死磕套路屡碰壁，回溯通法方破局

死磕套路屡碰壁，回溯通法方破局

当我们在八年级学习了全等三角形之后，基于全等判定的各类模型大行其道，也颇有奇效，毕竟教材上的例题也好，习题也罢，综合程度并不高，这些模型的简单应用足以解决问题，但若就此以为高枕无忧，确实打错了算盘。

走出模型应用的舒适区很难，特别对于尝到了甜头的八年级学生，甚至老师，数学作为一门理性学科，从来不需要给某种方法立个牌坊，而需要质疑一切的探究精神。

题目

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α(90° <α<120°)，d为bc的中点，e是线段cd上的动点(不与点c、d重合)，连接ae，将线段ae逆时针旋转α得到线段af，连接ef交ac于点g，过点b作ac的平行线交fe的延长线于点h.< pan>

(1)求证：∠ACF=∠CBH；

(2)若M为线段FH的中点，连接DM，用等式表示线段DM与FG之间的数量关系并证明.

解析：

01

(1)经典手拉手模型，观察此类模型，抓住等腰三角形这个核心条件即可，图中有两个等腰三角形，且顶角相同，分别是△ABC和△AEF，如下图：

这样我们可以得到AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=α，所以∠BAE=∠CAF，从而证明了△ABE≌△ACF，所以∠ABE=∠ACF.

而∠ABC=∠ACB，于是∠ACB=∠ACF，再利用BH∥AC得到∠CBH=∠ACB，最后得到∠ACF=∠CBH.

02

(2)秉持观察-猜想-验证的基本方法，首先作图如下：

学生感到困难的地方在于线段DM和线段FG看上去没啥关联，因此建立它们之间的联系是当务之急，用简单的目测或估测，猜想FG=2DM，回顾我们曾学过的证明二倍线段的方法，最容易想到的是截长补短，以及由此衍生的倍长中线，这个思考问题的方式没有错，于是便有了如下尝试：

学生一：

学生二：

学生三：

以上尝试全部以失败告终，前面两位学生甚至没能构造出全等三角形，第三位学生添加了更多辅助线，仍然不能如愿，就此陷入困境.

无论哪一位学生，在探索证法的过程中，都有意无意忽略掉了BH∥AC和点D为BC中点这个条件，缺乏这两个关键条件的推导，自然难有结果.

所以我们需要回到题目原始条件，平行和中点这两个条件能给我们带来哪些突破？

连接GD并延长，交BH于点K，连接EK，如下图：

借助BH∥AC，点D是BC中点，我们易得△BDK≌△CDG，于是可证DK=DG，即点D也是KG中点，从作图结果来看，如果点M也是EG中点，则可利用中位线判定EK=2DM.

顺着这条思路走下去，我们补全“拼图”.

第一步，证明△BEK≌△CFG，如下图：

由△BDK≌△CDG得BK=CG，前面已证过∠ACF=∠CBH，BE=CF，因此△BEK≌△CFG，得EK=FG，完成了线段FG的转换任务.

第二步，证明点M是EG中点：

由△BEK≌△CFG，得∠BKE=∠CGF，于是∠EKH=∠CGE，利用平行得∠CGE=∠H，所以∠EKH=∠H，所以EK=EH，进一步转换得EK=FG=EH，即△EKH为等腰三角形，而点M是线段FH中点，于是FM=HM，两边分别减掉FG和EH，得GM=EM，故点M确实是EG中点.

第三步，利用中位线完成证明：

现在已经可以证明DM是△GEK中位线了，所以EK=2DM，最后转换得FG=2DM.

解题思考

曾经遇到过困难的这三位学生，最终都表明听懂了，但这仍然不是这节课的终点，进一步追问：你觉得你原先的思路哪有问题？均回答道：没想到中位线.

通常情况下中等生在解题时，往往会出现想得太简单的情况，倒不是题目真的简单，而是他们想不到更深层的关联，此时中线倍长法曾经的成功占了上风，难道倍长就只能延长？！

利用中点构造中位线也并非难以想到，但在解这道题的过程中，有学生确实没能联想起来，由此反思我们的课堂教学，是否在这节课教学或后续教学中，对于中位线的构建没有足够的重视？

点D是BC中点，则点D是否是另外一条线段的中点？若图中没有这样的线段，能否构造？

倍长DM不可行，因为延长后均为孤立的点，甚至由于作图不够准确，还有几个学生认为倍长DM后恰好落在CF上(作图必须准确呀！)，便简单转为截长，取FG中点，但前面曾遇到过的问题一个也没解决，其实这个时候学生仍然没有意识到BH∥AC，点D是BC中点究竟怎么用？

所以回归到最初的方法，我们如何证明一条线段是另一条线段的两倍？

构造一条线段满足两倍关系，再证明这条线段与原线段相等，这便是通法，涉及到全等三角形判定，中点相关的定理等，这个突破口一旦打开，后面的思路就如同泉涌了。