国大革命的例子。这段历史作为一个“连续信号”，包含了大量复杂且快速变化的政治、军事和经济事件。我们来看看如果仅仅从这些事件中抽出几个重要的事件放在一起，我们会得到什么结论。这些重要事件包括：

（1）1789年5月，路易十六召开三级会议试图征税。

（2）1789年7月，法国人民攻占巴士底狱，大革命爆发，推翻了君主专制，通过了著名的《人权宣言》。

（3）1792年8月，二次革命爆发，巴黎民众攻占杜伊勒里宫，国王路易十六被处死，法兰西第一共和国建立。

(4) 1793年9月，革命政府内部的激进派雅各宾派掌权，实施“恐怖统治”，社会出现剧烈动荡。

（5）1799年11月，军事强人拿破仑发动“雾月政变”，成立执政府。1804年拿破仑加冕称帝，建立法兰西第一帝国。

看完这个，你的感觉是什么？我想很多人的感觉是这样的：

法国国王腐败，民不聊生，因此底层人民奋起反抗，经过几次革命终于推翻了君主制，建立了法兰西第一共和国。然而，君主制的崩溃也导致了混乱，混乱让军事强人窃取了革命果实。所以，法国大革命是一种历史上的“失败实验”，起初的高尚理想（如自由、平等、博爱）被另外一个独裁所取代。

这个印象正确吗？

如果我们按照时间顺序把更多的历史事件加进去，我们就可以看到下面这个较为完整的故事线。要说法国大革命是怎么爆发的，得先从美国独立战争说起。当时法国为了帮美国打英国，花了大把银子，结果把国库给掏空了。国王路易十六一看不行啊，得想办法收税补窟窿，就在1789年召集了个三级会议。但是呢，法国老百姓当时已经深受启蒙思想和美国宪法影响，哪还愿意接受贵族老爷们高人一等？他们要求废除贵族特权，还想把三级会议转变为“国民会议”，自己制定宪法。路易十六急了，调了一堆军队来，但又不敢真动手。这下，巴黎城里开始传谣言说“国王要镇压国民会议了”，老百姓一听，又害怕又生气。1789年7月，巴黎市民一怒之下，攻占了巴士底监狱，这就是法国大革命的导火索。路易十六没办法，只好答应废除封建制度和贵族特权。

但是好景不长，全国各地都乱了起来。路易十六吓坏了，想偷偷溜出国，结果半路被抓了回来，这下可把矛盾闹得更大了。这时候，欧洲其他国家的国王们也坐不住了，生怕这股“造反”的风气传到自己国家，就要求法国政府恢复法国的君主制，进而引发了1792年的第一次反法同盟战争。战争初期，法国军队屡战屡败。7月，逼近巴黎的普鲁士军队发表宣言，威胁摧毁巴黎并恢复路易十六的王权。这下激怒了巴黎民众和革命政府。1792年8月巴黎民众攻占王宫，路易十六被送上了断头台，法兰西第一共和国成立。后来，革命越来越激进，革命政府内部的激进派雅各宾派在1793年掌权，首脑罗伯斯庇尔上台后搞起了“恐怖统治”，见谁不顺眼就把谁送上断头台。结果1794年，革命政府的热月党人推翻了罗伯斯庇尔，把他也送上了断头台。新上台的热月党建立了督政府，但是治理不好国家。法国国内经济持续恶化，社会动荡不安，督政府逐渐失去支持。

这时候，拿破仑从埃及打完仗回来了，他跟反法同盟作战多年，累积了赫赫战功，很受法国民众欢迎。1799年，拿破仑发动了“雾月政变”，推翻督政府自己当家。到了1804年，他加冕称帝，还制定了《拿破仑法典》，规定法律面前人人平等，所有人的财产都受到保护，也保留了部分启蒙主义倡导的“自由、平等、博爱”的观念。通过这条更“稠密”的历史主线，我们可以看到法国大革命并非一个简单的“人民推翻君主制→混乱→军事独裁”的过程，而是一个复杂而动态的历史进程，充满了不断变化的权力斗争、社会动荡和多重转折。我们也会得到很多和之前不一样的结论。首先，法国大革命的起因并非仅仅是国王的腐败或民不聊生，而是由多重因素共同作用的结果。法国财政崩溃和美国独立战争有关，当时的启蒙思想已经激发了民众对自由和平等的渴望。而恰逢当时，路易十六召开三级会议的尝试直接点燃了革命的导火索。

此外，法国大革命的复杂进程是由内部派系的斗争和外部压力共同塑造的。从吉伦特派到雅各宾派，再到热月党人，革命政府内部不同政治派别之间的斗争导致了政权的频繁更迭和政策的极端化。与此同时，外部反法同盟战争的爆发不仅加剧了内部的政治斗争，促使了革命政府采取更极端的措施来维护统治，也造就了拿破仑这个军事强人的崛起，最终让其通过“雾月政变”上台。第三，拿破仑的上台，并非简单的“军事强人窃取革命果实”。督政府时期，法国经济崩溃、社会动荡，民众渴望稳定。拿破仑凭借其军事才能和民众支持，通过“雾月政变”上台，在一定程度上恢复了秩序。他的崛起固然有其个人野心，但也是革命后期社会需求的反映。最后，法国大革命的成果并非完全失败：尽管拿破仑称帝似乎背离了共和国的初衷，但废除了封建特权，确立了现代公民社会的基础，并传播了革命理念。无论是民法典的制定还是欧洲其他地区的改革浪潮，革命的影响远超法国本身。因此，通过更完整的事件，我们可以看到，法国大革命不是一个“失败实验”，而是一个充满复杂性和多层次影响的历史进程。

那么这个故事能我们什么启发呢?

一段历史越复杂，就越需要更多的事实才能了解到这段历史的真相。通过部分事实构建出来的看法和印象，往往失之偏颇，甚至背离真相。